LABORATORIUM Z AUTOMATYKI

ĆWICZENIE NR 3

TEMAT: Badanie dynamiki podstawowych członów automatyki.

WYKONAŁ:

Jarosław Neubauer

Piotr Kowalski

Anna Lesnau

Remigiusz Drywa

1. Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest doświadczalne wyznaczenie odpowiedzi układów inercyjnych I i wyższego rzędu na wymuszenie skokowe i sinusoidalne.

Część I - układ inercyjny I i II rzędu przy wymuszeniu skokowym.

Przebieg ćwiczenia dla ukłądu inercyjnego I rzędu.

- połączenie układu pomiarowego zgodnie z rys. 1 z zestawami laminarnych oporów pneumatycznych: komór o parametrach zadanych przez prowadzącego ćwiczenia ( tab1);

- zadanie sygnału podanego przez prowadzącego oraz zarejestrowanie zmian ciśnień wyjściowych na komputerze;

- wyznaczenie stałej czasowej T metodą analityczną wg wzoru (1). wyznaczenie przewęzenia ᶲ fi po przekształceniu wzoru;

- porównianie wyników otrzymanych metodą analityczną z wynikami otrzymanymi metodą graficzną.

Rys1. Schemat połączenia układu inercyjnego I rzędu.

1-reduktor ciśnienia, 2 manometr, 3- zawór 2-położeniowy 3-drogowy, 4-opór, przewężenie, 5-komora, pojemność, 6-przetwornik ciśnienia,7-karta analogowo-cyfrowa, 8-komputer, 9-drukarka

R[mm]	C[cm^3]
l=35 Ø=?	900
l=35 Ø=?	2000
l=18 Ø=0,29	2000

Tab. 1. Parametry układu RC zadane przez prowadzącego.

Ciśnienie zasilania równe 140kPa zostało ustalone na wartość początkową P_k=85kPa(wymuszenie skokowe)

Wzór na stałą czasową T

$$T = \frac{128*\mu*l*Vk}{X*R*Tko*\pi*\rho*O^{4}}$$

gdzie:

T- stała czasowa

μ- dynamiczny współczynnik lepkości dla powietrza o temp 20 stopni C

l- dł. oporu

Vk- objętość komory

X- wykładnik adiabaty

R- stała gazowa dla powietrza

Tko- temperatura otoczenia

ρ- gęstość powietrza w temp. 20 stopni C

O- średnica oporu

Dane stałe:

μ = 1, 85 * 10⁻⁵ [$\frac{\text{kg}}{m^{3}}\rbrack$

X=1,4

R= 287 [$\frac{m^{2}}{s^{3}K}\rbrack$

π ≈ 3, 14

Tko=293 [K]

ρ = 1, 2 [$\frac{\text{kg}}{m^{3}}\rbrack$

Zmienne:

l₁=l₂=3,5[mm] = 3,5  *  10^-3[m]

l₃=18[mm]=1, 8 * 10⁻²[m]

O₃=0,29[mm] =2,9 * 10^-4[m]

Vk₁= 900[cm³] = 9 * 10^-4[m³]

Vk₂= Vk₃ =2000[cm³] = 2 * 10^-3[m³]

Szukane:

T₁= ?[s]

T₂= ?[s]

T₃= ?[s]

O₁ = O₂ = ?[mm]

T_{1 i} T₂ odczytane z wykresu za pomocą metody "0,632"

T₃ można wyznaczyć drogą analityczną oraz graficzną

Metoda "0,632"

P_y(t) = P_x(1-$e^{- \frac{t}{T}}$)

t=T=> P_y(t) = P_x(1-e⁻¹)

P_y(t) =0,632 P_x

P_y(t) =0,632 * 85 = 53,72 [kPa]

z wykresu można odczytać ze:

T_1s= 32-3=29[s]

T_2s= 56-3=53[s]

T_3s= 77-3=74[s]

$$T = \frac{128*\mu*l*Vk}{X*R*Tko*\pi*\rho*O^{4}}$$

$T_{3} = \frac{128*\mu*l_{3}*\text{Vk}_{3}}{X*R*Tko*\pi*\rho*{O_{3}}^{4}}$= $\frac{128*1,85*10^{- 5}*1,8*10^{- 2}*2*10^{- 3}}{1,4*287*293*3,14*1,2*{2,9}^{4}*10^{- 16}}$

$T_{3} = \frac{236,8*10^{- 5}*3,6*10^{- 5}}{443596,84*70,73 - 10^{- 16}}$=$\frac{852,48}{31,36} \approx 27,17\left\lbrack s \right\rbrack$

T₃ ≠ T_3s

$$O^{4} = \frac{128*\mu*l*Vk}{X*R*Tko*\pi*\rho*T}$$

$${O_{2}}^{4} = \frac{128*\mu*l_{2}*\text{Vk}_{2}}{X*R*Tko*\pi*\rho*T_{2s}}$$

${O_{2}}^{4} = \frac{236,8*10^{- 5}*3,5*10^{- 2}*2*10^{- 3}}{443596,84*53}$=$\frac{1657,6*10^{- 10}}{23510632,52}$

O₂⁴ ≈ 7, 050 * 10⁻¹⁵

O₂ = 0, 000290[m] = 0, 290[mm]

${O_{1}}^{4} = \frac{236,8*10^{- 5}*3,5*10^{- 2}*9*10^{- 4}}{443596,84*29}$=$\frac{236,8*10^{- 5}*31,5*10^{- 6}}{12864308,36}$

${O_{1}}^{4} = \frac{7455,2*10^{- 11}}{12864308,36} \approx$5,795*10⁻¹⁵

O₁ = 0, 000275[m] = 0, 275[mm]

O₁ ≈ O₂

Przebieg ćwiczenia dla układu inercyjnego I:wyższych rzędów:

- połączenie układu pomiarowego zgodnie z rysunkiem 2 z zestawami laminarnymi oporów pneumatycznych i komór o parametrach zadanych przez prowadzącego ćwiczenie (tab.2)

- zadanie sygnału podanego przez prowadzącego ćwiczenia oraz zarejestrowanie zmian ciśnień wyjściowych na komputerze

- wyznaczenie stałej czasowej T i opóźnienia Tm metodą graficzną.

Rys.2 Schemat połączenia układu

1-reduktor ciśnienia, 2 manometr, 3- zawór 2-położeniowy 3-drogowy, 4-opór, przewężenie, 5-komora, pojemność, 6-przetwornik ciśnienia,7-karta analogowo-cyfrowa, 8-komputer, 9-drukarka

R*[mm]	C[cm^3]
l=35 Ø=0,28	900
l=35 Ø=0,28	2000
l=18 Ø=0,29	2000

Tab.2 Parametry układu RC zadane przez prowadzącego

*- wartość przekroju Ø wyznaczona w poprzedniej części ćwiczenia

Tm- opóźnienie T - stała czasowa

Tm₁=2-2=0[s]

T₁=40- Tm₁-2=38[s]

Tm₂=10-2=8[s]

T₂=252- Tm₂-2=252-8-2=242[s]

Tm₃=40-2=38[s]

T₃=338- Tm₃-2=338-38-2=298[s]

Wnioski:

Odpowiedz na wymuszenie skokowe ustala się po pewnym czasie. Wartość odpowiedzi wzrasta do wartości zadanej z początku szybko, a w miarę zbliżenia się do niej zwalnia, by po osiągnięciu jej móc się ustalić. Szybkość osiągnięcia wartości zadanej zależy od oporu, pojemności C- im są one większe, tym potrzeba więcej czasu do ustalenia się sygnału. C i R wpływają na stałe czasowe T. Wartość stałej czasowej T₃ otrzymanej analitycznie różni się od stałej T_3s otrzymanej metodą graficzną w układzie inercyjnym I rzędu gdzie:

- wykres nie jest adiabatą, a stosowany wzór dotyczy adiabaty,

- przewody są elastyczne, więc mogły zmienić swoje wymiary.

Dodatkowo niedokładności mogły być spowodowane :

- nieszczelnością układu, zużycie sprzętu,

- sygnał wymuszenia mógł w rzeczywistości różnić się od ustalonej, wartość 85 kPa - manometr mógł nie być poprawnie wyzerowany lub wartość ustalona była tylko około 95 kPa.

Część II - układ wymuszenia sinusoidalnego

Przebieg ćwiczenia:

-połączenie układu zgodnie z rys. 3 oporów pneumatycznych, komór o parametrach zadanych przez prowadzącego ćwiczenie (tab. 3)

- zadanie wymuszenia sinusoidalnego o danych parametrach (tab.4), zarejestrować zmiany sygnałów wyjściowych,

-po ustaleniu się amplitudy wyznaczyć moduł M(ω) i przesunięcia fazowego Ҩ(ω) metodą graficzną oraz stałej masowej T i wymuszenia k metodą analityczną.

- porównanie dwóch ostatnich pkt. dla innych parametrów wymuszenia sinusoidalnego.

Rys. 3 Schemat układu przy wymuszeniu sinusoidalnym

1- przetwornik elektro-pneumatyczny, 2-manometr, 3-opór,przewężenie, 4-komora, pojemność, 5-przetwornik ciśnienia, 6- karta analogowo-cyrowa,7-komputer 8 - drukarka

T0[s]	20
P1 [kPa]	20
P2 [kPa]	85

Tab.3 Parametry sygnału wymuszenia sinusoidalnego

T₀ - okres, P₁ - minimalna wartość sygnału początkowego, P₂ - maksymalna wartość sygnału początkowego.P₀ - wartość położenia linii od której wyznacza się amplitudę.

M(ω)=$\frac{2A}{{2A}_{0}}$

(ω)= 2π*$\frac{1}{T_{0}}$= 0,314

A₀=$\ \frac{85 - 20}{2} = 32,5\ \left\lbrack \text{kPa} \right\rbrack$

P₀= A₀ + P₁ = 32,5+20 = 52,50 [kPa]

A₁= 77,5-28,0 = 49,5

A₂= 62,5-38 = 24,5

M₁(ω)=$\ \frac{49,5}{65} = 0,761\ \ \ \ \ $(linia czarna)

Ҩ₁(ω)= 146,5-144=2,5= 66,12° (linia czerwona)

M₂(ω)=$\ \frac{24,5}{65} = 0,382\ \ \ \ \ $(linia czerwona)

Ҩ₂(ω)= 148,5-144= 4,5= 36,73° (linia czarna)

M(ω)=$\sqrt{\lbrack P(}\omega)\rbrack$²+$\sqrt{\lbrack Q(}\omega)\rbrack$²

Ҩ (ω)=arctg$\frac{Q(\omega)}{P(\omega)}$

P(ω)=$\frac{k}{T^{2}*\omega^{2} + 1}$

Q(ω)= - $\frac{\text{kT}\omega}{T^{2}*\omega^{2} + 1}$

tg Ҩ(ω)=$\ \frac{Q(\omega)}{P(\omega)} = > Q$(ω)= P(ω)* tg Ҩ(ω)

tg Ҩ(ω)= −T ω

T=$- \ \frac{\text{tg\ }Kh(\omega)}{\omega}$

ω=2πf=2π*$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{T}_{\mathbf{0}}}$

M(ω)=$\sqrt{\lbrack P(}\omega)\rbrack$²(1+tg² Ҩ(ω))

M(ω)=$\ P(\omega)\sqrt{1 + \text{tg}^{2}\ Kh(\omega)}$

M(ω)=$\ \frac{k}{T^{2}*\omega^{2} + 1}*\ \sqrt{1 + \text{tg}^{2}\ Kh(\omega)}$

k= $\frac{M\left( \omega \right)*\lbrack T^{2}*\omega^{2} + 1\rbrack}{\sqrt{1 + \text{tg}^{2}\ Kh(\omega)}}$

k= M(ω) $\sqrt{1 + \text{tg}^{2}\ Kh(\omega)}$

T= $- \ \frac{T_{0}*\text{tg}Kh(\omega)}{20}$

k₁=M₁(ω)$\ \sqrt{1 + \text{tg}^{2}\ Kh_{1}(\omega)}$= 0,761$\sqrt{1 + \text{tg}^{2}\ (66,12)} \approx$1,879

T₁=$- \ \frac{T_{0}\text{tg\ }Kh_{1}(\omega)}{2*\pi}$

T₁=$- \ \frac{20*tg\ (66,12)}{2*\pi} \approx \ - 7,192$

k₂=M₂(ω)$\ \sqrt{1 + \text{tg}^{2}\ Kh_{2}(\omega)}$= 0,382$\sqrt{1 + \text{tg}^{2}\ (36,73)} \approx 0,476$

T₂=$- \ \frac{20*tg\ (36,73)}{2*\pi} \approx \ - 2,375$

T0[s]	40
P1 [kPa]	20
P2 [kPa]	85

Tab.4 Parametry sygnału wymuszenia sinusoidalnego

M(ω)=$\frac{2A}{{2A}_{0}}$

(ω)= 2π*$\frac{1}{T_{0}}$= 0,157

A₀=$\ \frac{85 - 20}{2} = 32,5\ \left\lbrack \text{kPa} \right\rbrack$

P₀= A₀ + P₁ = 32,5+20 = 52,50 [kPa]

A₁= 82,0-22,5 = 60

A₂= 71,0-32,5 = 38,5

M₁(ω)=$\ \frac{60}{65} = 0,923\ \ \ \ \ $(linia czarna)

Ҩ₁(ω)= 240,0 -237,5 = 2,5 = 18° (linia czarna)

M₂(ω)=$\ \frac{38,5}{65} = 0,592\ \ \ \ \ $(linia czerwona)

Ҩ₂(ω)= 248,75 - 237,50= 11,25=81° (linia czerwona)

k₁=M₁(ω)$\ \sqrt{1 + \text{tg}^{2}\ Kh_{1}(\omega)}$= 0,923$\sqrt{1 + \text{tg}^{2}\ (18)} \approx$0,970

T₁=$- \ \frac{T_{0}\text{tg\ }Kh_{1}(\omega)}{2*\pi}$

T₁=$- \ \frac{40*tg\ (1,5)}{2*\pi} \approx$ - 2,068

k₂=M₂(ω)$\ \sqrt{1 + \text{tg}^{2}\ Kh_{2}(\omega)}$= 0,592$\sqrt{1 + \text{tg}^{2}\ (81)} \approx$3,784

T₂=$- \ \frac{20*tg\ (5)}{2*\pi} \approx \ - 20,097$

Wnioski:

-sygnał odpowiedzi jest przesunięty w fazie względem sygnału wymuszenia sinusoidalnego

-amplituda odpowiedzi ustala się po pewnym czasie, jest mniejsza niż wartość amplitudy sygnału wejściowego i zależy od przewężenia oporu oraz okresu i amplitudy sygnału wejściowego

stała czasowa T oraz współczynnik wzmocnienia k można wyznaczyć znając moduł i przesunięcie fazowe

- okresy odpowiednio mają taką samą wartość jak sygnał zadany

- ewentualne błędy mogą być spowodowane tymi samymi podobnymi czynnikami co przy wymuszeniu skokowym.