Twierdzenie Koeniga:

E_K=E_KP+E_KO lub E_K=mv²/2+Iω²/2

Prędkość i przyspieszenie:

v = ds/dt

a = dv/dt

a^t = ε_*R

aⁿ = v²/R = ω²_*R

Chwilowy środek przyspieszeń:

AM=a_A/√(ε²+ω⁴)

Środek ciężkości linii:

r_C=(∫∫_l∫ rdl) / l l – długość linii

Praca mechaniczna w ruchu obrot:

ΔW=MΔα=M(α_B-α_A)

Wzory Schwedlera-Żurawskiego: (stosowane do obliczania sił tnących i przy badaniu ugięcia belek)

dMg(x)/dx=T(x) q(x)-obciążenie ciągłe T(x)-siła tnąca

d²Mg(x)/dx²=dT(x)/dx= - q(x) Mg(x)-moment gnący

Warunek toczenia

μ≥f/r f-współcz.tarcia tocznego r-promień

Od czego zależy wartość współczynnika tarcia:

1) chropowatość powierzchni 2) stan powierzchni 3) rodzaju materiału.

Dynamiczne równania ruchu obrotowego:
$J_{l}\varepsilon = \sum_{i = 1}^{n}M_{\text{li}}$ J_l-masowy moment bezwładnoście bryły względem osi obrotu ciała

Dynamiczne równania ruchu materialnego:

3x ma_x=m^*x^*=$\sum_{i = 1}^{n}F_{\text{ix}}$ i to samo podstawiam y i z zamiast x

Dynamiczne równania ruchu środka masy:

m^*x^*_s=$\sum_{i = 1}^{n}F_{\text{ix}} + \sum_{i = 1}^{n}R_{\text{jx}}$ to samo przy y i z zamiast x

Dynamiczne równanie ruchu postępowego:

ma=$\sum_{i = 1}^{n}F_{i}$ (nad a i F kreska)

Dynamiczne równanie ruchu postępowego:

ma_o=$\sum_{i = 1}^{n}F_{i}$ (nad a i F kreska)

$J_{l}\varepsilon = \sum_{i = 1}^{n}M_{\text{li}}$

Skrętnik i równanie osi centralnej: skrętnik ->

M_x^O-(yS_z-zS_y)/S_{x =} M_y^O-(zS_x-xS_z)/S_{y =} M_z^O-(xS_y-yS_x)/S_z

Podział mechaniki klasycznej (opiera się na prawach Newtona. Jest to mechanika zajmująca się ruchem ciał materialnych poruszających się z prędkościami znacznie mniejszymi od prędkości światła):

• Statyka – ukazuje statyczność Fw=0 ΣFi=0

• Kinematyka – nauka o ruchu z pominięciem jego przyczyny

• Dynamika – nauka o ruchu i przyczynie jego powstania F=ma

Skalarem nazywamy taką wielkość fizyczną, którą możemy jednoznacznie określić przez podanie jej wartości liczbowej. np. czas, masa, temperatura, praca, moc, energia.

Wektorem nazywamy taką wielkość fizyczną, którą można przedstawić za pomocą usytuowanego w przestrzeni odcinka mającego określony kierunek i zwrot. np. siła, prędkość, przyspieszenie.

Każdy wektor ma 3 cechy:

1. wartość - długość odcinka przedstawiającego go na rysunku

2. kierunek - określa prosta jego działania

3. zwrot - określa strzałka (grot)

Punkt materialny to ciało o tak małych wymiarach w porównaniu z obszarem, w którym się porusza, że można pominąć zmiany położenia tego ciała wywołane przez obrót i traktować jako punkt geometryczny. Punktowi temu przypisujemy pewną skończoną ilość materii, czyli masę.

Ciało doskonale sztywne to takie ciało materialne, w którym wzajemne odległości cząstek nie ulegają zmianie. Ciało to nie podlega żadnym odkształceniom pod wpływem działających na to ciało sił. Sztywne ciało materialne nazywamy bryłą.

Siła to wielkość fizyczna, od której zależy wszelka zmiana ruchu ciał materialnych. Siła jest miarą mechanicznego oddziaływania ciał na siebie.

Para sił to układ dwóch sił równoległych o przeciwnych zwrotach, jednakowych wartościach i nie leżących na jednej prostej.

Podział sił:

• Siły zewnętrzne są wynikiem oddziaływania na dane ciało innych ciał i dzielą się na czynne i bierne

• Siły czynne to siły starające się wprawić ciało w ruch.

• Siły bierne to siły przeciwdziałające ruchowi (reakcje). Reakcje powstają w miejscach podparcia ciała jako odpowiedź na działanie sił czynnych.

• Siła skupiona to siła przyłożona w punkcie.

• Siła powierzchniowa to siła równomiernie rozłożona na powierzchni (ciśnienie).

• Siła objętościowa to siła, której działanie rozłożone jest na całą objętość ciała (np. siła ciężkości).

PODPORY I REAKCJE

• podpora przesuwna - reakcja prostopadła do możliwego ruchu podpory

• zawieszenie na cięgnie, pręcie przegubowym, linie - reakcja ma kierunek cięgna

• podpora stała - dwie składowe Rx i Ry

• łożysko poprzeczne, zawias - 2 niewiadome podporowe

PRAWA NEWTONA

I. Punkt materialny, na który nie działa żadna siła pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

II. Przyspieszenie punktu materialnego jest proporcjonalne do siły działającej na ten sam punkt i ma kierunek i zwrot

III. Siła wzajemnego oddziaływania dwóch punktów są równe co do wielkości i są przeciwnie skierowane i są na tej samej prostej.

ZASADY STATYKI

1.Zasada równoległoboku – dowolne dwie siły F1 i F2 przyłożone do jednego punktu, zastąpić można siła wypadkową F przyłożoną do tego punktu w przestawioną jako wektor będący przekątną równoległoboku.

2. Dwie siły przyłożone do siała sztywnego równoważą się tylko wtedy, gdy są na tej samej prostej są przeciwnie skierowane i mają takie same wartości.

3. Działanie sił przyłożonych do ciała sztywnego nie ulegają zmianie, gdy dodamy lub odejmiemy dowolny układ równoważących się sił czyli. Tzn. układ zerowy

4. Zasada zesztywnienia równowaga siała odkształcalnego nie ulega zmianie po jego odkształceniu

5. Zasada działania i przeciwdziałania. Każdemu działaniu odpowiada równe co do wartości i przeciwnie skierowane na tej samej prostej przeciwdziałanie.

6. Zasada oswobodzenia od więzów. Każde ciało nieoswobodzone można myślowo oswobodzić od więzów zastępując ich działanie odpowiedniej reakcji, dalej można rozpatrywać ciało tak jak siało swobodne podlegające działaniu sił czynnych oraz sił reakcji więzów.

TARCIE- zjawisko powstawania sił stycznych do powierzchni styku dwóch ciał. Są to siły bierne, czyli reakcje. Tarcie występujące miedzy stykającymi się ciałami stałymi, spowodowane jest działaniem siły normalnej dociskającej te ciała oraz siły stycznej przemieszczającej je względem siebie (tarcie kinetyczne), bądź też usiłującej je przemieścić (tarcie statyczne)

1. Tarcie ślizgowe ciała sztywnego o powierzchnię płaską.

2. Tarcie toczne – opór toczenia ciała sztywnego w kształcie walca po powierzchni płaskiej (tylko jeśli nie ma poslizgu)

Tarcie ślizgowe:

spoczynek T≤μN

rozwinięte Tg=μN

ruch T=μ_kN

μ-współcz.tarcia statycz.

μ_k-współcz.tarcia kinetycz.

Od czego zależy współczynnik tarcia:

• chropowatość powierzchni

• stan powierzchni

• rodzaj materiału

PRAWA TARCIA COULOMBA

o Siła tarcia jest niezależna od wielkości powierzchni i zależy jedynie od ich rodzaju.

o Wielkość siły tarcia dla ciała znajdującego się w spoczynku może się zmieniać od 0 do max wartości całkowitego nacisku normalnego.

o W przypadku gdy ciało ślizga się po pewnej powierzchni siłą tarcia jest skierowana przeciwnie co do ruchu, w momencie ruchu jest mniejsza od maksymalnej wartości siły tarcia spoczynkowego

Tarcie cięgna o bęben - wzór Eulera S₂=S₁*e^µα

gdzie: α- kąt opasania

μ- współczynnik tarcia cięgna o bęben

SIŁY WEWNĘTRZNE

• Siła tnąca T jest równa sumie rzutów wszystkich sił działających na jedną część ciała na kierunek prostopadły do osi pręta. Znak „+” jeżeli siła jest skierowana „do góry”- po lewej stronie przekroju lub „w dół” po prawej stronie przekroju.

• Moment gnący M jest równy sumie momentów wszystkich sił działających na jedną część ciała względem punktu, który jest środkiem przekroju. Za dodatnie przyjmujemy momenty wyginające belkę wypukłością w dół

PRĘTEM – nazywamy ciało, którego jeden wymiar wyraźnie dominuje nad pozostałymi. (płaskie, proste, przestrzenne, o stałym i zmiennym przekroju)

BELKĄ- nazywamy pręt dowolnego przekroju, podparty w jednym lub kilku punktach i obciążony siłami zginającymi go

KRATOWNICE: układ prętów przegubowych połączonych w przegubach, niezmienny geometrycznie pod wpływem obciążenia zewnętrznego

PRĘTEM PRZEGUBOWYM nazywamy pręt prosty zamocowany końcami w przegubach, nie obciążony żadnymi siłami pomiędzy przegubami. Ciężar pręta jest redukowany do przegubów

Warunek wyznaczalności kratownicy: 2w=p+3 gdzie: w- liczba węzłów p- liczba prętów

METODY ROZWIĄZYWANIA KRATOWNIC:

1. Równoważenia węzłów:

1. Sprawdzamy, czy kratownica jest statycznie wyznaczalna z warunku p=2n-3

2. Wyznaczamy reakcje więzów z warunków równowagi ciała sztywnego

3. Wybieramy węzeł, w którym zbiegają się tylko dwapręty o niewiadomych siłach wewnętrznych

4. Zaznaczamy siły wewnętrzne i piszemy równania równowagi węzła, z których wyznaczamy dwieniewiadome

5. Przechodzimy do następnego węzła, w którymzbiegają się tylko dwa pręty o niewiadomych siłach wewnętrznych

6. Postępowanie powtarzamy do chwili wyznaczenia wartości wszystkich niewiadomych sił wewnętrznych

II.Metoda Rittera

Punkty 1 i 2 algorytmu są takie same jak poprzednio

3. Myślowo przecinamy kratownicę przez 3 pręty nie wychodzące z jednego węzła

4. Odrzucamy jedną część zastępując jej oddziaływanie na kratownicę odpowiednimi siłami wewnętrznymi

5. Formułujemy równania równowagi płaskiego dowolnego układu sił dla pozostałej części kratownicy

PRĘTY ZEROWE

-Jeżeli w węźle kratownicy schodzą się trzy pręty, z których dwa leżą na jednej prostej, a węzeł ten nie jest obciążony żadną siłą, to wartość siły w trzecim pręcie jest = 0

-Jeżeli w węźle kratownicy schodzą się dwa pręty, które nie leżą na jednej prostej, a węzeł ten nie jest obciążony, to wartości sił w prętach są = 0

-Jeżeli w węźle kratownicy schodzą się dwa pręty, które nie leżą na jednej prostej, a siła obciążająca węzeł ma kierunek równoległy do jednej z nich, to wartość siły w pozostałym pręcie jest równa zero.

III.Metoda węzłowa

Wykorzystujemy twierdzenie o 3 siłach. Mówi, że 2 siły muszą się zamknąć w 1 punkcie.

IV.Metoda Cremony

1. Należy wykreślić najpierw wielobok sił zewnętrznych działających ma kratownicy, przy czym siły te, muszą występować w kolejności obchodząc kratownice w pewnym kierunku

2. Kreśląc wielobok sił odpowiadające poszczególnym węzła siły zewnętrzne i siły w prętach musimy rysować w takiej kolejności obchodząc odpowiedni węzeł z uprzednio obranego kierunku.

V.Metoda Culmanna

VI.Metoda wieloboku sznurowego

REDUKCJA UKŁADU SIŁ:

skrętnik- Układ złożony z jednej siły S równej wektorowi głównemu układu oraz z jednego wektora momentu Ms równoległego do tej siły.

R=ΣF_i wektor główny M_o - moment główny

Szczegółowe równania na oś centralną:

o |M_o| ≠ 0, |R| ≠0 układ redukuje się do siły i momentu(wektor główny i moment główny)/skrętnik/

o |M_o| prostopadłe do R lub M=0, |R|≠0 układ redukuje się do wektora głównego

o M_o ≠ 0, |R|= 0 układ redukuję się do momentu głównego

o M_o= 0, R= 0układ redukuje się do równowagi

Równania równowagi przestrzennego układu sił: (zbieżny tylko pierwsze trzy)

1. ΣF_ix=0 4. ΣM_ix=0

2. ΣF_iy=0 5. ΣM_iy=0

3. ΣF_iz=0 6. ΣM_iz=0

KINEMATYKA

Kinematyka zajmuje się ruchem ciał bez badania przyczyn tego ruchu.

Ruchem ciała nazywamy zjawisko polegające na zmianie w czasie położenia tego ciała względem innego ciała, które umownie przyjmujemy za nieruchome

Torem punktu (trajektorią) nazywamy miejsce geometryczne chwilowych położeń punktu

x = f1(t) y=f2(t) z=f3(t)- kinematyczne równania ruchu (równania skończone)

równanie toru: f(x,y,z)=0

Prędkośc punktu materialnego- pochodnej wektora promienia wodzącego względem czasu.

Przyspieszenie punktu materialnego- pochodna geometryczna wektora prędkości punktu względem czasu.

• Przyspieszenie styczne powoduje zmianę modułu wektora prędkości. Ma kierunek wektora

prędkości

• Przyspieszenie normalne powoduje zmianę kierunku wektora prędkości i jest skierowane w stronę środka krzywizny toru

gdzie p- promień krzywizny toru

ruch jednostajny a^t=O
ruch jednostajnie zmienny: przyspieszony a^t>0
opóźniony a^t<0

Ruch postępowy - bryła porusza się tak, że jej położenia chwilowe są równoległe do położenia początkowego. (p=const.)

- Prędkości i przyspieszenia wszystkich punktów bryły poruszającej się ruchem postępowym są w danej chwili wektorami równymi.

- ma 3 stopnie swobody (potrzeba 3 współrzednych do określenia położenia)

Ruch obrotowy - bryła może jedynie obracać się dookoła osi przechodzącej przez dwa nieruchome punkty (oś obrotu)

- 1 stopień swobody

Torami punktów ciała są okręgi położone w płaszczyznach prostopadłych do osi obrotu o środkach leżących na osi obrotu.

Promienie tych okręgów są równe odległości punktów od osi obrotu.

Kąt obrotu ciała- kąt który tworzy płaszczyzna ruchoma π z nieruchomą płaszczyzną π_0, dodatni jeśli przeciwnie do wskazówek zegara

Prędkość kątowa- pochodna kąta obrotu po czasie

Przyspieszenie kątowe- pochodna prędkości kątowej

Prędkość liniowa punktu bryły w ruchu obrotowym jest równa iloczynowi wektorowemu prędkości kątowej ruchu obrotowego bryły sztywnej przez promień wektor łączący dowolny punkt na osi obrotu bryły z rozpatrywanym punktem

gdzie: h_a- promień

RUCH ZŁOŻONY PUNKTU

Prędkość bezwzględna punktu- suma wektorów prędkości względnej i prędkości unoszenia

Przyspieszenie punktu- suma geometryczna przyspieszenia względnego i przyspieszenia unoszenia (+przyspieszenie Coriolisa)

Przyspieszenie Coriolisa- określa wpływ ruchu względnego* na ruch unoszenia* i odwrotnie

*Ruch względny- ruch postępowy

*Ruch unoszenia- ruch obrotowy

RUCH PŁASKI BRYŁY

Ruch płaski ciała sztywnego- ruch podczas którego wszystkie punkty ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny zwanej płaszczyzną kierującą

Chwilowy środek obrotu leży w punkcie przecięcia normalnych do torów wszystkich punktów poruszającego się przekroju lub inaczej mówiąc na przecięciu się prostych prostopadłych do kierunków wektorów prędkości wszystkich punktów należących do rozpatrywanego przekroju.

Prędkość punktu przekroju w ruchu płaskim jest proporcjonalna do odległości tego punktu od chwilowego środka obrotu.

Ruch płaski traktowany jako złożenie ruchu postępowego i obrotowego:

Prędkość punktu w ruchu płaskim jest sumą geometryczną prędkości ruchu postępowego i prędkości ruchu obrotowego dookoła obranego bieguna.

PRZYSPIESZENIE W RUCHU PŁASKIM

Przyspieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu płaskim jest sumą geometryczną przyspieszenia ruchu postępowego (bieguna), przyspieszenia stycznego i przyspieszenia normalnego we względnym ruchu obrotowym wokół bieguna

Chwilowym środkiem przyspieszeń dla bryły w ruchu płaskim nazywamy punkt , którego przyspieszenie w danej chwili jest równe zero .Wektor przyspieszenia dowolnego punktu jest nachylony pod stałym kątem do odcinka łączącego dany punkt ze środkiem przyspieszeń, a odległość tego punktu wyznaczamy z zależności:

Przyspieszenie dowolnego punktu bryły sztywnej poruszającej się ruchem płaskim ma wartość proporcjonalną do odległości tego punktu od środka przyspieszeń, a wektor przyspieszenia jest nachylony pod stałym kątem do odcinka łączącego dany punkt ze środkiem przyspieszeń.

W ogólnym przypadku ruchu płaskiego bryły chwilowy środek obrotu i chwilowy środek przyspieszeń nie pokrywają się!!!

Centroida ruchoma jest to miejsce geometryczne chwilowych środków obrotu figury płaskiej w układzie ruchomym.

Centroida nieruchoma jest to miejsce geometryczne chwilowych środków obrotu w układzie nieruchomym

RUCH KULISTY BRYŁY

Ruchem kulistym nazywamy, ruch ciała sztywnego, którego jeden punkt, zwany środkiem ruchu kulistego, jest unieruchomiony.

Chwilowa oś obrotu, to prosta związana z bryłą, której wszystkie punkty mają w danej chwili prędkości równe 0.

Położenie układu ruchomego, a tym samym i położenie w przestrzeni związanego z nim ciała, jest jednoznacznie określone za pomocą trzech kątów noszących nazwę kątów Eulera.

KĄTY EULERA:

• kąt nutacji - jest kątem między osią układu związanego z ciałem, a osią Oz nieruchomego układu współrzędnych

• kąt precesji - zawarty jest między osią Ox a prostą ON będącą śladem płaszczyzny na nieruchomej płaszczyźnie Oxy

• kąt obrotu własnego - jest kątem, który tworzy oś z linią węzłów ON.

Precesja regularna- ruch kulisty ciała sztywnego, który charakteryzuje się tym, że kąt nutacji jest stały, a prędkości obrotu własnego i precesji są stałe.

Prędkość dowolnego punktu w ruchu kulistym określa zależność:

Przyspieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu kulistym :

Chwilowa oś przyspieszenia kątowego- Prosta przechodząca przez środek ruchu O, na której leży wektor

Przyspieszenie obrotowe:

Kierunek przyspieszenia obrotowego jest prostopadły do płaszczyzny przechodzącej przez oś przyspieszenia i dany punkt, a zwrot taki, aby wektory tworzyły układ prawy.

Przyspieszenie doosiowe:

Kierunek przyspieszenia doosiowego jest prostopadły do chwilowej osi obrotu, a zwrot przyspieszenia jest zawsze do osi.

RUCH OGÓLNY BRYŁY

Dowolne przemieszczenie swobodnego ciała sztywnego może być dokonane za pomocą przesunięcia równoległego, równego przesunięciu dowolnie obranego punktu A tego ciała oraz obrotu wokół pewnej osi przechodzącej przez ten punkt.

Prędkość dowolnego punktu bryły w ruchu ogólnym:

Wiadomo z kinematyki punktu, że prędkość punktu jest pochodną wektora wodzącego r względem czasu t. Zatem szukaną prędkość punktu M wyraża zależność:

Prędkość dowolnego punktu P bryły jest równa sumie prędkości V_A dowolnie obranego bieguna A, przyjętego za początek ruchomego układu współrzędnych, oraz iloczynu wektorowego prędkości kątowej i promienia wodzącego r’ punktu P w ruchomym układzie współrzędnych.

Prędkość dowolnego punktu P bryły sztywnej w ruchu ogólnym określa się wzorem:

Na podstawie ostatecznego wzoru możemy sformułować następujące wnioski:

1. Prędkość punktu A zależy od wyboru tego punktu.

2. Prędkość kątowa nie zależy od wyboru punktu A , lecz jedynie od zmiany kierunków osi x’,y’,z’ w czasie.

3. Mimo zmiany punktu A prędkość punktu M nie ulegnie zmianie, ponieważ zmieni się również odpowiednio wyrażenie

Ruch ogólny ciała sztywnego może być więc traktowany jako ruch złożony z ruchu postępowego i chwilowego ruchu obrotowego. Prędkość ruchu postępowego zależy przy tym od wyboru bieguna A, natomiast prędkość kątowa ruchu obrotowego nie zależy od tego wyboru.

Oś centralna ruchu ogólnego- Punkt P i wszystkie punkty leżące na osi równoległej do , przechodzącej przez punkt P, mają prędkość równoległą do chwilowej osi obrotu. Oś tę nazywamy osią centralną ruchu ogólnego.

W dowolnej chwili ruch ogólny bryły możemy uważać za nieskończenie mały ruch śrubowy, natomiast w dowolnym przedziale czasu ruch ogólny możemy uważać za złożenie nieskończenie wielu chwilowych ruchów śrubowych

Wraz z bryłą, oś centralna zmienia swoje położenie w każdej chwili, a miejsce geometryczne kolejnych położeń nazywamy:

- aksoidą osi centralnych (powierzchnia centralna stała) - układ stały,

- aksoidą ruchomą osi centralnych (powierzchnia centralna ruchoma) - układ ruchomy

Aby wyznaczyć prędkość i przyspieszenie dowolnego punktu M bryły, należy znać cztery wielkości wektorowe charakteryzujące ruch ogólny bryły:

a) prędkość V_A i przyspieszenie a_A jednego z punktów bryły A (bieguna),

b) prędkość kątową i przyspieszenie kątowe bryły .

DYNAMIKA

Zasada niezależności działania sił (prawo superpozycji)- Jeśli na punkt materialny o masie m działa jednocześnie kilka sił, to każda z nich działa niezależnie od pozostałych, a wszystkie razem działają tak, jak jedna tylko siła równa wektorowej sumie wektorów danych sił.

Zasada d’Alemberta -W ruchu punktu materialnego układ sił zewnętrznych równoważy się z siłą bezwładności.

Siła bezwładności jest równa iloczynowi masy punktu materialnego i przyspieszenia ruchu punktu. Jej kierunek jest taki sam jak kierunek wektora przyspieszenia, jej zwrot zaś jest przeciwny do zwrotu wektora przyspieszenia.

Dynamika nieswobodnego punktu materialnego

Ruch takiego punktu możemy rozpatrywać jako ruch punktu swobodnego pod wpływem sił czynnych F i biernych R. Równanie wektorowe nieswobodnego punktu materialnego o stałej masie m ma postać:

Pęd punktu materialnego jest to wektor o module m razy większym od modułu wektora prędkości, mający kierunek i zwrot wektora prędkości.

Zasada zachowania pędu -Pęd punktu materialnego jest wektorem stałym, jeżeli suma geometryczna sił działających na dany punkt materialny jest równa zeru

Krętem punktu materialnego względem dowolnego bieguna 0 nazywamy wektor równy iloczynowi wektorowemu promienia wektora i wektora pędu poruszającego się punktu. Kręt to moment pędu.

Zasada zachowania krętu- Jeżeli moment główny układu sił działających na punkt materialny, wyznaczony względem dowolnego bieguna jest równy zeru, to kręt punktu poruszającego się względem tego samego bieguna jest wielkością stałą.

Praca mechaniczna-Pracą siły stałej F na prostoliniowym przemieszczeniu s nazywamy iloczyn skalarny tej siły przez przesunięcie. Pracę wykonuje jedynie składowa styczna do toru. Praca składowej normalnej do toru jest równa zeru.

WŁASNOŚCI:

• Praca jest skalarem

• Pracę wykonuje jedynie składowa styczna do toru

• Praca może przyjmować wartości dodatnie, ujemne lub równe zeru

Praca elementarna-Pracą elementarną siły zmiennej F na przesunięciu elementarnym ds nazywamy iloczyn skalarny tej siły przez to przesunięcie elementarne.

Mocą chwilową nazywamy stosunek pracy elementarnej do czasu dt, w którym została wykonana.

Sprawnością mechaniczną nazywamy stosunek pracy (lub mocy) użytecznej do pracy (lub mocy) włożonej.

Pole wektorowe- obszar, w którym każdemu punktowi przyporządkowany jest pewien wektor. Jeżeli tym wektorem jest siła, to pole nazwiemy polem sił.

Pole jednorodne - Pole w którym każdemu punktowi odpowiada taka sama siła

Energią potencjalną będziemy nazywali pracę, jaką wykona pole sił ciężkości przy przemieszczeniu masy m z danego położenia na powierzchnię Ziemi, na której przyjęto Ep= 0.

Energią kinetyczną punktu materialnego będziemy nazywali część energii mechanicznej związaną z ruchem tego punktu.

Energia mechaniczna-suma energii kinetycznej i potencjalnej

Zasada równowartości energii kinetycznej i pracy:

Przyrost energii kinetycznej punktu materialnego w skończonym przedziale czasu jest równy sumie prac, które wykonały w tym samym czasie wszystkie siły działające na ten punkt.

Równowaga punktu w polu ciężkości:

stała – która zachodzi w położeniu, w którym punkt materialny wychylony z położenia równowagi będzie się poruszał w pobliżu tego położenia równowagi

chwiejną – która zachodzi w położeniu, w którym nawet dowolnie mała prędkość udzielona punktowi materialnemu powoduje jego trwałe oddalenie od położenia równowagi.

obojętną – która zachodzi w położeniu, gdzie punkt materialny wychylony ze swojego położenia równowagi natrafia w pobliżu na nowe położenie równowagi.

Kryterium stateczności Mindinga - Dirichleta:

W polu sił ciężkości równowaga punktu materialnego zachodzi w położeniu, gdzie energia potencjalna osiąga ekstremum. W szczególności równowaga stała zachodzi w położeniu, gdzie energia potencjalna osiąga minimum.

Masowy moment bezwładności-Masowym momentem bezwładności J punktu materialnego względem bieguna, osi lub płaszczyzny nazywamy skalarną wielkość, równą iloczynowi masy punktu i kwadratu odległości tego punktu od tego bieguna, osi lub płaszczyzny.

Masa zredukowana- Masą zredukowaną bryły na odległość r nazywamy taką masę Mz, skupioną w punkcie O odległym od prostej l-l, której moment bezwładności względem prostej l-l jest równy momentowi bezwładności bryły względem tej prostej

Twierdzenie Steinera- Moment bezwładności ciała sztywnego względem pewnej osi jest równy momentowi ciała względem prostej równoległej przechodzącej przez środek masy powiększonemu o iloczyn masy ciała i kwadratu odległości między osiami.

Momentem dewiacji(odśrodkowy) punktu materialnego względem dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyzn nazywamy iloczyn masy punktu materialnego i jego odległości od danych płaszczyzn.

Główne osie bezwładności- Trzy wzajemnie prostopadłe osie x, y, z poprowadzone z punktu O wyznaczające trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny xy, yz, zx względem których momenty odśrodkowe układu punktów materialnych (bryły sztywnej) są równe zeru.

Główne centralne osie bezwładności-Jeżeli punkt O jest środkiem masy rozpatrywanego układu punktów materialnych (bryły sztywnej), to osie te nazywamy głównymi centralnymi osiami bezwładności.

Środkiem masy układu nazywa się punkt geometryczny S, którego promień-wektor rs wyznacza się wg wzoru:

Zasada ruchu środka masy:

Środek masy porusza się jak swobodny punkt materialny o masie równej masie całego układu pod działaniem sumy geometrycznej sił czynnych i reakcji.

Zasada zachowania ruchu środka masy:

Jeżeli suma geometryczna sił czynnych i reakcji jest równa zeru, to środek masy pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym (jeżeli miał początkową prędkość).

DYNAMIKA BRYŁY

Kręt w ruchu postępowym Kręt układu punktów materialnych poruszających się z jednakowymi prędkościami jest równy krętowi całej masy układu skupionej w środku masy.

Kręt bryły w ruchu obrotowym Kręt ciała materialnego względem osi obrotu równy jest iloczynowi momentu bezwładności względem osi obrotu i prędkości kątowej ciała

Energia kinetyczna bryły w ruchu postępowym Energia kinetyczna ciała materialnego w ruchu postępowym równa jest połowie iloczynu masy ciała i kwadratu prędkości tego ciała

Energia kinetyczna bryły w ruchu obrotowym Energia kinetyczna ciała materialnego w ruchu obrotowym równa jest połowie iloczynu momentu bezwładności względem osi obrotu i kwadratu prędkości kątowej ciała

Zasada równowartości energii kinetycznej i pracy:

Przyrost energii kinetycznej ciała sztywnego w skończonym przedziale czasu równy jest sumie prac, które wykonały w tym czasie wszystkie siły zewnętrzne działające na to ciało.

Dynamiczne równanie ruchu postępowego

Ruch postępowy ciała sztywnego jest jednoznacznie opisany przez ruch całej masy skupionej w środku masy ciała, zatem znajdują tu zastosowanie wszystkie zasady i prawa poznane w dynamice punktu.

Ruch postępowy -W czasie ruchu dowolnego ciała siły rzeczywiste działające na punkty tego ciała równoważą się w każdej chwili z odpowiednimi siłami bezwładności

Dynamiczne równania ruchu płaskiego

Ruch płaski możemy traktować jako złożenie ruchu środka masy i obrotu dookoła osi prostopadłej do płaszczyzny ruchu, a przechodzącej przez środek masy

PODSTAWOWE POJĘCIA MECHANIKI ANALITYCZNEJ

Przesunięciem przygotowanym nazywamy przesunięcie proporcjonalne do prędkości możliwych, czyli zgodnych z więzami.

Praca przygotowana -Załóżmy, że punktowi A, na który działa siła udzielamy przesunięcia przygotowanego. Pracę siły na tym przesunięciu nazywamy pracą przygotowaną.

Praca przygotowana dla układu o więzach idealnych-Gdy mamy do czynienia z nieswobodnym punktem materialnym, do którego przyłożona jest siła F, wówczas na punkt działa również reakcja więzów. Jeżeli więzy są idealne, reakcja jest normalna do powierzchni i praca reakcji więzów na przesunięciu przygotowanym jest równa 0.

Dla dowolnego przemieszczenia przygotowanego układu musi być spełnione następujące równanie:

Równanie to jest nazywane ogólnym równaniem dynamiki analitycznej

Równanie Lagrange’a II rodzaju

Pod pojęciem współrzędnych uogólnionych rozumiemy najmniejszą liczbę niezależnych współrzędnych niezbędnych do jednoznacznego opisu układu.

Siły uogólnione Qi odpowiadają współczynnikom przy wariacjach współrzednych uogólnionych  qi w wyrażeniu na pracę przygotowaną

Momentem statycznym układu punktów materialnych względem płaszczyzny nazywamy sumę iloczynów mas punktów układu przez odległości od tej płaszczyzny

Zasada równoważności pędu i impulsu- Przyrost wektora pędu układu punktów materialnych w określonym przedziale czasu jest równy sumie impulsów sił zewnętrznych działających na układ

Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny zawieszony na cienkiej doskonale wiotkiej i nierozciągliwej nici o pomijalnej małej masie. Siłę czynną można zapisać w następujący sposób:

Wahadło fizyczne, to ciało materialne, które może obracać się dokoła poziomej osi.

Oznaczając przez s odległości środka masy C wahadła od osi obrotu mamy:

Równie ruchu obrotowego w rozpatrywanym przypadku przyjmuje postać:

Środek uderzenia jest to taki punkt ciała materialnego osadzonego na nieruchomej osi, przez który musi przechodzić linia działania siły chwilowej, aby siła ta nie wywołała reakcji chwilowych łożysk osi obrotu.