Obliczanie całek metodą Monte-Carlo

Metoda Monte Carlo – całka pojedyncza

Mamy obliczyć przybliżoną wartość In całki oznaczonej

(129)

przy założenie, że f(x) jest funkcją ciągłą w przedziale domkniętym [a;b]

NastÄ™pnie n-krotnie generujemy realizacjÄ™ x zmiennej losowej X o rozkÅ‚adzie równomiernym w przedziale [a,b], otrzymujemy w rezultacie ciÄ…g liczb x₁, x₂, ..., x_n,

Przybliżoną wartość całki określa wzór

(130)

Zbieżność przybliżonej wartości całki In do jej dokładnej wartości jest gwarantowana w sensie probalistycznym, tzn., że dla każdego ε>0 zachodzi relacja:

(131)

gdzie P jest prawdopodobieństwem, przy czym błąd metody monte Carlo można określić wzorem

(132)

Maszyny typowe zazwyczaj dysponują generatorem liczb losowych o rozkładzie równomiernym w przedziale [0,1], zachodzi zatem konieczność przeliczania wylosowanej realizacji Y z przedziału [0,1], na realizację zmiennej losowej X o rozkładzie równomiernym w przedziale [a, b]. Wzory poniżej, to ilustrują:

Przeliczanie zmiennych losowych Y na X

X=(b-a)Y+a (133)

Przeliczanie realizacji zmiennych losowych Y na X

x=(b-a)y+a (134)

Całkowanie – Metody Monte Carlo. Całki wielokrotne właściwe

Dana jest całka wielokrotna:

(135)

Każda ze zmiennych x_i zawiera się w przedziale (136)

Losujemy n-krotnie punkty Pk kostki, przyjmujÄ…c że współrzÄ™dnymi tych punktów sÄ… zmienne losowe X₁^(k), X₂^(k),..., X_m^(k) o rozkÅ‚adzie równomiernym w odpowiednich przedziaÅ‚ach [a_i,b_i]. Każdemu punktowi Pk odpowiada zatem ciÄ…g m-elementowy wylosowanych realizacji x₁^(k), x₂^(k),..., x_m^(k). Po wylosowaniu sprawdzamy czy każdy punkt Pk należy do obszaru Ω. Możemy zatem po zakoÅ„czeniu losowaÅ„ uporzÄ…dkować wylosowane punkty w nastÄ™pujÄ…cy sposób:

dla k=(1, 2, ..., n), dla k=(n+1, n+2, ..., N) (137)

Przy dostatecznej liczbie losowań możemy obliczyć przybliżoną wartość V_Ω objętości m-wymiarowanego obszaru całkowania:

(138),

gdzie

(139)

jest objętością m-wymiarowej kostki. Przybliżona wartość I_n całki (135) określana wzorem:

(140)

Aby uzyskać ciąg realizacji X1, X2, ..., Xm losujemy m-krotnie zmienną losową Y o rozkładzie równomiernym w przedziale [0,1], a następnie przeliczamy realizacje y na realizację x_i^(k) w przedziale [a_i; b_i] korzystając ze zależności:

x_i^(k)=(b_i-a_i)y_i^(k)+a_i

Rozwiązywanie równań różniczkowych

Rozważania dotyczą:

• równaÅ„ różniczkowych zwyczajnych z warunkami poczÄ…tkowymi i brzegowymi,

• ukÅ‚adów równaÅ„ różniczkowych zwyczajnych z warunkami poczÄ…tkowymi i brzegowymi,

• równaÅ„ różniczkowych czÄ…stkowych,

• ukÅ‚adów równaÅ„ różniczkowych czÄ…stkowych

Numeryczne obliczanie pochodnej

Aby obliczyć pochodnÄ… funkcji f w punkcie x₀, mamy

(1)

W celu wyznaczenia przybliżonej wartości pochodnej f’(x) dla małych wartości h możemy użyć wyrażenia

(2)

Możemy to udowodnić. Dokonujemy interpolacji f(x); zdefiniujemy wielomian Lagrange`a stopnia 1, który bÄ™dzie oparty na wÄ™zÅ‚ach x₀ oraz x₀+h pod warunkiem, że funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale [a; b]

Wówczas obliczając pochodną funkcji f, mamy:

(3)

oraz po uproszczeniu

(4)

Jeżeli dokonamy interpolacji funkcji f wielomianem stopnia 2, wówczas

(5)

oraz po uproszczeniu

I(6)

Za pomocą wielomianów wyższych stopni możemy wyznaczyć wzory na przybliżenie pochodnej.