ZESTAW IV

Zad 1. (3pkt)

Wyznacz zbiór wartości funkcji  , gdzie  .

Zad 2. (6pkt)

W prostokątnym układzie współrzędnych zaznacz zbiór punktów płaszczyzny, których współrzędne (x,y) spełniają warunek : 

Zad 3. (4pkt)

Wykaż, że wielomian    jest podzielny przez wielomian  dla każdego 

Zad 4. (8pkt)

Dany jest okrąg o równaniu .

1. Napisz równania stycznych do danego okręgu, prostopadłych do prostej o równaniu .

2. Oblicz pole trójkąta , gdzie ,  są punktami przecięcia się stycznych z prostą o równaniu , zaś  jest środkiem danego okręgu.

Zad 5. (6pkt)

W trapez równoramienny o obwodzie 60 wpisano okrąg. Przekątna trapezu ma długość 17. Oblicz pole trapezu.

Zad 6. (6pkt)

Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym .

1. Wykaż, że (a_n) jest ciągiem arytmetycznym.

2. Wybierz sto kolejnych początkowych wyrazów ciągu a_n i oblicz dla jakiej liczby naturalnej k stosunek wyrazu stojącego na miejscu k, licząc od początku, do wyrazu stojącego na miejscu k, licząc od końca, jest równy .

Zad 7. (4pkt)

Wzór funkcji    tworzymy w następujący sposób.

Ze zbioru Z = {-3, -2, -1, 1, 2, 3} losujemy kolejno 3 liczby (bez zwracania); pierwsza z wylosowanych liczb jest równa współczynnikowi , druga – współczynnikowi , trzecia – współczynnikowi . Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:

A – funkcja f jest funkcją malejącą w każdym ze zbiorów  oraz ;

B – miejscem zerowym funkcji f jest liczba 0.

Zad 8. (4pkt)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz cosinus kąta utworzonego przez dwie sąsiednie ściany boczne.

Zad 9. (5pkt)

Wyznacz algebraicznie zbiór tych wszystkich punktów P(x) osi liczbowej, których suma odległości od punktów  A(-3) oraz  B(-1)  jest mniejsza od 5.

Zad 10. (4pkt)

Wyznacz wszystkie ciągi geometryczne o wyrazach różnych od zera, w których każdy wyraz, poczynając od wyrazu trzeciego, jest równy średniej arytmetycznej dwóch poprzednich wyrazów.