Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska

Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy

im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich w Bydgoszczy

Referat z przedmiotu

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI

TEMAT R.44: Stateczność pręta prostego.

Wyboczenie pręta

Wiadomo z doświadczenia, że jeśli pręt obciążamy zwiększającą się siłą ściskającą P, to pozostanie on prosty dopóki siła ta nie przekroczy war­tości krytycznej P_kr. Po przekroczeniu wartości krytycznej siła spowo­duje ugięcie osi pręta, zwane wyboczeniem. Poniższy rysunek pokazuje 2 różne przypadki:

1. po lewej stronie siła ściskająca mniejsza od siły krytycznej i brak wyboczenia

2. po prawej stronie siła większa od siły krytycznej i wyboczenie pręta

Wynika to stąd, że dla P < P_kr równowadze trwałej odpowiada postać prosta, a dla P > P_kr postać krzywa pręta (dla P = P_kr możliwe są oby­dwie postacie). Wyboczenie jest jednym z przypadków utraty statecz­ności, która powoduje niekorzystną zmianę skutków obciążenia pręta.

Na skutek dążenia do zmniejszenia ciężaru elementów maszyn stają się one coraz bar­dziej podatne na utratę stateczności. Euler wyprowadził formułę na siłę krytyczną przy wytoczeniu spręży­stym pręta. W równaniu osi ugiętej pręta, który uległ wyboczeniu, nale­ży wstawić moment gnący zależny od samego ugięcia M_g = P_kr

EI ” = - P_kr (1)

Po uporządkowaniu otrzymamy równanie różniczkowe znanego typu

(2)

Całka ogólna takiego równania ma, jak wiadomo, następującą postać

(3)

Stałe A i B należy wyznaczyć z warunków brzegowych, które dla pręta przedstawionego na powyższym rysunku przedstawiają się następująco:

dla x = 0, = 0,

dla x = l, = 0.

Z pierwszego warunku brzegowego wynika, że B = 0, a więc drugi wa­runek będzie miał następującą formę

Będzie on spełniony, gdy A = 0, co prowadzi do rozwiązania trywialne­go, ponieważ pręt pozostaje prosty, lub gdy

Wynika stąd wzór na eulerowską siłę krytyczną (a ściślej mówiąc, ciąg takich sił dla n=1,2,3,...)

(4)

Praktyczne znaczenie ma najmniejsza z tych sił odpowiadająca n= 1. Dalsze bowiem zwiększanie siły

działającej na pręt, który po wyboczeniu podlega ściskaniu ze zginaniem, prowadzi do pojawienia się od­kształceń plastycznych i trwałego zgięcia pręta

(5)

W formule tej wprowadzono długość redukowaną

(6)

gdzie współczynnik a zależy od sposobów zamocowania końców pręta. Dzięki temu nie trzeba rozwiązywać zadań dla każdego rodzaju warun­ków brzegowych. Wartości współczynnika a podano w poniższej tabeli i teraz wzór (5) nabiera bardziej uniwersalnego charakteru.

Dokonuje się dalszych przekształceń omawianego wzoru, dzieli się go obustronnie przez przekrój A i wprowadza jednocześnie I = Ai²

Następnie licznik i mianownik prawej strony tego równania dzieli się przez promień bezwładności .Jeśli wprowadzi się pojęcie naprężenia krytycznego oraz smukłości pręta l zdefiniowanej następująco

(7)

otrzyma się ostatecznie

(8)

Formuła ta jest słuszna, jeśli < , gdzie jest granicą proporcjo­nalności, tzn. największą wartością naprężenia, przy której obowiązuje prawo Hooke'a. W przypadku granicznym zachodzi zależność =, z której wyliczyć można smukłość graniczną pręta l_gr.

(9)

Wzory (5) i (8) można stosować, gdy l > l_gr.

W przypadku gdy l < l_gr, zachodzi utrata stateczności pręta, w którym pojawiają się odkształcenia plastyczne, a więc wyboczenie sprężysto-plastyczne. Nadal jednak < R_e, czyli wyboczenie jest bardziej nie­bezpieczne niż uplastycznienie pręta. Dla tego rodzaju przypadków nie ma, niestety, przekonywującego rozwiązania teoretycznego. Posługiwać się trzeba zależnościami ustalonymi eksperymentalnie.

Wzór Tetmajera-Jasińskiego

=a - bl (10)

gdzie a, b- stałe materiałowe określone doświadczalnie.

Wzór Johnsona-Ostenfelda

=A – Bl² (11)

gdzie A i B - stałe materiałowe ustalone doświadczalnie.

W tablicy 5.1 podano wartości a, b, A, B w MPa dla kilku materiałów.

Materiał	Wzór Tetmajera-Jasińskiego	Wzór Johnsona-Ostenfelda
	lgr	a
Stal niskowęglowa	105	310
Stal (0,28 - 0,37% C)	100	464
Stal niklowa (do 5% ) Ni)	86	470
Drewno miękkie (świerk)	100	29,3
^1) Wartość lgr, w aproksymacji Ostenfelda wyznacza się z warunku ciągłości krzywej Eulera i krzywej aproksymacyjnej.

Kryteria wyboczenia pręta mogą być sformułowane w formie następu­jących nierówności

(12)

(13)

gdzie n_w — współczynnik bezpieczeństwa ze względu na wyboczenie.

Trudność w stosowaniu tych kryteriów polega na tym, że zależność między σ_kr a l jest opisana formułą Eulera dla l > l _gr oraz wzorem Tetmajera-Jasińskiego lub Johnsona-Ostenfelda dla l < l _gr, przy czym dla bardzo małych A utrata stateczności jest równorzędna z uplastycz­nieniem materiału pręta, czyli σ_kr = R_e. Sytuację tę ilustruje wykres za­leżności σ_kr od l _gr .

Aby uniknąć wspomnianych komplikacji, stosuje się w praktyce uproszczone kryterium wyboczenia

(14)

gdzie:

k_c - dopuszczalne naprężenie materiału na ściskanie,

β- współ­czynnik zależny od smukłości pręta oraz rodzaju materiału.

Współczynnik β dla kilku materiałów:

Materiał	X
	20
St05 St35 St35x	0,950
18G2 18 G2A	0,950

Metoda energetyczna wyznaczania siły krytycznej dla wyboczenia sprężystego

Gdy wyznaczenie siły krytycznej przez całkowanie równania różnicz­kowego osi ugiętej jest trudne, wówczas można określić ją w sposób przybliżony metodą energetyczną.

Rozważymy pręt obciążony siłą osiową P oraz siłą Q prostopadłą do osi. Jeżeli P < P_kr, równowadze trwałej odpowiada postać prosta pręta. Po przyłożeniu siły Q nastąpi ugięcie osi pręta. W trakcie tego ugięcia osi siły P oraz Q wykonują pracę równą odpowiednio Pd oraz L(Q), gdzie d jest przemieszczeniem ruchomego końca pręta. Przyjmuje się, że siła P pozostaje stała na całej drodze d. Energia sprężysta zgina­nia pręta V jest równa sumie prac wykonanych przez siłę P i Q

V = Pd + L(Q) (15)

Określona, stała wartość energii sprężystej może być osiągnięta przy róż­nych stosunkach Q do P. Z równania (15) wynika, że jeśli V = const, to większej sile P odpowiada mniejsza siła Q. Możliwe jest przejście od osi prostej do ugiętej przy Q = 0. Nastąpi to, oczywiście, wówczas gdy P = P_kr.

Energia sprężysta zmagazynowana w pręcie zginanym

może być po uwzględnieniu w tym wzorze zależności wy­rażona w następującej formie

(16)

Przemieszczenie d jest równe różnicy między długością pierwotną l prę­ta a rzutem jego osi ugiętej na oś prostą

(17)

Po wstawieniu Q = 0 oraz zależności (16) i (17) do wzoru (15) oblicza się siłę krytyczną

(18)

Aby uzyskać dostatecznie dokładny wynik, należy przyjąć funkcję w takiej postaci, aby spełnione zostały brzegowe warunki geometryczne (dotyczące ugięć oraz kątów ugięcia = ’) oraz brzegowe warunki siłowe (dotyczące momentów gnących M_g proporcjonalnych do " oraz sił poprzecznych proporcjonalnych do ”’).

Dla pręta (na rysunku z początku tego podrozdziału) przyjmujemy funkcję w postaci wielomianu = a + bx + cx² + dx³ + ex⁴. Muszą być spełnione następujące wa­runki brzegowe:

-geometryczne

-siłowe (mechaniczne)

M_g(x = 0) = 0, czyli

M_g(x = l) = 0, czyli

Z warunków tych wynika a=0,b = el³, c = 0, d = -2el, a wiec funkcja będzie miała postać . Po wstawieniu jej do wzoru (18) oblicza się siłę krytyczną

(19)

Wyliczona wartość jest większa niż wartość ścisła zaledwie o 0,13%.

Stateczność belki zginanej o wąskim przekroju prostokątnym

Zajmiemy się statecznością belki o długości l i wąskim przekroju pro­stokątnym o podstawie (szerokości) b i wysokości h. Podlega ona zginaniu momentem zewnętrznym M.

Końce belki są zamocowane między rolkami o osiach pionowych. Moż­liwe są obroty przekrojów końcowych belki względem osi y oraz z spowodowane zginaniem; niemożliwy jest natomiast obrót względem osi pręta x, spowodowany skręcaniem.

W przypadku osiągnięcia przez obciążenie zewnętrzne wartości kry­tycznej M= M_kr, następuje utrata stateczności belki. Oś belki wygina się w płaszczyźnie xz (a nie tylko w płaszczyźnie xy, jak to występowało przed utratą stateczności). Związane to jest z pojawieniem się w jej przekroju dodatkowego momentu gnącego M_g. Ponadto przekroje belki obracają się wokół osi x, ponieważ podlega ona skręcaniu momentem M_s. Na zamocowanych końcach belki działają reakcje więzów w postaci nieznanych momentów M₀. Dodatkowe siły wewnętrzne M_g i M_s w do­wolnym przekroju odległym o x od lewego końca belki są zależne od momentów zewnętrznych M i M₀.

Moment gnący M_g jest rzutem wektora M na obróconą o kąt skręcenia oś pionową przekroju prostokątnego (która jest linią obojętną tego zginania)

(20)

Ponieważ kąt skręcenia jest mały, . Znak minus po prawej stronie zależności (20) wynika z reguły znaków M_g przyjętej w ukła­dzie osi współrzędnych x, y, z.

Moment skręcający M_s jest równy sumie rzutów momentów zewnętrz­nych M i M₀, działających po prawej stronie przekroju, na styczną do osi ugiętej belki w płaszczyźnie xz. Styczna ta tworzy z osią prostą belki kąt ugięcia = w', gdzie w jest przemieszczeniem środka ciężkości przekroju w kierunku osi z

(21)

Ponieważ kąt ugięcia jest mały,

Można teraz napisać następujące równanie

(22)

(zauważamy, że znak po prawej stronie równania przy M_g jest dodatni, ponieważ oś y układu współrzędnych jest zwrócona do góry, przeciwnie niż to zwykle czynimy)

(23)

gdzie: (o wiele mniejszy niż ), E oraz G - współczynniki sprężystości podłużnej oraz poprzecznej.

Kąt skręcenia f wyliczony z zależności (22) równa się

(24)

Po wstawieniu wzoru (24) do (23) i prostych przekształceniach otrzymujemy równanie różniczkowe ze względu na ugięcie w

(25)

gdzie:

(26)

Całka ogólna równania (25) ma następującą postać

(27)

Po wstawieniu zależności (27) do (24) otrzymujemy formułę

(28)

Stałe wyliczamy z warunków brzegowych

Z warunków brzegowych wynika, że może być różne od zera tylko wówczas, gdy:

sin kl = 0, czyli kl = π (29)

Po wstawieniu zależności (26) do (29) i uwzględnieniu, że M = M_kr wyznaczamy moment krytyczny

(30)

Jeśli przekroje końcowe belki nie mogą się obracać wokół pionowej osi y (końce belki są umieszczone między pionowymi sztywnymi ścianami (rysunek powyżej) moment krytyczny wynosi:

(31)