X L V I I I K O N F E R E N C J A N AU K O W A

KOMITETU INŻ YNIERII LĄ DOWEJ I WODNEJ PAN

I KOMITETU NAUKI PZITB

Opole – Krynica

2002

Joanna KALISZUK

1

Zenon WASZCZYSZYN

2

PROBABILISTYCZNA OCENA NIEZAWODNOŚ CI KONSTRUKCJI

METODAMI MONTE CARLO Z WYKORZYSTANIEM SSN

1. Wstęp

Ocena niezawodnoś ci konstrukcji, w odniesieniu do jej różnych stanów czy też różnych
czynników, jest złożonym zagadnieniem, które wymaga wyjś cia poza sformułowania
deterministyczne. Losowoś ć zmiennych i parametrów analizowanych modeli implikuje
posługiwanie się probabilistycznymi metodami analizy (pomijamy inne metody, w tym
metody półprobabilistyczne, por. [1]). Metody probabilistyczne, stosowane do analizy
konstrukcji inżynierskich są omawiane w bogatej literaturze, że wymienimy tylko dwie
polskie monografie [1, 2].

Złożonoś ć analizy problemów niezawodnoś ci konstrukcji powoduje, że można je

analizować głównie numerycznie, stosują c różne metody symulacyjne, a wś ród nich różne
modyfikacje metod Monte Carlo [3]. Zostały one oparte na solidnych podstawach matema-
tycznych, por. [3, 4] i stale są wzbogacane nowymi propozycjami symulacji komputerowych
[5]. Najprostsza metoda klasyczna MC polega na generowaniu rozwią zań próbnych (dalej
nazywamy je krótko "próbkami"), i sprawdzaniu czy spełniają one przyjęte kryteria nieza-
wodnoś ci. Bardziej złożoną jest metoda ś redniej ważonej (ang. importance sampling), która
wymaga mniejszej liczby próbek do obliczenia prawdopodobieństwa niezawodnoś ci [3, 5].

W teorii konstrukcji próbki dla metod MC liczymy zazwyczaj metodą elementów

skończonych (MES), por. [6]. Wymienione symulacje numeryczne wymagaj ą na ogół bardzo
dużej liczby próbek co przy bardziej złożonych konstrukcjach czyni metody MC
numerycznie nieefektywnymi. W tym zakresie interesują cą jest próba zastosowania
sztucznych sieci neuronowych do generowania próbek [7].

W referacie rozwijamy pomysł z pracy [7] i sprawdzamy go na przykładzie oceny

probabilistycznej noś noś ci płaskiej ramy sprężysto-plastycznej z losową granicą
plastycznoś ci materiału. Do obliczenia wzorców do uczenia i testowania sieci stosujemy
własny program MES, oparty na pracy [8]. Dzięki prostej sieci jednokierunkowej istotnie
skrócono czas generowania próbek co umożliwiło szybkie wyznaczanie probabilistycznej
granicy noś noś ci dla różnych przypadków zmiennoś ci granicy plastycznoś ci w prętach
rozpatrywanej ramy.

1

Mgr inż., Wydział Inżynierii Lą dowej i Środowiska Uniwersytetu Zielonogórskiego

2

Prof. zw. dr hab. inż., Wydział Inżynierii Lą dowej Politechniki Krakowskiej

78

2. Niezawodność i zawodność konstrukcji

W dalszym cią gu pomijamy czynnik czasu. Za miarę niezawodnoś ci konstrukcji przyjmuje
się prawdopodobieństwo dla ustalonego czasu, zdefiniowane w następują cy sposób:

Q = Prob {G (R, S )

>

0}

º

Prob {R

>

S } , (1)

gdzie: G (S, R ) – funkcja stanów (zapas bezpieczeństwa), R = R (X

R

) – losowa noś noś ć

konstrukcji, S (X

S

) – losowe obcią żenie, X = [X

R

, X

S

] – wektor losowych stanów kon-

strukcji, por. [9].

Do dalszych rozważań wprowadzamy też losową zawodnoś ć (niesprawnoś ć) konstrukcji:

G (X)

º

R

-

S

£

0 , (2)

oraz prawdopodobieństwo zawodnoś ci :

q

= Prob { G (X)

£

0 } =

∫

f (X ) dX , (3)

G(X)

£

0

gdzie: f (X) – funkcja gęstoś ci prawdopodobieństwa zawodnoś ci.

3. Numeryczne symulacje metodami Monte Carlo

Symulacje metodami Monte Carlo służą numerycznemu obliczaniu wartoś ci całki (3).
Zakłada się, że wszystkie zmienne losowe funkcji G (X) są zmiennymi niezależnymi. Przy
takim założeniu jest słuszne prawo wielkich liczb, a więc przybliżoną wartoś ć prawdopodo-
bieństwa zawodnoś ci konstrukcji można obliczać wzorem [4]:

( )

å

=

=

N

i

i

I

N

q

1

1

X

(4)

gdzie: N – całkowita liczba symulacji (wylosowanych próbek), I (X

i

)– następują co zdefinio-

wany wskaźnik:

( )

( )

( )

.

,

0

dla

0

dla

0

1

>

£

î

í

ì

=

i

i

i

G

G

I

X

X

X

(5)

Powyższa metoda, zwana metodą klasyczną MC (KMC lub metoda ‘orzeł-reszka’,

por.[4]), jest łatwa w stosowaniu, jednak dla uzyskania oszacowań obarczonych małym
błędem, wymaga bardzo dużej liczby symulacji. Przybliżony błą d tej metody okreś lony jest
wzorem (6), por. [4]:

,

1 N

=

d

(6)

gdzie: N – całkowita liczba symulacji.

Istnieje wiele metod o znacznie lepszej efektywnoś ci [3, 4]. Jedną z nich jest metoda

‘ś redniej ważonej’ (w skrócie WMC, zwana też metodą losowania istotnego, por. [4]). W
metodzie tej, łą czne prawdopodobieństwo zawodnoś ci konstrukcji przybliża wzór:

79

( )

å

=

=

N

i

i

K

N

q

1

1

X

,

(7)

gdzie K (X

i

) – zdefiniowano poniżej:

( )

( )

( )

( )

( )

.

,

0

dla

0

0

dla

i

î

í

ì

>

£

=

i

i

i

X

i

X

G

G

g

f

K

X

X

X

X

X

(8)

gdzie: f

X

(X) – funkcja gęstoś ci rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej, g

X

(X)

–

przyjęta funkcja wagi.

4. Zastosowanie SSN do generowania próbek dla metod MC

Do generowania próbek okreś lają cych stany konstrukcji zazwyczaj stosuje się metodę
elementów skończonych. Stosowanie programu MES do obliczania próbek do metod MC
jest jednak na ogół nieefektywne numerycznie. Wynika to z koniecznoś ci obliczenia bardzo
wielkiej liczby próbek (rzędu kilkunastu a nawet kilkuset tysięcy), co może wymagać bardzo
długich czasów obliczeń. Z tego powodu w pracy [7] zaproponowano zastosowanie SSN. W
takim podejś ciu program MES jest używany do obliczenia wzorców do uczenia i testowania
SSN. Po nauczeniu sieci jest ona stosowana do generowania próbek dla metod MC. W [7]
wykazano, że takie podejś cie daje skrócenie czasu rzędu 10

-3

czasu potrzebnego do

generowania próbek za pomocą programu MES w porównaniu z generowaniem próbek
siecią neuronową .

Wyżej opisane podejś cie stosujemy do obliczania próbek odpowiadają cej noś noś ci

płaskich ram sprężysto-plastycznych, którą można obliczyć jednym z wielu programów
MES. W naszym referacie zastosowano program ELPLAF-v1,opracowany na podstawie [8]
Program uwzględnia rozłożoną plastycznoś ć i geometryczne nieliniowoś ci rzędu II. Do
obliczeń przyjęto model materiału idealnie plastycznego. Noś noś ć graniczna odpowiada
osią gnięciu granicznego punktu na ś cieżce równowagi, a więc noś noś ć jest obcią żeniem
krytycznym ogólnej utraty statecznoś ci ramy.

5. Probabilistyczna ocena nośności płaskiej ramy stalowej

Celem sprawdzenia działania opisanej metody oceniania bezpieczeństwa ram stalowych
przeprowadzono test numeryczny. Do analizy przyjęto wielokondygnacyjną ramę
analizowaną w [6]. Schemat ramy i konfigurację jednoparametrowego obcią żenia pokazano
na rys.1. Przyjęto, że rama jest złożona z jednakowych prętów o geometrycznych
chakterystykach przekroju poprzecznego i module sprężystoś ci jak na rysunku. Przyjęto, że
wartoś ć ś rednia granicy plastycznoś ci wynosi

m

= 240 Mpa, a odchylenie standardowe

s

= 24MPa.

Obliczenia wykonane programem ELPLAF-v1 dla granicy platycznoś ci

m

, jednakowej

dla wszystkich prętów dały wartoś ć noś noś ci ramy P

k

= 1042.3 kN, a więc niższą niż

noś noś ć o wartoś ci 1143.7 kN, obliczona w [6] metodą przegubów plastycznych na
podstawie teorii geometrycznie liniowej.

Dalej przyjęto, że granice plastycznoś ci dla wszystkich słupów i rygli są dwoma

zmiennymi losowymi, odpowiednio X

1

= R

s

i X

2

= R

r

. Wszystkie obliczenia, zarówno

dotyczą ce tworzenia sieci neuronowej jak i generowania próbek metodami MC wykonano w
ś rodowisku MATLAB 5, [10].

80

E = 21000 kN/cm

2

s

0

= 24 kN/cm

2

A = 149 cm

2

J = 25170 cm

4

S = 1868 cm

3

Z = 1638 cm

3

40

0

0.1P

P

P

P

1200

1200

0.1P

0.1P

0.1P

40

0

40

0

40

0

Rys. 1. Schemat ramy i dane geometryczne i materiałowe

5.1. Neuronowa predykcja nośności ramy

Przyjęto sieć typu WPB (ze wsteczną propagacja błędów) o strukturze 2

-

3

-

1 , a więc z jedną

warstwą ukrytą o dwuelementowym wektorze wejś cia, trzech sigmoidalnych neuronach w
warstwie ukrytej i jednoelementowym wyjś ciu. Problem przewidywania obcią żenia
krytycznego sformułowano jako odwzorowanie wektora wejś cia x w skalarne wyjś cie y :

x

(2

´

1)

= { R

s

, R

r

}

®

y

= P

k

, (9)

gdzie: R

s

– granica plastycznoś ci słupów, R

r

– granica plastycznoś ci rygli, P

k

– wartoś ć

obcią żenia krytycznego.

Do uczenia sieci przyjęto 256 różnych wzorców, zaś do jej testowania 100 wzorców.

Obliczenia wykonano za pomocą symulatora neuronowego [10] korzystają c z metody
uczenia Back-Propagation z członem Momentum. Do obliczeń przyjęto 2000 epok. Tabl. 1
pokazuje dokładnoś ć predykcji neuronowej w porównaniu z wartoś ciami P

k

obliczonymi za

pomocą MES. W tablicy zestawiono błędy:

V

avr ep = 1/V

å

ep , max ep =max{ep

½

p = 1,...,V } dla ep =

½

1

-

y

(p)

/ t

(p)

½×

100 %

( )

( )

(

)

,

1

1

2

å

=

-

=

V

p

p

p

y

f

V

RMS

(10)

gdzie: V = L , T

-

liczebnoś ć wzorców odpowiednio dla zbioru uczą cego i testują cego, t

( p)

,

y

( p)

-

wartoś ci wyjś ciowe znane i obliczane siecią dla wzorca p . W Tabl. 1 podano też

wartoś ci współczynnika korelacji dla zbioru par { t

( p)

,

y

( p)

} .

Na rys. 2 pokazano wyniki predykcji neuronowej na tle wyników otrzymanych za

pomocą MES dla wartoś ci obcią żenia krytycznego ramy jako funkcji zmiennych granic
plastycznoś ci rygli i słupów P

k

(R

s

, R

r

) .

Na rys. 2a pokazano rozkład wartoś ci obcią żenia krytycznego P

k

, obliczonych siecią

neuronową podczas uczenia na L = 256 regularnie rozłożonych wartoś ciach granic
plastycznoś ci ( 16

´

16 wartoś ci), a na Rys.2b są widoczne wyniki testowania na T = 100

wzorcach odpowiadają cych wylosowanym wartoś ciom granic plastycznoś ci. Przedstawione

81

wyniki wskazują na bardzo dobre właś ciwoś ci predykcyjne sieci o dokładnoś ciach podanych
w tabl. 2.

Tablica 1. Błędy aproksymacji neuronowej

Proces

avr ep [%] max ep [%] RMS

r

uczenie

0.379

2.128

0.004822

0.9996

testowanie 0.387

1.118

0.004760

0.9980

a) b)

100

200

300

350

100

200

300

400

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

Rs [MPa]

Rr [MPa]

O

bc

ią

że

ni

e

kr

yt

yc

zn

e

P

k

*1

0

3

[

kN

]

150

200

250

300

150

200

250

300

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

Rs [MPa]

Rr [MPa]

O

bc

ia

że

ni

e

kr

yt

yc

zn

e

P

k

*1

0

3

[k

N

]

Rys. 2. Porównanie wyników predykcji sieci z wynikami analizy sprężysto-plastycznej

dla wzorców: a) uczą cych i b) testują cych, gdzie: □

-

MES,

Ñ

-

sieć neuronowa

Na rys. 2a pokazano rozkład wartoś ci obcią żenia krytycznego P

k

, obliczonych siecią

neuronową podczas uczenia na L = 256 regularnie rozłożonych wartoś ciach granic
plastycznoś ci ( 16

´

16 wartoś ci), a na Rys.2b są widoczne wyniki testowania na T = 100

wzorcach odpowiadają cych wylosowanym wartoś ciom granic plastycznoś ci. Przedstawione
wyniki wskazują na bardzo dobre właś ciwoś ci predykcyjne sieci o dokładnoś ciach podanych
w tabl. 1.

5.2. Symulacja Monte Carlo

Rozpatrzono trzy przypadki różnią ce się przyjmowanymi do analizy zmiennymi
losowymi X

i

. Dla każdej zmiennej losowej okreś lono funkcję rozkładu gęstoś ci

prawdopodobieństwa f (X

i

) oraz przyjęto parametry charakteryzują ce rozkłady, tj. wartoś ć

oczekiwaną

m

i odchylenie standardowe

s

. Charakterystyki poszczególnych przypadków

zestawiono w tabl. 2.

W przypadku 1 założono, że granice plastycznoś ci zmieniają się jednakowo we

wszystkich słupach i ryglach, tj. losowane są wartoś ci zmiennych X

2

= R

s

i X

3

= R

r

.W

przypadku 2 jest ustalona wartoś ć granicy plastycznoś ci w ryglach R

r

= 240 MPa , a wartoś ć

granicy plastycznoś ci w słupach jest losowana jako zmienna X

2

= R

s.

. W przypadku 3 przy

stałej wartoś ci granicy plastycznoś ci słupów R

s

= 240 MPa losuje się wartoś ć granicy

plastycznoś ci w ryglach X

3

= R

r

.

82

Tablica 2. Symulowane przypadki

Przypa-

dek

zmienna losowa

X

i

rozkład funkcji

f(X

i

)

wartoś ć oczekiw.

m

odchyl. stand.

s

obcią żenie S [kN] log.-normalny

6.592

0.2

R

s

słupów [MPa]

normalny

240

24

1

R

r

rygli [MPa]

normalny

240

24

obcią żenie S [kN] log.-normalny

6.592

0.2

2

R

r

słupów [MPa]

normalny

240

24

obcią żenie S [kN] log.-normalny

6.592

0.2

3

R

r

rygli [MPa]

normalny

240

24

We wszystkich trzech opisanych przypadkach, ocenę bezpieczeństwa konstrukcji

przeprowadzono dwiema metodami symulacji MC, tzn. metodą klasyczną KMC i metodą
ś redniej ważonej WMC. We wszystkich symulacjach metodą WMC jako funkcję wagi g(X

i

),

dla obcią żenia funkcję rozkładu normalnego o parametrach

m

=1042.3 kN i

s

=165 kN.

W tabl. 3 przedstawiono wyniki symulacji dla wszystkich rozpatrywanych

przypadków. Analiza wyników umieszczonych w tabl. 3. potwierdza lepszą skutecznoś ć
metody WMC w porównaniu z metodą KMC.

Tablica 3. Wartoś ci prawdopodobieństwa zawodnoś ci ramy obliczne metodami

Monte Carlo: klasyczna metoda MC (KMC) i metoda ś redniej ważonej (WMC

Rys. 3 pokazuje jak zmienia się prawdopodobieństwo niezawodnoś ci ramy dla

różnych wartoś ci obcią żeń S = P, przyjmowanych jako stałe w symulacjach przypadków
1-3. Widać , że krzywe losowej niezawodnoś ci dla przypadków 1 i 2 pokrywają się.
Inaczej jest w przypadku 3 gdy losowo zmienia się tylko granica plastycznoś ci rygli.
Ustalona wartoś ć granicy plastycznoś ci słupów powoduje, że od wartoś ci obcią żenia
równego wartoś ci krytycznej P

kr

= 1042 kN o noś noś ci ramy decyduje uplastycznienie

utwierdzenia słupów [6].

Wykresy losowej niezawodnoś ci ramy pozwalają oszacować wartoś ć obcią żenia jakie

można przykładać do ramy o założonym prawdopodobieństwie niezawodnoś ci. Na Rys. 3
pokazano przykładowo przyjęte prawdopodobieństwa Q = 0.9. W przypadku 1 losowej
zmiennoś ci granic plastycznoś ci słupów i rygli można przykładać obcią żenie P(0.9) = 927
kN, a w przypadku 3 obcią żenie bezpieczne wynosi P(0.9) = 1023kN.

Prawdopodobieństwo zawodnoś ci q

Przypadek 1

Przypadek 2

Przypadek 3

Liczba

próbek

KMC

WMC

KMC

WMC

KMC

WMC

50

0.02000

0.05023

0.02000

0.05534

0.0000

0.0333

100

0.04000

0.04926

0.04000

0.05012

0.0400

0.0371

1000

0.05000

0.05393

0.06700

0.05560

0.0550

0.0420

2000

0.05850

0.05731

0.05900

0.05330

0.0420

0.0415

5000

0.05520

0.05697

0.06220

0.05374

0.0446

0.0425

10000

0.05550

0.05583

0.05860

0.05411

0.0420

0.0415

50000

0.05778

0.05623

0.05462

0.05627

0.0418

0.0417

100000

0.05509

0.055825 0.05498

0.05505

0.0416

0.0416

83

Obcią żenie S = P [kN]

pr

aw

d.

n

ie

za

w

od

no

śc

i r

am

y

Q

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

600

800

1023

1200

1400

à

Rr

-

zm.los.; Rs=const

D

Rr=const; Rs

-

zm.los.

•

Rr

-

zm.los.; Rs

-

zm.los.

0.9

927

1000

Rys. 3. Prawdopodobieństwa niezawodnoś ci Q dla ustalonych wartoś ci obcią żeń S = P

5.3. Analiza czasów obliczeń

Obliczenia wykonywano na komputerze z procesorem AMD A1000 pod systemem
Windows98. W trakcie obliczeń pomierzono czasy generowania próbek (obliczanie
wartoś ci krytycznej P

kr

( R

s

, R

r

) ) za pomocą programu ELPLAF-v1 oparto na [8] oraz

za pomocą sieci neuronowej BP+M: 2-3-1 programem [10]. Okazało się, że dla
przypadku jednego losowania wartoś ci granic plastycznoś ci, R

r

i R

r

czas obliczeń

programem MES wynosił od 10.13 do 83.16 sec i ś rednio ok. 32 sec ( dla 67 losowań
czas wynosił 2077 sec). Oznacza to, że dla przygotowania 356 wzorców do uczenia i
testowania sieci używają c program MES był potrzebny czas obliczeń ok. 3.1 godz. W
taki sam sposób. Jeś li przyjmiemy metodę WMC i liczbę wzorców 1000 to stosują c
program MES uś redniony czas obliczenia dla jednego rozwią zania (punkt na rys. 3)
wynosi 32

´

1000 =3.2

´

10

4

sec.

Obliczanie jednego rozwią zania (punkt na Rys.3) metodami Monte Carlo z

generowaniem 100000 próbek za pomocą sieci neuronowe wymagało 1.20 sec dla KMC i
1.80 sec dla WMC. Taki czas jest rzędu 0.5

´

10

-4

mniejszy niż czas obliczeń dla 1000

próbek za pomocą programu MES.

W pracy [6], gdzie zastosowano program MES oparty na założeniu przegubów

plastycznych i teorii rzędu I dla 1000 próbek otrzymano czas ok. 0.6

´

10

4

sec. W pracy [7]

analizowano większe ramy niż rama na rys.3 i czasy obliczeń metodami MC dla 100000
próbek generowanych za pomocą sieci BPNN: 2-6-1 były rzędu 6.0 sec.

6. Wnioski koń cowe

1. Zastosowanie sieci neuronowych do generowania próbek w metodach Monte Carlo

może istotnie skrócić czas obliczania krzywych prawdopodobieństwa niezawodnoś ci
konstrukcji.

2. W pracy analizowaliś my stosunkowo prosty przykład ramy prostoką tnej, dwunawo-

wej i czteropiętrowej dla dwóch losowych zmiennych materiałowych (granice plastycznoś ci
wszystkich słupów i rygli). Bez istotnych zmian algorytmu można stosować opisane
podejś cie dla innych zmiennych losowych (np. zmian charakterystyk przekrojów,
geometrycznych imperfekcji prętów i całej ramy, losowych obcią żeń nieproporcjonalnych
lub wieloparametrowych) i innych typów konstrukcji dla których możemy obliczać za
pomocą MES wzorce do uczenia sieci.

84

3. Pełniejsze oszacowanie numerycznej efektywnoś ci dyskutowanego podejś cia wymaga

znacznie szerszej analizy numerycznej różnych konstrukcji i zapewne będzie istotnie zależne
od liczby i typu zmiennych losowych.

Literatura

[1] MURZEWSKI J., Niezawodność konstrukcji inżynierskich, Warszawa, Arkady, 1989.
[2] BIEGUS A., Probabilistyczna analiza konstrukcji stalowych, Warszawa-Wrocław,

PWN, 1999.

[3] RUBINSTEIN R.Y., Simulation and the Monte Carlo Method, New York, John Wiley

& Sons, 1981.

[4] ZIELIŃ SKI R., Metody Monte Carlo, Warszawa, WNT, 1970.
[5] MAREK P., GUSTAR M., ANAGNOS Th., Simulation-Based Reliability Assessment

for Structural Engineers,Boca Raton, Florida, CRC Press, 1996.

[6] PULIDO J. E., JACOBS T. L., PRATES DE LIMA E. C., Structural reliability using

Monte Carlo simulation with variance reduction techniques on elastic-plastic structures.
Computers & Structures. 1992, Vol. 43, No. 3, s. 419-430.

[7] PAPADRAKAKIS M., PAPADOPOULOS V., LAGAROS N. D., Structural reliability

analysis of elastic-plastic structures using neural networks and Monte Carlo simulation.
Computer methods in applied mechanics and engineering. Vol. ... 1996, s. 145-163.

[8] WASZCZYSZYN Z., PABISEK E., Elastoplastic analysis of plane steel frames by a

new superelement., Archiwum Inżynierii Lą dowej, (praca przyjęta do druku).

[9] MACHOWSKI A., Zagadnienia stanó w granicznych i niezawodności szkieletó w

budynkó w wielokondygnacjowych, Politechnika Krakowska, Seria Inż. Lą d., Monografia
262, 1999.

[10] DEMUTHN H., BEALE M., Neural Network Toolbox for Use with MATLAB, User's

Guide, Version 3, The Math Works, Inc., 1998.

PROBABILISTIC ESTIMATION OF STRUCTURAL RELIABILITY

BY NEURAL NETWORK SUPPORTED MONTE CARLO METHODS

Summary

In the paper a forward neural network is used for generating samples in the Monte Carlo
methods. The patterns for network training and testing are computed by a FE program.
A high numerical efficiency of the proposed approach is demonstrated on example of a plane
multi-storey elasto-plastic frame.

Praca została wykonana w ramach projektu badawczego KBN Nr 8 T07E 002 20 pt.
"Zastosowanie sztucznych sieci neuronowych do analizy konstrukcji stalowych".