Wzory matematyczne

Tablice matematyczne
Tablice matematyczne

Algebra
Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym
Potęga o wykładniku wymiernym
Działania na potęgach
Działania na pierwiastkach
Wzory skróconego mnożenia
Prawa działań na logarytmach

Trygonometria
Związki pomiędzy funkcjami
Funkcje kąta podwójnego
Funkcje połowy kąta
Funkcje sumy i różnicy kątów
Wzory redukcyjne

Analiza matematyczna
Pochodne funkcji elementarnych

Kombinatoryka
Silnia
Symbol Newtona
Permutacje
Permutacje z powtórzeniami
Wariacje bez powtórzeń
Wariacje z powtórzeniami
Kombinacje
Kombinacje z powtórzeniami

Geometria
Trójkąt
Twierdzenie sinusów, kosinusów
Twierdzenie Pitagorasa
Czworokąty
Koło i okrąg

Graniastosłupy
Ostrosłupy
Bryły obrotowe

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym
a^-n = 1an    dla a ∈ R\{0} ∧ n ∈ N

Potęga o wykładniku wymiernym
amn=amn    dla a ∈ R⁺∪{0}, m ∈ N i n ∈ N\{1}
a-mn=1amn    dla a ∈ R⁺, m ∈ N i n ∈ N\{1}

Działania na potęgach
Jeżeli m, n ∈ R i a, b ∈ R⁺ albo m, n ∈ Z i a, b ∈ R i a ≠ 0 i b ≠ 0, to:
a^m · aⁿ = a^m+n
aman = a^m-n
(a · b)^m = a^m · b^m
(ab)m=ambm
(a^m)ⁿ = a^m·n

Działania na pierwiastkach
Jeżeli a ≥ 0, b ≥ 0, n ∈ N\{0, 1}, to:
a·bn=an·bn
anm=amn
(an)m=amn
a·bn=anbn
(an)n=a
abn=anbn   dla b > 0

Wzory skróconego mnożenia
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
a² - b² = (a - b)(a + b)
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Prawa działań na logarytmach
Przy założeniu: a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, x > 0, y > 0:
log_a(x · y) = log_ax + log_ay
logaxy=logax−logay
logaxy=ylogax
logaxn=1nlogax
logbx=logaxlogab
logab=1logba

Związki pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi
tgx=sinxcosx=1ctgx
ctgx=cosxsinx=1tgx
sin²x + cos²x = 1 (jedynka trygonometryczna)
tgα · ctgα = 1

Funkcje kąta podwójnego
sin2α = 2sinαcosα
cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1
tg2α = 2tgα1−tg2α
ctg2α = ctg2α−12ctgα

Funkcje połowy kąta
sinα2=ą1−cosα2
cosα2=ą1+cosα2
tgα2=1−cosαsinα
ctgα2=1+cosαsinα

Funkcje sumy i różnicy kątów sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ	tg(α + β) = tgα+tgβ1−tgα·tgβ ctg(α + β) = ctgα·ctgβ−1ctgα+ctgβ tg(α - β) = tgα−tgβ1+tgα·tgβ ctg(α - β) = ctgα·ctgβ+1ctgα−ctgβ

Wzory redukcyjne
sin(90° + α) = cosα cos(90° + α) = -sinα tg(90° + α) = -ctgα ctg(90° + α) = -tgα sin(270° + α) = -cosα cos(270° + α) = sinα tg(270° + α) = -ctgα ctg(270° + α) = -tgα

Silnia    n! = 1 · 2 · 3 · ... · n

Symbol Newtona    Dla n, k∈N i 0 ≤ k ≤ n nk=n!k!(n−k)!

Permutacje    P_n = n!

Permutacje z powtórzeniami    Pnn1,n2,...,nk=n!n1!n2!...nk!

Wariacje bez powtórzeń    Vnk=n!(n−k)!

Wariacje z powtórzeniami    Wnk=nk

Kombinacje    Cnk=nk=n!k!·(n−k)!

Kombinacje z powtórzeniami    C−nk=n+k−1k=(n+k−1)!k!·(n−1)!

Pochodne funkcji elementarnych

Funkcja	Pochodna funkcji	Uwagi
y = c	y' = 0	c∈R
y = x^α	y' = αx^α-1	α∈R (x zależne od α)
y = 1x	y' = −1x2	x∈R\{0}
y = x	y' = 12x	x∈R^+∪{0}
y = a^x	y' = a^xlna	x∈R, a∈R^+
y = e^x	y' = e^x	x∈R
y = logax	y' = 1x logae = 1xlna	x∈R^+, a∈R^+\{1}
y = lnx	y' = 1x	x∈R^+
y = sinx	y' = cosx	x∈R
y = cosx	y' = -sinx	x∈R
y = tgx	y' = 1cos2x	x∈R, x≠ 12 π + kπ, k∈C
y = ctgx	y' = −1sin2x	x∈R, x≠kπ, k∈C
y = arcsinx	y' = 11−x2	x∈(-1, 1)
y = arccosx	y' = −11−x2	x∈(-1, 1)
y = arctgx	y' = 11+x2	x∈R
y = arcctgx	y' = −11+x2	x∈R

Trójkąt


Ob = a + b + c

P=12ah



P=12absinγ=12bcsinα=12acsinβ,

P=p(p−a)(p−b)(p−c),    gdzie p=12(a+b+c), (wzór Herona)

R=abc4P,     (promień okręgu opisanego),

r=Pp,     (promień okręgu wpisanego).

Twierdzenie sinusów, kosinusów

      asinα=bsinβ=csinγ=2r

      c² = a² + b² - 2abcosγ
      b² = a² + c² - 2accosβ
      a² = b² + c² - 2bccosα

Twierdzenie Pitagorasa



a² + b² = c²

Czworokąty


Ob = a + b + c + d
P=12d1·d2·sinα
d₁, d₂ - przekątne czworokąta,
α - kąt zawarty między przekątnymi
h - wysokość czworokąta


Pole czworokąta wpisanego w okrąg:
P=(p−a)(p−b)(p−c)(p−d),    gdzie p=12(a+b+c+d)


Trapez

Obwód trapezu:     Ob = a + b + c + d
Pole trapezu:     P=12(a+b)·h





Równoległobok

Ob = 2a + 2b
P = a · h = a · b · sinα
P=12d1·d2·sinγ



Romb

Ob = 4a
P = a · h = a² · sinα
P=12d1·d2


Prostokąt

Ob = 2a + 2b
P = a · b
d=a2+b2



Kwadrat

Ob = 4a
P = a²
P=12d2
d=a2


Deltoid

Ob = 2a + 2b
P=12d1·d2
P = a · b · sinα

Koło i okrąg

r - promień koła,     π = 3,1415...

Pole koła     P = πr²
Długość okręgu     L = 2πr
Długość łuku     l=α360°·2πr

Pole wycinka koła o kącie środkowym α     P=α360°πr2
Pole odcinka koła o kącie środkowym α     P=α360°πr2−r2sinα2

Graniastosłupy

Pole powierzchni całkowitej:    P_c = P_b + 2P_p
Objętość graniastosłupa:    V = P_p · H

Sześcian

P_c = 6a²

V = a³

d=a3


Długość promienia kuli wpisanej
r=12a
Długość promienia kuli opisanej
R=12d=a32


Prostopadłościan

P_c = 2ab + 2bc + 2ac

V = abc

d=a2+b2+c2

Ostrosłupy

Pole powierzchni całkowitej: P_c = P_b + P_p
Objętość ostrosłupa: V=13Pp·H

Czworościan foremny

Pc=a23
V=a3212

Bryły obrotowe

Walec

Pole powierzchni bocznej: P_b = 2πrh

Pole powierzchni całkowitej: P_c = 2πr(r + h)

Objętość: V = πr²h

Stożek

Pole powierzchni bocznej: Pb=πrl

Pole powierzchni całkowitej: Pc=πr(r+l)

Objętość: V=13πr2h

Kula

Pole powierzchni całkowitej: P=4πr2

Objętość: V=43πr3