WYDZIAŁ MECHANICZNY ENERGETYKI I LOTNICTWA

POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ

Zakład Teorii Maszyn i Robotów

Laboratorium Podstaw Automatyki i Sterowania IV

Instrukcja do ćwiczenie nr 5

Dobór nastaw regulatora w komputerowym

modelu układu regulacji

1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest dobór nastaw regulatora, znajdującego się w układzie

sterowania pewnym obiektem dynamicznym. Znana jest transmitancja obiektu, zatem re-

gulator można dobrać, budując, a następnie badając komputerowy model układu regulacji.

Warunki techniczne narzucają konieczność uzyskania zerowego uchybu ustalonego,

dlatego zdecydowano się na zastosowanie regulatora PI. Układ sterowania musi ponadto

charakteryzować się czasem regulacji poniżej 5 s, przeregulowaniem mniejszym niż 35%,

zapasem modułu co najmniej 16 dB, zapasem fazy nie mniejszym niż 45° i pasmem
przenoszenia o pulsacji granicznej co najmniej 1 rad/s.

Schemat blokowy układu automatycznej regulacji przedstawiony jest na rysunku.

Obiekt regulacji

(

)

(

)

(

)(

)

1

+

0.01s

1

+

s

+

5s

+

s

1

+

s

0.05

2

2

B

A

Regulator PI

k 1 +

1

T s

p

i











+ –

Wielkość

zadana

Wielkość

regulowana

Rys. 1

. Schemat blokowy układu regulacji

2. Przypomnienie niezbędnych wiadomości

O własnościach dynamicznych układu

świadczy jego transmitancja widmowa G(jω)
(zob. rozdz. 3.3. z [1]). Wykres transmitancji

widmowej na płaszczyźnie zespolonej nazy-
wany jest

charakterystyką amplitudowo-fa-

zową (charakterystyką Nyquista). Każdy

punkt tego wykresu odpowiada innej czę-

stotliwości ω i reprezentuje liczbę zespoloną,

której moduł |G(jω)| oznacza stosunek
amplitudy odpowiedzi ustalonej do amplitudy
wymuszenia harmonicznego, a argument
arg

G(j

ω

) przesunięcie fazowe między odpo-

wiedzią a wymuszeniem.

Często stosowane są charakte-

rystyki Bodego:
- logarytmiczna charakterystyka ampli-
tudowa M(

ω) = 20 log |G(jω)| (M(ω) to

wzmocnienie wyrażone w decybelach);
- logarytmiczna charakterystyka fazowa
ϕ(ω) = arg G(jω).

Na wykresach Bodego podziałka częs-

totliwości jest logarytmiczna dekadowa,

tzn. każdej dekadzie (stosunkowi

częstotliwości równemu 10) odpowiada

odcinek jednakowej długości, a podziałki
M(

ω) i ϕ(ω

) są liniowe.

Wykreślanie charakterystyk Bo-

dego i charakterystyki amplitudowo-fa-
zo

wej to dwa różne sposoby graficznego

Im

Re

Rys. 2. Charakterystyka amplitudowo-fazowa

20

-180

-360

0

-40

-20

0

Częstość [rad/s]

10

1

10

0

10

-1

10

-2

Częstość [rad/s]

10

1

10

0

10

-1

10

-2

[dB]

W

z

m

o
c
n

i

e
n

i

e

[deg]

F
a

z
a

Rys. 3. Charakterystyki Bodego

1

przedstawienia tych samych informacji o

układzie dynamicznym. Charakterystyki Bodego

bywają jednak wygodniejsze w użyciu, gdyż informację o częstości sygnału można odczytać
wprost z wykresu, razem z odpowia

dającym jej wzmocnieniem i przesunięciem fazowym.

Podawanie wzmocnienia w decy

belach (20 logarytmów dziesiętnych z ilorazu amplitud

sygnału wyjściowego i wejściowego) ułatwia zapoznanie się z własnościami układu przy

wysokich częstościach sygnału, kiedy wzmocnienie osiąga małe wartości.

Układem regulacji nazywa się układ ze sprzężeniem zwrotnym, składający się

z regulatora i obiektu regulacji

. Regulator dobiera się tak, aby układ regulacji po

zamknięciu pętli sprzężenia zwrotnego był stabilny. Układy stabilne charakteryzowane są

przez zapas modułu i zapas fazy (zob. rozdz. 6.3.3 z [1]).

Pojęcia zapasu fazy i zapasu modułu związane są z twierdzeniem Nyquista

o

stabilności. Głosi ono, że jeżeli pewien układ otwarty jest stabilny, a jego charakterystyka

amplitudowo-fazowa nie obejmuje punktu (–1,0), to po z

amknięciu pętli sprzężenia

zwrotnego układ pozostanie stabilny; jeśli charakterystyka układu otwartego przechodzi
przez punkt (–

1,0), to po zamknięciu pętli sprzężenia zwrotnego znajdzie się on na granicy

stabilności; jeżeli natomiast charakterystyka obejmuje punkt (–1,0), to po zamknięciu pętli

sprzężenia zwrotnego będzie on niestabilny.

(–1,0)

Im

Re

(–1,0)

Im

Re

(–1,0)

Im

Re

a)

b)

c)

Rys. 4. Charakterystyki Nyquista układu otwartego.

Po zamknięciu pętli sprzężenia zwrotnego układ będzie:

a) stabilny, b) na granicy stabilności, c) niestabilny

Gdyby

zwiększyć

wzmocnienie

w

układzie otwartym i pozostawić przesunię-

cie fazo

we bez zmian, to po zamknięciu pętli

sprzężenia zwrotnego układ znalazłby się na

granicy stabilności. Współczynnik, przez jaki

należałoby pomnożyć wzmocnienie, stanowi

miarę oddalenia układu od granicy stabilności;

jest on nazywany zapasem modułu i definio-

wany następująco:

Zapas modułu jest współczynnikiem

α

, przez jaki należy pomnożyć wzmoc-

nienie układu otwartego przy niezmie-
nionym argumencie transmitancji

widmowej, aby układ regulacji po

zamknięciu pętli sprzężenia zwrotnego znalazł się na granicy stabilności. Zapas

modułu wyraża się zwykle w decybelach, wynosi on wtedy 20 log α.
Gdyby zmienić przesunięcie fazowe w układzie otwartym i pozostawić wzmocnienie

bez zmian, to po zamknięciu pętli sprzężenia zwrotnego układ znalazłby się na granicy

stabilności. Kąt zmiany fazy jest miarą oddalenia układu od granicy stabilności; jest on
nazywany zapasem fazy i

definiowany następująco:

(–1,0)

Im

Re

Rys. 5. Doprowadzanie układu do granicy

stabilności poprzez zwiększanie wzmocnienia

2

Zapas fazy

określa wartość zmiany

argumentu transmitancji widmowej układu
otwartego przy niezmienionym wzmoc-
nieniu, która spowo

duje, że układ po

zamknięciu pętli sprzężenia zwrotnego
z

najdzie się na granicy stabilności. Zapas

fazy wyrażany jest w stopniach.
Zapas fazy

∆ϕ

odczytuje się z wykresu

Nyquista dla układu otwartego

Zapas modułu można także

odczytać z wykresów Bodego dla
uk

ładu

, wykre

ślając okrąg

o

środku w punkcie (0,0) i promieniu 1, a następnie

znajdując punkt jego przecięcia
z charaktery

styką

amplitudowo-

fazową. Różnica pomiędzy położe-

niem kątowym punktu przecięcia
a

kątem –180° to poszukiwany

zapas fazy. Zapas modu

łu ∆M

oblicza się, znajdując punkt prze-

cięcia charakterystyki z osią rzeczy-
wis

tą, odczytując wzmocnienie k

w tym punkcie, a

następnie wyraża-

jąc je w decybelach i zmieniając
znak.

otwartego

(należy tylko

pamiętać, że punkt (–1,0) na

wykresie Nyquista odpowiada wzmocnieniu 0 dB i

przesunięciu fazowemu –180°). Z wy-

kresu fazy od

czytuje się częstość ω

f

Podobnie z wykresów Bodego dla

układu otwartego odczytać można zapas fazy.
Z

wykresu modułu odczytuje się częstość ω

, dla której

prze

sunięcie fazowe wynosi –180°. Jeżeli

wzmoc

nienie dla tej częstości wynosi m dB

(m

<0), to układ znajdzie się na granicy sta-

bilności dopiero po zwiększeniu wzmocnienia
o –m

dB, zapas modułu wynosi zatem –m dB.

m

,

przy której wzmocnienie wynosi 0 dB. Jeżeli

przesunięcie fazowe dla tej częstości wynosi
f

° (f

<0), to układ znajdzie się na granicy

stabilności dopiero po zmianie przesunięcia
fazowego o (

f

°

– (–180°)

(–1,0)

Im

Re

), zapas fazy wynosi

zatem f °+180°.

Rys. 6. Doprowadza

nie układu do

granicy stabilności poprzez zmianę fazy

Im

Re

∆ϕ

k

∆M = 20 log α = 20 log(1/k) = –20 log k

(

–1,0)

Rys. 7. Odczytywanie zapasu fazy i modułu

z wykresu Nyquista

20

-180

-360

0

-40

-20

0

10

1

10

-1

10

-2

10

1

10

0

10

-1

10

-2

ω [rad/s]

ω

f

ω

m

∆M

∆ϕ

m

f

ϕ(ω) [deg]

M(

ω) [dB]

Rys. 8. Odczytywanie zapasu fazy i modułu

z wykresów Bodego

3

Sposób odczytania zapasu modułu i zapasu fazy z wykresów Bodego można opisać

jednym zdaniem: je

żeli charakterystyka amplitudowa ma wartość 0 dB przy częstości ω

m

,

a cha

rakterystyka fazowa wartość –180° przy częstości ω

f

, to zapas modułu wynosi –M(ω

f

),

a zapas fazy 180°+

ϕ(ω

m

).

O własnościach dynamicznych układu regulacji świadczy także jego pasmo

przenoszenia oraz przeregulowanie i czas regulacji (zob. rozdz. 7.3.2 z [1]).

Pasmem przenoszenia

układu nazywa się zakres częstotliwości, przy którym

charakterystyka amplitudowa M(

ω

) układu zamkniętego jest płaska (zmienia się o nie

więcej niż 3 dB). Częstość ω

g

ograniczająca to pasmo nazywana jest pulsacją graniczną

układu. Pulsacja graniczna równa jest w przybliżeniu częstości ω

m

Typową charakterystyką układu

regulacji jes

t jego odpowiedź na

wymuszenie skokiem jednostkowym. Na

podstawie odpowiedzi układu na skok

jednostkowy określa się czas regulacji t

dla układu otwartego.

r

Czas regulacji jest to czas liczony

od chwili wystąpienia wymuszenia
skokowego do chwili, po której wiel

kość

regulowana różni się od wielkości

ustalonej mniej niż o założoną wartość
(zwykle 1% ÷

5% wartości ustalonej).

i przeregulowanie

κ.

Przeregulowanie

to różnica mak-

sy

malnej wartości chwilowej odpowiedzi

i

wartości ustalonej podzielona przez war-

tość ustaloną (jeśli wartość ustalona jest
niezerowa).

Jednym ze sposobów wstępnego

doboru nastaw regulatora jest posłużenie się metodą Zieglera-Nicholsa. Docelowy regulator

zastępuje się regulatorem proporcjonalnym, następnie uruchamia się układ regulacji
i

zwiększa wzmocnienie aż do wystąpienia niegasnących oscylacji sygnału wyjściowego

(innymi słowy doprowadza się układ regulacji do granicy stabilności). Notuje się
wzmocnienie k

osc

, przy którym wystąpiły niegasnące oscylacje oraz ich okres T

osc

. Nastawy

docelowego reg

ulatora dobiera się, wykorzystując uzyskane doświadczalnie wartości k

osc

i T

osc

oraz tabelę podającą orientacyjne nastawy w zależności od wybranego typu regulatora.

Np. dla regulatora PI wstępne nastawy wynoszą: k

p

= 0.45 k

osc

oraz T

i

= 0.85 T

osc

Jeżeli znany jest matematyczny opis badanego obiektu regulacji (np. jego

transmitancja operatorowa), to doświadczenie Zieglera-Nicholsa można przeprowadzić

metodą symulacji komputerowej.

.

t

r

y

u

d

10

2

1

0

Czas [s]

A
m

p

l
i
t

u
d
a

κ = d/y

u

Rys. 9. Charakterystyka skokowa

4

3. Użyteczne procedury programu „Matlab”

Komputerowy model układu regulacji wygodnie jest zbudować, posługując się

programem „Matlab”, gdyż jest on przeznaczony m.in. do symulacji układów sterowania.

Poniżej zamieszczono skrótowy opis procedur programu, które ułatwią wykonanie

ćwiczenia. Szczegółowy opis procedur można znaleźć, wpisując w „Matlabie” polecenie
help wraz z

nazwą procedury.

•
⇒ Licznik i

mianownik transmitancji zapisuje się osobno, w postaci wektorów zawiera-

jących współczynniki wielomianów stojące przy kolejnych (uporządkowanych malejąco)

potęgach zmiennej s. Wektor wpisuje się w nawiasach kwadratowych, oddzielając kolejne

elementy przecinkami lub odstępami (np. L=[1 2 1]; ).

Zapis transmitancji w „Matlabie”

⇒

Program wypisuje na ekranie wynik wykonanej operacji, jeśli polecenie nie zostało

zakończone średnikiem.
⇒

Dwa wielomiany można pomnożyć przez siebie, używając dwuargumentowej procedury

conv(),

mnożąc więcej wielomianów należy wywołać tę procedurę wielokrotnie

(np. ABC=conv(A,conv(B,C)); ).

Przykład:

Obiekt regulacji

(

)

(

)

1

2s

s

1

5s

3

s

2

+

+

+

+

Regulator P

5

k

p

=

+ –

Model matematyczny obiektu o

transmitancji danej na rysunku można zapisać

w

„Matlabie” następująco:

>> L=[1 3]

Wynik:

L =
1 3

>> M=conv([5 1],[1 2 1])

Wynik:

M =
5 11 7 1

•
⇒

Wielomian można pomnożyć przez skalar (np. N=5*L , albo N=5*[1 5] ).

Obliczanie zapasu modułu i fazy

⇒ Procedura bode(L,M)

służy do wykreślania charakterystyk Bodego (L jest wektorem

zawierającym współczynniki wielomianu w liczniku, M – w mianowniku transmitancji).
⇒ Procedura margin(L,M)

działa identycznie jak procedura bode(), stosuje się ją dla układu

otwartego, uzyskując dodatkową informację o zapasie modułu i fazy oraz o częstościach

przecięcia

ω

m

i

ω

f

Przykład:

.

Zapas modułu i fazy przykładowego obiektu regulacji wraz z regulatorem P o wzmoc-
nieniu k

p

>> N=5*L;

=5 można obliczyć następująco:

5

>> margin(N,M)

Wynik:

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Gm = 11.146 dB (at 2.2383 rad/sec), Pm = 18.989 deg (at 1.2512 rad/sec)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

-225

-180

-135

-90

-45

0

•
⇒ Procedura cloop()

służy do obliczenia licznika Lz i mianownika Mz układu po

Obliczanie odpowiedzi na skok jednostkowy

zamknięciu pętli ujemnego sprzężenia zwrotnego (L jest wektorem zawierającym
wspó

łczynniki wielomianu w liczniku, M – w mianowniku transmitancji układu otwartego

⇒ Procedura step(Lz,Mz)

służy do obliczenia i wykreślenia odpowiedzi układu na skok

jednostkowy (Lz

jest wektorem zawierającym współczynniki wielomianu w liczniku, Mz –

w

mianowniku transmitancji układu, na którego wejście podawany jest skok jednostkowy).

;

jeśli trzeci argument będzie równy +1, to sprzężenie zwrotne będzie dodatnie). Procedurę

wywołuje się tak: [Lz,Mz]=cloop(L,M,-1).

⇒ Procedura linspace(a,b) generuje 50-elementowy wektor o

wartościach od a do b,

którego kolejne elementy są od siebie równo oddalone w podziałce liniowej. Procedurę tę

wykorzystuje się, aby określić dla jakiego przedziału czasu ma być wykreślana odpowiedź
skokowa (np. » step(Lz,Mz, linspace(0,40)) ).

Przykład:

Odpowiedź przykładowego układu regulacji (z zamkniętą pętlą sprzężenia zwrotnego) na

skok jednostkowy można obliczyć następująco:
>> [Lz,Mz]=cloop(N,M,-1)

Wynik:

Lz =
0 0 5 15
Mz =
5 11 12 16

>>

step(Lz,Mz,linspace(0,40))

Wynik:

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0

0.5

1

1.5

6

•
⇒

Charakterystykę amplitudową układu regulacji można wyznaczyć, używając procedury

bode()

(wstawiając jako argumenty licznik i mianownik transmitancji układu

Wyznaczanie pasma przenoszenia

zamkniętego

⇒ Procedura logspace(a,b) generuje 50-elementowy wektor o

wartościach od 10

).

a

do 10

b

Przykład:

,

którego kolejne elementy są od siebie równo oddalone w podziałce logarytmicznej. Pocedurę

tę wykorzystuje się do określenia dla jakich częstości mają być wykreślane charakterystyki
Bodego(np. » bode(Lz,Mz,logspace(-1,3)) ).

Pasmo przenoszenia przykładowego układu regulacji można oszacować na podstawie
charakterystyki amplitudowej:
>> bode(Lz,Mz)

Wynik (górny wykres):

-80

-60

-40

-20

0

20

Zwiększenie dokładności odczytu pulsacji granicznej jest możliwe dzięki zawężeniu

przedziału częstości obserwowanej charakterystyki amplitudowej:
>> bode(Lz,Mz,logspace(0,1))

Wynik (górny wykres):

-40

-30

-20

-10

0

10

4. Przebieg ćwiczenia

1.

Obliczyć licznik L i mianownik M transmitancji obiektu regulacji, dla

współczynników A i B zadanych przez prowadzącego.

2.

Sprawdzić, czy zamykając pętlę sprzężenia zwrotnego, uzyska się układ regulacji
o

wymaganych parametrach (zob. cel ćwiczenia), czy też konieczne jest zastosowanie

regulatora

. Należy zatem:

a)

Wykreślić charakterystyki Bodego dla obiektu regulacji i określić zapas modułu
i fazy.

b)

Obliczyć licznik Lz i mianownik Mz transmitancji układu zamkniętego (bez
regulatora).

c)

Uzyskać odpowiedź układu zamkniętego na skok jednostkowy, a następnie

określić czas regulacji i przeregulowanie.

d)

Wyznaczyć pasmo przenoszenia układu.

3.

Przeprowadzić doświadczenie Zieglera-Nicholsa i określić wstępne wartości nastaw

regulatora, wykonując następujące czynności:

a)

Na podstawie zapasu modułu (wyznaczonego w punkcie 2a) obliczyć, jak duże

powinno być wzmocnienie k

osc

regulatora proporcjonalnego, aby układ po

zamknięciu pętli sprzężenia zwrotnego znajdował się na granicy stabilności.

7

b)

Obliczyć licznik Lz i mianownik Mz transmitancji układu zamkniętego
(z regulatorem proporcjonalnym o wzmocnieniu k

osc

c)

Uzyskać wykres odpowiedzi układu regulacji z zamkniętą pętlą sprzężenia
zwrotnego na skok jednostkowy i

wyznaczyć okres oscylacji sygnału

wyjściowego T

).

osc

d)

Dobrać nastawy k

.

p

i T

i

regulatora PI zgodnie z

regułą Zieglera-Nicholsa, tzn.

przyjąć k

p

= 0.45 k

osc

oraz T

i

= 0.85 T

osc

4.

Sprawdzić, czy wstępnie dobrane nastawy regulatora PI pozwalają na osiągnięcie

zakładanego zapasu modułu i fazy, jeśli nie, to skorygować nastawy regulatora:

.

a)

Obliczyć licznik Lr i mianownik Mr regulatora PI o nastawach k

p

i T

i

b)

Obliczyć licznik Lc i mianownik Mc transmitancji układu otwartego (obiektu
regulacji wraz z regulatorem PI).

.

c)

Wykreślić charakterystyki Bodego dla układu otwartego oraz określić zapas

modułu i fazy.

d)

Jeżeli zapas modułu jest mniejszy niż wymagany, to obliczyć nową wartość k

p

e)

Jeżeli uzyskany zapas fazy nie jest satysfakcjonujący, to zmieniając wartość
nastawy T

,

przy której osiągnięta zostanie żądana wartość zapasu, a następnie powtórzyć
obliczenia z punktów a, b i c.

i

, zbad

ać jej wpływ na zapas modułu i fazy. Metodą prób i błędów,

powtarzając obliczenia z punktów a, b, c oraz d, dobrać nastawy k

p

i T

i

5.

Sprawdzić, czy dobrane nastawy regulatora pozwalają na osiągnięcie zakładanego
przeregulowania, czasu regulacji i

pasma przenoszenia, jeśli nie, to skorygować

nastawy regulatora:

, przy

których układ regulacji spełnia narzucone warunki.

a)

Obliczyć licznik Lz i mianownik Mz transmitancji układu zamkniętego.

b)

Uzyskać wykres odpowiedzi układu zamkniętego na skok jednostkowy
i

określić czas regulacji t

r

dla y(t

r

) = (1±0.05) y

u

c)

Wyznaczyć pasmo przenoszenia układu.

oraz przeregulowanie

κ

.

d)

Jeśli pulsacja graniczna jest mniejsza od żądanej lub czas regulacji większy od

żądanego, to należy zbadać ich zależność od nastaw regulatora i dobrać nowe

nastawy (pamiętając o utrzymaniu niezbędnego zapasu stabilności).

W sprawozdaniu należy umieścić:

•

Zwięzły opis zadania i zastosowanej metody doboru nastaw regulatora.

•

Obliczoną transmitancję obiektu regulacji.

•

Wyznaczone wartości k

osc

i T

osc

• Dobrane nastawy k

.

p

i T

i

•

Obliczoną transmitancję obiektu regulacji wraz z regulatorem (układ otwarty).

regulatora.

• Charakterystyki Bodego obiektu regulacji wraz z

regulatorem, obliczony zapas modułu

i zapas fazy.

•

Obliczoną transmitancję układu regulacji (układ zamknięty).

•

Wykres odpowiedzi układu regulacji na skok jednostkowy, odczytany czas regulacji t

r

•

Charakterystykę amplitudową układu regulacji z zaznaczonym pasmem przenoszenia.

i przeregulowanie

κ

.

• Wnioski.

5. Piśmiennictwo

[1]

Zarys dynamiki i automatyki uk

ładów – pr. zb. pod red. A. Olędzkiego, 1991.