? - odpowiedzi, które trzeba poprawić

?- pytania bez odpowiedzi

Studia dzienne inżynierskie (I stopnia)

Tematy teoretyczne z Mechaniki (ETI) – odpowiedzi

1. Podać aksjomaty mechaniki klasycznej. Przytoczyć trzy zasady Newtona.

I prawo - punkt materialny, na który nie działa żadna siła lub działają siły równoważące się, pozostaje w spoczynku lub w ruchu jednostajnym prostoliniowym.

II prawo - przyspieszenie punktu materialnego ma wartość proporcjonalną do wartości siły działającej na ten punkt i ma kierunek tej siły.

III prawo - siły, które wywierają na siebie dwa punkty materialne są równe co do wartości, są skierowane wzdłuż prostej łączącej te punkty oraz zwrócone przeciwnie.

2. Przy jakich warunkach środek geometryczny, środek ciężkości i środek masy ­nie pokrywają się?

Środek masy (CM) nie pokrywa się ze środkiem ciężkości, gdy pole grawitacyjne, w którym

się ciało znajduje, jest niejednorodne, to znaczy nie jest w każdym punkcie takie samo.

3. Reguły Pappusa-Guldina.

I reguła: Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej powstającej przez obrót krzywej płaskiej względem osi leżącej w jej płaszczyźnie i nieprzecinającej jej równa się iloczynowi długości krzywej przez długość okręgu, jaki zatacza przy obrocie jej środek masy.

II reguła: Objętość bryły obrotowej powstającej przez obrót figury płaskiej względem osi leżącej w płaszczyźnie figury i nieprzecinającej jej równa się iloczynowi pola powierzchni figury i długości okręgu, jaki w czasie obrotu zatacza jej środek masy.

4. Wyprowadzić twierdzenie Steinera dla momentów bezwładności.

Moment bezwładności bryły względem dowolnej osi (Ox, Oy, Oz) równa się sumie momentu bezwładności względem osi równoległej do danej osi i przechodzącej przez środek masy (Cx, Cy, Cz) oraz iloczynu masy bryły przez kwadrat odległości obu osi.

Moment bezwładności ciała materialnego względem dowolnej osi równy jest sumie momentu bezwładności względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy oraz iloczynu masy ciała i kwadratu odległości między tymi osiami. Np. IZ1 = IZ+md2 IŻ = ?x2dm dm = (m/l)dx

5. Ile wynosi moment bezwładności kwadratu o krawędzi a względem osi przechodzącej przez środek pod kątem α do krawędzi?

6. Co rozumiemy pod pojęciem ciała kulistego?

Ciało kuliste jest to ciało, którego środek jest równooddalony od każdego punktu znajdującego się na obwodzie.

7. Co to jest promień bezwładności ciała? Ile wynosi on dla kuli o promieniu r względem średnicy?

Jest to stosunek momentu bezwładności danego ciała względem osi lub płaszczyzny i masy tegoż ciała k = I/m. Znając moment bezwładności kuli względem jej środka, możemy obliczyć moment bezwładności kuli względem płaszczyzny przechodzącej przez jej środek.

Moment bezwładności względem środka kuli wyraża się wzorem: IC = 4/5)r5 = (m3r2)/5.

Natomiast moment bezwładności względem średnicy wyraża się wzorem IX = (2/3)IC.

8. Co to jest tensor bezwładności bryły? Jak definiujemy jego elementy?

9. Omówić zagadnienie kierunków głównych i momentów głównych.

Układ osi prostokątnych, w którym wszystkie momenty dewiacji się zerują, czyli macierz bezwładności jest diagonalna, nazywamy układem osi głównych. Elementy macierzy diagonalnej w układzie osi głównych nazywamy głównymi momentami bezwładności bryły w punkcie.

10. Na czym polega redukcja dowolnego przestrzennego układu sił?

11. Podać określenie skrętnika i osi centralnej.

Zmiana bieguna redukcji z punktu O do punktu C, przy której wyeliminowana jest składowa Mn momentu, prowadzi do najprostszego układu oddziaływań mechanicznych, zwanego skrętnikiem. Skrętnikiem, zatem nazywamy układ wektorów - sumy geometrycznej sił oraz sumy geometrycznej momentów - mający tę właściwość, że obydwa wektory leżą na tej samej prostej. Prostą tę nazywamy osią skrętnika.

Skrętnik - jest to płaszczyzna zawierająca parę sił, która jest prostopadła (płaszczyzna z parą sił) do siły równej wektorowi głównemu R. Linia działania siły R wchodzącej w skład skrętnika nazywa się osią centralną.

12. Podać analityczne warunki równowagi dowolnego układu sił. Przedyskutować przypadki szczególne.

(I wersja)

Sprowadza się do trzech równań rzutów sił na dowolne trzy nierównoległe do jednej płaszczyzny osie. Po przyjęciu rzutowania na osie prostokątnego układu współrzędnych Oxyz otrzymamy następujące równania równowagi:

(II wersja)

Analityczne warunki równowagi wymagają aby wypadkowy efekt działania układu sił sprowadzony do siły wypadkowej i momentu zerował się: S=0 Mx=0

W ogólności:

Siły zewnętrzne czynne Fi

Siły zewnętrzne bierne Ri (reakcje)

ΣFix + ΣRix = 0

ΣFiy + ΣRiy = 0

ΣFiz + ΣRiz = 0

ΣMoxi(F,R) = 0

ΣMoyi(F,R) = 0

ΣMozi(F,R) = 0

Przypadki szczególne:

13. Określić warunek kratownicy płaskiej i warunek statycznej wyznaczalności.

Warunek statycznej wyznaczalności kratownic płaskich, aby kratownica była statycznie wyznaczalna, to musi mieć (2*ilość węzłów-3) prętów.

14. Podać geometryczne warunki równowagi płaskiego układu sił.

Równowaga przestrzennego układów sił występuje wtedy gdy wypadkowa sumy geometrycznej wszystkich sił działających w tym układzie będzie równa zeru. Wielobok utworzony ze wszystkich sił jest zamknięty i ma zgodny obieg wektorów sił. Jest to warunek geometryczny i odpowiada mu następujące równanie Σ Fi = 0

Przykładowy rysunek:

15. Opis tarcia suchego. Prawo Coulomba.

W przypadku tarcia suchego Coulomba stosunek siły tarcia rozwiniętego do siły nacisku normalnego jest liczbą stałą równą współczynnikowi tarcia rozwiniętego.

16. Co to jest stożek tarcia? Jak wygląda ten stożek dla powierzchni anizotropowych?

17. Wymienić zjawiska związane z występowaniem tarcia w układach mechanicznych.

18. Przenoszenie napędu w przekładniach pasowych. Wyprowadzić wzór na siłę czynną?

19. Porównać składowe prędkości i przyspieszenia punktu w układzie kartezjańskim i biegunowym.

20. Co to jest krzywizna i promień krzywizny toru?

21. Zagadnienie odwrotne do dynamiki – opisać ruch punktu pod wpływem siły zależnej od położenia, prędkości i czasu.

22. Podać definicję pracy i mocy mechanicznej.

23. Wyprowadzić prawo zmienności pędu punktu materialnego.

Pochodna pędu układu punktów materialnych względem czasu jest równa sumie sił zewnętrznych czynnych i reakcji działających na ten układ.

24. Wyprowadzić prawo zmienności krętu punktu materialnego.

25. Zdefiniować potencjał i energie potencjalną.

Potencjał - pole skalarne określające pewne pole wektorowe. W fizyce dla wielu pól różnica potencjałów w dwóch punktach określa ilość energii koniecznej do przemieszczenia ciała z jednego punktu do drugiego.

Energia potencjalna - energia jaką ma układ ciał umieszczony w polu sił zachowawczych, wynikająca z rozmieszczenia tych ciał. Równa jest pracy, jaką trzeba wykonać, aby uzyskać daną konfigurację ciał, wychodząc od innego rozmieszczenia, dla którego umownie przyjmuje się jej wartość równą zero. Konfigurację odniesienia dla danego układu fizycznego dobiera się zazwyczaj w ten sposób, aby układ miał w tej konfiguracji minimum energii potencjalnej. Podobnie jak pracę, energię potencjalną mierzy się w dżulach [J].

26. Omówić prawo zmienności energii kinetycznej punktu materialnego w potencjalnym polu sił.

Prawo zmienności energii w potencjalnym polu sił. Pracę, jaką siły pola wykonują przy przemieszczeniu się punktu materialnego z dowolnego położenia do pewnego obranego położenia zerowego nazywamy energią potencjalną.
Zakładamy iż punkt materialny przemieści się w polu potencjalnym z położenia A do położenia B. Na punkt ten działa tylko siła pola potencjalnego. Praca siły równa jest: LAB = EpA-EpB. Na podstawie prawa zmienności energii kinetycznej możemy napisać: LAB = EkB-EkA. Po przyrównaniu stronami otrzymujemy warunek: E = Ek+Ep = const, oznacza to iż sumę energii kinetycznej i potencjalnej punktu materialnego nazywamy energią mechaniczną punków i oznaczamy jako E. Jest to zapis matematyczny prawa zachowania energii mechanicznej. Energia mechaniczna punktu poruszającego się w polu potencjalnym ma wartość stałą.

27. Przedstawić klasyfikacje ruchów bryły sztywnej.

Ruch postępowy - dowolna prosta sztywno związana z bryłą

pozostaje w czasie ruchu stale równoległa do położenia początkowego.

Ruch obrotowy - istnieje jedna prosta związana z bryłą, której

punkty w czasie ruchu pozostają w spoczynku.

28. Zdefiniować kąty Eulera.

Definicja kątów Eulera opiera się na spostrzeżeniu, że dowolnie zorientowany układ współrzędnych można otrzymać z danego układu przez złożenie trzech obrotów wokół osi układu. Istnieje kilka takich kombinacji obrotów; wybór konkretnej z nich jest w dużej mierze kwestią konwencji.

Załóżmy na razie, że osie i nie są równoległe, a zatem płaszczyzna jest dobrze określona. Wówczas jedynym obrotem, który przekształca oś na oś , jest obrót o odpowiedni kąt wokół linii węzłów , tj. prostej prostopadłej do płaszczyzny w punkcie . Linia węzłów, jako prostopadła do obu osi i , jest prostą, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny i . Tak więc układ można nałożyć na , dokonując kolejno następujących trzech obrotów:

1. obrotu wokół osi , takiego aby oś pokryła się z linią węzłów

2. obrotu wokół osi (), takiego aby oś pokryła się z osią

3. obrotu wokół osi (), takiego aby oś pokryła się z osią (wówczas również oś pokryje się z osią ).

Zauważmy, że powyższe warunki wyznaczają dwie różne sekwencje obrotów, gdyż w kroku 1. istnieją dwa obroty (o kąty różniące się o ) prowadzące do ustawienia osi wzdłuż linii węzłów w, lecz nadające jej przeciwne zwroty. Wybieramy zwrot zgodny ze zwrotem iloczynu wektorowego wersorów osi i (przyjmując go za zwrot osi węzłów). Obrót 2. będzie więc zawsze obrotem o kąt z zakresu .

Poszczególne kąty Eulera parametryzują powyższe trzy obroty; definiujemy je zatem następująco:

• — kąt mierzony od osi do osi węzłów w kierunku wyznaczonym osią ; jest to kąt obrotu 1.

• — kąt mierzony od osi węzłów do osi w kierunku wyznaczonym osią ; jest to kąt obrotu 3.

• — kąt mierzony od osi do w kierunku wyznaczonym osią węzłów ; jest to kąt obrotu 2.

W ten sposób każdemu obrotowi układu współrzędnych w przestrzeni, nie zachowującemu zwrotu ani kierunku osi , można wzajemnie jednoznacznie przypisać uporządkowaną trójkę kątów .

Osobnej uwagi wymaga sytuacja, gdy osie i są równoległe (identyczne lub o przeciwnych zwrotach). Płaszczyzna i linia węzłów nie są wówczas jednoznacznie określone; oś można przekształcić na oś w wyniku obrotu (o kąt lub , zależnie od zwrotu osi ) wokół dowolnej prostej przechodzącej przez punkt i leżącej w płaszczyźnie . Mamy zatem lub , a ustawienie osi , jest jednoznacznie wyznaczone odpowiednio przez sumę lub różnicę kątów i .

29. Jak obliczamy prędkości i przyspieszenia w ruchu płaskim.

Obliczamy z kinematycznych równań ruchu płaskiego które możemy zapisać w postaci trzech funkcji algebraicznych:

dwóch współrzędnych wektora r_o oraz kąta ϕ

X_o = X(t)

Y_o = Y(t)

ϕ_o = ϕ(τ)

_ _ _ _

Vo'= dro'/dt = dxo’/dt * i + dyo’/dt * j

_ _ _

A0’=$\frac{\mathbf{\text{dr}}_{\mathbf{o'}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{\text{dt}}^{\mathbf{2}}}$ = $\frac{\mathbf{\text{dx}}_{\mathbf{o'}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{\text{dt}}^{\mathbf{2}}}$ * I + $\frac{\mathbf{\text{dy}}_{\mathbf{o'}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{\text{dt}}^{\mathbf{2}}}$ * J

30. Na czym polega ruch śrubowy i kulisty?

Ruch śrubowy - Znajdowanie takich punktów C, dla których w każdej chwili czasu wektor V_c jest równoległy do

Wektora ω nazywamy sprowadzaniem ruchu ogólnego bryły do ruchu śrubowego.

Ruch kulisty - Ruchem kulistym nazywamy taki ruch bryły, w czasie którego jeden z punktów z nią związanych jest

nieruchomy.

31. Na czym polega precesja regularna?

Precesja, jeden z ruchów składowych ciała sztywnego, określony poprzez pochodną czasową kąta Eulera ψ, wywołany przez działanie na obracające się ciało zewnętrznego momentu siły, posiadającego składową prostopadłą do momentu pędu obracającego się ciała - zmianie ulega wtedy kierunek wypadkowego momentu pędu ciała, którego koniec zaczyna zataczać okrąg z częstością kołową odwrotnie proporcjonalną do prędkości kątowej ruchu obrotowego i momentu bezwładności ciała oraz proporcjonalną do momentu siły zaburzającej.
Jeśli precesji nie towarzyszy nutacja, to nazywa się ją regularną, a oś obrotu ciała zatacza stożek precesji. Zjawisko precesji towarzyszy większości fizycznych ruchów obrotowych (np.: precesja Larmora, precesja osi Ziemi).

32. Co to jest środek prędkości i środek przyspieszenia? Jak wyznaczamy ich położenia?

33. Wyprowadzić twierdzenie Königa.

34. Obliczyć energię kinetyczną toczącego się bez poślizgu koła, którego prędkość wynosi v₀.

I = moment bezwładności

ω = prędkość obrotowa

Ek = (mv^2)/2 + (Iw^2)/2

I _koła = (mr^2)/2

Ek = (mv^2)/2 + ( mr^2 * w^2)/4

35. Wyprowadzić wzór na pęd bryły sztywnej.

36. Zdefiniować kręt bryły sztywnej i podać formułę, z której go obliczamy.

37. Sformułować zasadę zmienności krętu bryły w ruchu płaskim.

38. Napisać ogólną postać równań dynamiki bryły w ruchu płaskim.

39. Podać ogólne równania ruchu ciała sztywnego.

40. Podać dynamiczne równania Eulera dla bryły sztywnej. Jaki typ ruchu opisują te równania?