Transformaty kilku typowych funkcji czasowych.

Przykład 1

Funkcja ekspotencjalna:

$$f\left( t \right) = \left\{ \begin{matrix} 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t < 0\ \ \ \ \\ A \bullet e^{- at}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

gdzie A oraz a są stałymi.

Transformata Laplace'a funkcji ekspotencjalnej:

$$F\left( s \right)\mathcal{= L}\left\{ A \bullet e^{- at} \right\} = \int_{0}^{\infty}{A \bullet e^{- at} \bullet e^{- st}\text{dt}} = A\int_{0}^{\infty}{e^{- \left( a + s \right)t}\text{dt}} = \left. \ - A\frac{e^{- \left( a + s \right)t}}{s + a} \right|_{0}^{\infty} = \frac{A}{s + a}$$

Przykład 2

Funkcja skokowa

$$f\left( t \right) = \left\{ \begin{matrix} 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t < 0\ \ \ \ \\ A\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

gdzie A jest stałą.

Transformata Laplace'a funkcji skokowej

$$F\left( s \right)\mathcal{= L}\left\{ A \right\} = \int_{0}^{\infty}{A \bullet e^{- st}\text{dt}} = A\int_{0}^{\infty}{e^{- \text{st}}\text{dt}} = \left. \ - A\frac{e^{- \text{st}}}{s} \right|_{0}^{\infty} = \frac{A}{s}$$

Funkcja skokowa, której wysokość jest jednostkowa (A = 1) nazywana jest jednostkową funkcją skokową.

Przykład 3

Funkcja liniowo narastająca

$$f\left( t \right) = \left\{ \begin{matrix} 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t < 0\ \ \ \ \\ A \bullet t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

gdzie A jest stałą.

Transformata Laplace'a funkcji liniowo narastającej:

$$F\left( s \right)\mathcal{= L}\left\{ A \bullet t \right\} = \int_{0}^{\infty}{A \bullet t \bullet e^{- st}\text{dt}} = A\int_{0}^{\infty}{te^{- \text{st}}\text{dt}} = \left. \ - A\frac{te^{- \text{st}}}{s} \right|_{0}^{\infty} - A\int_{0}^{\infty}{\frac{e^{- \text{st}}}{- s}\text{dt}} = \frac{A}{s^{2}}$$

Przy wyznaczaniu całki zastosowano metoda całkowania przez części

∫udv = uv − ∫vdu

gdzie: u=t oraz dv=e^-stdt

Przykład 4

Funkcja sinusoidalna

$$f\left( t \right) = \left\{ \begin{matrix} 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t < 0\ \ \ \ \\ A\sin\text{ωt}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

gdzie A oraz ω są stałymi.

Funkcja sin ωt może zostać zapisana następująco:

$$\sin\text{ωt} = \frac{1}{2j}\left( e^{\text{jωt}} - e^{- j\omega t} \right)$$

Stąd:

$$F\left( s \right)\mathcal{= L}\left\{ A\sin\text{ωt} \right\} = \frac{A}{2j}\int_{0}^{\infty}{\left( e^{\text{jωt}} - e^{- j\omega t} \right)e^{- st}\text{dt}} = \left. \ - \frac{A}{2j}\frac{e^{- \left( s - j\omega \right)t}}{s - j\omega} \right|_{0}^{\infty}\left. \ + \frac{A}{2j}\frac{e^{- \left( s + j\omega \right)t}}{s + j\omega} \right|_{0}^{\infty} = \frac{A}{2j}\frac{1}{s - j\omega} - \frac{A}{2j}\frac{1}{s + j\omega} = \frac{\text{Aω}}{s^{2} + \omega^{2}}$$

Podobnie wyznacza się transformatę funkcji Acosωt

$$\cos\text{ωt} = \frac{1}{2}\left( e^{\text{jωt}} + e^{- j\omega t} \right)$$

$$F\left( s \right)\mathcal{= L}\left\{ A\cos\text{ωt} \right\} = \frac{\text{As}}{s^{2} + \omega^{2}}$$

Przykład 5

Funkcja impulsowa jednostkowa (funkcja delta Diraca)

$$f\left( t \right) = \left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t < 0\ \ \ \ \\ \infty\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t = 0 \\ \end{matrix} \\ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t > 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Transformata Laplace'a funkcji impulsowej

F(s)=ℒ{δ(t)} = ∫0∞δ(t) • e−stdt = A∫0−0+δ(t)dt = 1

ODWROTNA TRANSFORMATA LAPLACE'A

Operację wyznaczania funkcji f(t) z danej transformaty operatorowej Laplace'a F(s) wykonuje się przy użyciu odwrotnej transformaty Laplace’a, a którą wyznacza się z następującego wzoru

$$\mathcal{L}^{- 1}\left\{ F\left( s \right) \right\} = \frac{1}{2\text{πj}}\int_{c - j\infty}^{c + j\infty}{F\left( s \right)e^{\text{st}}\text{ds}} = \left\{ \begin{matrix} f\left( t \right) \\ 0 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\begin{matrix} t \geq 0 \\ t < 0 \\ \end{matrix}$$

gdzie c jest stałą, która jest większa od części rzeczywistych wszystkich punktów funkcji na płaszczyźnie s, w których funkcja F(s) nie istnieje. Równanie opisuje całkowanie wzdłuż linii znajdującej się na płaszczyźnie s.

Dla prostych funkcji, operacja znajdowania odwrotnej transformaty operatorowej polega na wyszukaniu odpowiedniej funkcji z tabeli transformat Laplace'a. Dla funkcji złożonych, odwrotna transformata Laplace'a znajdowana jest przez rozkład na ułamki proste i następnie przez zastosowanie tabeli transformat.

Do rozkładu funkcji operatorowej F(s) na ułamki proste mogą być używane również programy komputerowe takie jak np. residue z pakietu MATLABA.

WYZNACZANIE ODWROTNEJ TRANSFORMATY LAPLACE'A PRZEZ ROZKŁAD NA UŁAMKI PROSTE

Transformata Laplace'a rozwiązująca równanie różniczkowe jest funkcją operatorową względem s, i może to zostać zapisane następująco:

$$F\left( s \right) = \frac{L\left( s \right)}{M\left( s \right)}$$

gdzie L(s) i M(s) są wielomianami względem s. Rząd wielomianu M(s) jest większy od rzędu wielomianu L(s). Wielomian mianownika M(s) może być zapisany następująco:

M(s) = a_nsⁿ + a_n − 1s^n − 1 + a_n − 2s^n − 2 +  …+a₁s + a₀

Każdy wielomian n-tego rzędu na płaszczyźnie zespolonej ma n miejsc zerowych. Miejsca zerowe mianownika są nazywane biegunami funkcji zespolonej F(s). Bieguny funkcji zespolonej F(s) mogą być pojedyncze, wielokrotne i zespolone. W każdym przypadku wielomian można zapisać w postaci iloczynu znając wszystkie miejsca zerowe funkcji.

Bieguny jednokrotne funkcji zespolonej F(s)

Jeśli wszystkie bieguny funkcji operatorowej F(s) są jednokrotne (pojedyncze) i rzeczywiste, wówczas równanie funkcji może zostać zapisane następująco:

$$F\left( s \right) = \frac{L\left( s \right)}{M\left( s \right)} = \frac{L\left( s \right)}{\left( s - s_{1} \right)\left( s - s_{2} \right)\left( s - s_{3} \right)\ldots\ \left( s - s_{n} \right)}$$

Jeśli rząd licznika jest mniejszy od rzędu mianownika, wówczas rozkład funkcji F(s) na ułamki zwykłe jest następujący:

$$F\left( s \right) = \frac{L\left( s \right)}{M\left( s \right)} = \frac{K_{1}}{\left( s - s_{1} \right)} + \frac{K_{2}}{\left( s - s_{2} \right)} + \frac{K_{3}}{\left( s - s_{3} \right)} + \ \ldots\ + \frac{K_{n}}{\ \left( s - s_{n} \right)}$$

Są dwa sposoby wyznaczania współczynników K_i (i = 1, 2, ..., n). Pierwszy polega na sprowadzeniu sumy ułamków zwykłych do wspólnego mianownika i porównaniu ze sobą odpowiadających sobie współczynników liczników. Drugi znacznie szybszy, tzw. metodą residuum, polega na obustronnym pomnożeniu równania przez (s – s_i ), podstawieniu za s = s_i i wyznaczenie współczynnika K_i następująco:

$$K_{i} = \left. \ \left\lbrack \left( s - s_{n} \right)\frac{L\left( s \right)}{M\left( s \right)} \right\rbrack \right|_{s = s_{i}} = \frac{L\left( s_{i} \right)}{\left( s_{i} - s_{1} \right)\left( s_{i} - s_{2} \right)\left( s_{i} - s_{3} \right)\ldots\ \left( s_{i} - s_{n} \right)}$$

Jeśli stopień wielomianu licznika nie jest niższy aniżeli stopień wielomianu mianownika, wówczas wielomian licznika musi zostać podzielony przez wielomian mianownika, aż uzyska się stopień wielomianu resztkowego niższy od stopnia mianownika:

$$F\left( s \right) = \frac{L\left( s \right)}{M\left( s \right)} = \frac{L\left( s \right)}{\left( s - s_{1} \right)\left( s - s_{2} \right)\left( s - s_{3} \right)\ldots\ \left( s - s_{n} \right)} = \begin{matrix} \text{Iloraz} \\ calkowity \\ \end{matrix} + \frac{L_{\text{Nowy}}\left( s \right)}{\left( s - s_{1} \right)\left( s - s_{2} \right)\left( s - s_{3} \right)\ldots\ \left( s - s_{n} \right)}$$

Przykład: rozkład funkcji na ułamki proste

$$Y\left( s \right) = \frac{s + 2}{s\left( s^{2} + 4s + 3 \right)}\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{s + 2}{s\left( s + 1 \right)\left( s + 3 \right)}\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 1} + \frac{C}{s + 3}\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{As^{2} + 4As + 3A + Bs^{2} + 3Bs + Cs^{2} + Cs}{s\left( s^{2} + 4s + 3 \right)}\text{\ \ }$$

$$\left\{ \begin{matrix} A + B + C = 0 \\ 4A + 3B + C = 1 \\ 3A = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} A = \frac{2}{3} \\ B = - \frac{1}{2} \\ C = - \frac{1}{6} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{1}{2} \bullet \frac{1}{s + 1} - \frac{1}{6} \bullet \frac{1}{s + 3}\ $$

Ostatecznie $y\left( t \right) = \frac{2}{3} \bullet 1\left( t \right) - \frac{1}{2} \bullet e^{- t} - \frac{1}{6} \bullet e^{- 3t}\text{\ \ }$

lub metodą residuum

$$Y\left( s \right) = \frac{K_{1}}{s} + \frac{K_{2}}{s + 1} + \frac{K_{3}}{s + 3}\text{\ \ }$$

$$K_{1} = \left. \ \left\lbrack \left( s - 0 \right)\frac{s + 2}{s\left( s^{2} + 4s + 3 \right)} \right\rbrack \right|_{s = 0} = \left. \ \frac{s + 2}{s^{2} + 4s + 3} \right|_{s = 0} = \frac{2}{3}$$

$$K_{2} = \left. \ \left\lbrack \left( s + 1 \right)\frac{s + 2}{s\left( s^{2} + 4s + 3 \right)} \right\rbrack \right|_{s = - 1} = \left. \ \frac{s + 2}{s\left( s + 3 \right)} \right|_{s = - 1} = - \frac{1}{2}$$

$$K_{3} = \left. \ \left\lbrack \left( s + 3 \right)\frac{s + 2}{s\left( s^{2} + 4s + 3 \right)} \right\rbrack \right|_{s = - 3} = \left. \ \frac{s + 2}{s\left( s + 1 \right)} \right|_{s = - 3} = - \frac{1}{6}$$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{1}{2} \bullet \frac{1}{s + 1} - \frac{1}{6} \bullet \frac{1}{s + 3}$$

$$y\left( t \right) = \frac{2}{3} \bullet 1\left( t \right) - \frac{1}{2} \bullet e^{- t} - \frac{1}{6} \bullet e^{- 3t}\text{\ \ }$$

Przykład: sprowadzenie funkcji do ułamka właściwego: $Y\left( s \right) = \frac{s^{3} + 2}{s\left( s^{2} + 4s + 3 \right)}\text{\ \ }$

$\begin{matrix} \frac{1}{\left( s^{3} + 2 \right):\left( s^{3} + 4s^{2} + 3s \right)} \\ \frac{- s^{3} - 4s^{2} - 3s\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }{- 4s^{2} - 3s + 2}\text{\ \ \ \ \ \ } \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Y}\left( s \right) = 1 + \frac{- 4s^{2} - 3s + 2}{s\left( s^{2} + 4s + 3 \right)}\text{\ \ }$

$$Y\left( s \right) = 1 + \frac{K_{1}}{s} + \frac{K_{2}}{s + 1} + \frac{K_{3}}{s + 3}\text{\ \ }$$

$$K_{1} = \left. \ \left\lbrack \left( s - 0 \right)\frac{- 4s^{2} - 3s + 2}{s\left( s^{2} + 4s + 3 \right)} \right\rbrack \right|_{s = 0} = \left. \ \frac{- 4s^{2} - 3s + 2}{s^{2} + 4s + 3} \right|_{s = 0} = \frac{2}{3}$$

$$K_{2} = \left. \ \left\lbrack \left( s + 1 \right)\frac{- 4s^{2} - 3s + 2}{s\left( s^{2} + 4s + 3 \right)} \right\rbrack \right|_{s = - 1} = \left. \ \frac{- 4s^{2} - 3s + 2}{s\left( s + 3 \right)} \right|_{s = - 1} = - \frac{1}{2}$$

$$K_{3} = \left. \ \left\lbrack \left( s + 3 \right)\frac{- 4s^{2} - 3s + 2}{s\left( s^{2} + 4s + 3 \right)} \right\rbrack \right|_{s = - 3} = \left. \ \frac{- 4s^{2} - 3s + 2}{s\left( s + 1 \right)} \right|_{s = - 3} = - \frac{25}{6}$$

$$Y\left( s \right) = 1 + \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{1}{2} \bullet \frac{1}{s + 1} - \frac{25}{6} \bullet \frac{1}{s + 3}$$

$$y\left( t \right) = \delta\left( t \right) + \frac{2}{3} \bullet 1\left( t \right) - \frac{1}{2} \bullet e^{- t} - \frac{25}{6} \bullet e^{- 3t}\text{\ \ }$$

Bieguny wielokrotne funkcji zespolonej F(s)

Zapis funkcji z biegunami rzeczywistym i jednym biegunem wielokrotnym s_i jest następujący:

$$F\left( s \right) = \frac{L\left( s \right)}{M\left( s \right)} = \frac{L\left( s \right)}{\left( s - s_{1} \right)\left( s - s_{2} \right)\ldots\ \left( s - s_{n - p} \right)\ldots\ \left( s - s_{n} \right)^{p}}$$

$$F\left( s \right) = \frac{L\left( s \right)}{M\left( s \right)} = \frac{K_{1}}{\left( s - s_{1} \right)} + \frac{K_{2}}{\left( s - s_{2} \right)} + \ \ldots + \frac{K_{n - p}}{\left( s - s_{n - p} \right)} + \frac{A_{1}}{\left( s - s_{i} \right)} + \frac{A_{2}}{\left( s - s_{i} \right)^{2}} + \ \ldots\ + \frac{A_{p}}{\ \left( s - s_{i} \right)^{p}}$$

Współczynniki K₁, K₂, . . . , K_n-p odpowiadają biegunom pojedynczym, natomiast współczynniki bieguna wielokrotnego wyznaczamy według wzorów:

A_p =  [(s−s_i)^pF(s)]|_s = si

$$A_{p - 1} = \frac{d}{\text{ds}}\left. \ \left\lbrack \left( s - s_{i} \right)^{p}F\left( s \right) \right\rbrack \right|_{s = s_{i}}$$

$$A_{p - 2} = \frac{1}{2!}\frac{d^{2}}{ds^{2}}\left. \ \left\lbrack \left( s - s_{i} \right)^{p}F\left( s \right) \right\rbrack \right|_{s = s_{i}}$$

……………..

$$A_{1} = \frac{1}{\left( p - 1 \right)!}\frac{d^{p - 1}}{ds^{p - 1}}\left. \ \left\lbrack \left( s - s_{i} \right)^{p}F\left( s \right) \right\rbrack \right|_{s = s_{i}}$$

Przykład: rozkład funkcji na ułamki proste o biegunach wielokrotnych

$$Y\left( s \right) = \frac{16}{s\left( s + 2 \right)^{4}}\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{K_{1}}{s} + \frac{A_{1}}{s + 2} + \frac{A_{2}}{\left( s + 2 \right)^{2}} + \frac{A_{3}}{\left( s + 2 \right)^{3}} + \frac{A_{4}}{\left( s + 2 \right)^{4}}\ $$

$$K_{1} = \left. \ \left\lbrack \left( s - 0 \right)\frac{16}{s\left( s + 2 \right)^{4}} \right\rbrack \right|_{s = 0} = \left. \ \frac{16}{\left( s + 2 \right)^{4}} \right|_{s = 0} = 1$$

$$A_{4} = \left. \ \left\lbrack \left( s + 2 \right)^{4}\frac{16}{s\left( s + 2 \right)^{4}} \right\rbrack \right|_{s = - 2} = \left. \ \frac{16}{s} \right|_{s = - 2} = - 8$$

$$A_{3} = \frac{d}{\text{ds}}\left. \ \left\lbrack \frac{16}{s} \right\rbrack \right|_{s = - 2} = {- \left. \ \frac{16}{s^{2}} \right|}_{s = - 2} = - 4$$

$$A_{2} = \frac{1}{2!}\frac{d^{2}}{ds^{2}}\left. \ \left\lbrack \frac{16}{s} \right\rbrack \right|_{s = - 2} = \left. \ \frac{16}{s^{3}} \right|_{s = - 2} = - 2$$

$$A_{1} = \frac{1}{3!}\frac{d^{3}}{ds^{3}}\left. \ \left\lbrack \frac{16}{s} \right\rbrack \right|_{s = - 2} = {- \left. \ \frac{16}{2s^{4}} \right|}_{s = - 2} = - \frac{1}{2}$$

$$Y\left( s \right) = \frac{1}{s} - \frac{1}{2} \bullet \frac{1}{s + 2} - \frac{2}{\left( s + 2 \right)^{2}} - \frac{4}{\left( s + 2 \right)^{3}} - \frac{8}{\left( s + 2 \right)^{4}}$$

Stosując wzór $\mathcal{L}\left\{ \frac{1}{n!}t^{n} \bullet e^{- \text{at}} \right\} = \frac{1}{\left( s + a \right)^{n + 1}}$

Odpowiedź wynosi

$$y\left( t \right) = 1\left( t \right) - \frac{1}{2} \bullet e^{- 2t} - 2t \bullet e^{- 2t}\ - 2t^{2} \bullet e^{- 2t} - \frac{4}{3}t^{3} \bullet e^{- 2t}\ $$

Przykład: rozkład funkcji na ułamki proste o biegunach jednokrotnych zespolonych:

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{s\left( s^{2} + 2s + 3 \right)}\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{A}{s} + \frac{Bs + C}{s^{2} + 2s + 3}\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{As^{2} + 2As + 3A + Bs^{2} + Cs}{s\left( s^{2} + 2s + 3 \right)}\text{\ \ }$$

$$\left\{ \begin{matrix} A + B = 0 \\ 2A + C = 0 \\ 3A = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} A = \frac{2}{3} \\ B = - \frac{2}{3} \\ C = - \frac{4}{3} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3} \bullet \frac{s + 2}{s^{2} + 2s + 3}\text{\ \ }$$

$$y_{1} = \frac{s + 2}{s^{2} + 2s + 3}\text{\ \ }$$

Δ = 4 − 12 = −8

$$\sqrt{\Delta} = \pm 2i\sqrt{2}$$

$$s_{1} = - 1 - i\sqrt{2}\text{\ \ \ \ \ \ i\ \ \ \ \ \ \ }s_{2} = - 1 + i\sqrt{2}\ $$

$$y_{1} = \frac{A + iC}{s - \left( - 1 - i\sqrt{2} \right)} + \frac{B + iD}{s - \left( - 1 + i\sqrt{2} \right)}\ $$

$$y_{1} = \frac{As + A - iA\sqrt{2} + iCs + iC + C\sqrt{2} + Bs + B + iB\sqrt{2} + iDs + iD - D\sqrt{2}}{s^{2} + 2s + 3}\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} A + B = 1 \\ C + D = 0 \\ \begin{matrix} A + B + \sqrt{2}\left( C - D \right) = 2 \\ \sqrt{2}\left( B - A \right) + C + D = 0 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} A = \frac{1}{2} \\ B = \frac{1}{2} \\ \begin{matrix} C = \frac{\sqrt{2}}{4} \\ D = - \frac{\sqrt{2}}{4} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$y_{1} = \frac{\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{4}}{s - \left( - 1 - i\sqrt{2} \right)} + \frac{\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{4}}{s - \left( - 1 + i\sqrt{2} \right)}\ $$

$$y_{1} = \left( \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{4} \right)e^{\left( - 1 - i\sqrt{2} \right)t} + \left( \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{4} \right)e^{\left( - 1 + i\sqrt{2} \right)t}\ $$

$$y_{1} = \frac{1}{2}e^{\left( - 1 - i\sqrt{2} \right)t} + i\frac{\sqrt{2}}{4}e^{\left( - 1 - i\sqrt{2} \right)t} + \frac{1}{2}e^{\left( - 1 + i\sqrt{2} \right)t} - i\frac{\sqrt{2}}{4}e^{\left( - 1 + i\sqrt{2} \right)t}\ $$

$$y_{1} = \frac{1}{2}\left( e^{\left( - 1 - i\sqrt{2} \right)t} + e^{\left( - 1 + i\sqrt{2} \right)t} \right) + i\frac{\sqrt{2}}{4}\left( e^{\left( - 1 - i\sqrt{2} \right)t} - e^{\left( - 1 + i\sqrt{2} \right)t} \right)\ $$

$$y_{1} = \frac{1}{2}\left( e^{\left( - 1 \right)t}e^{\left( - i\sqrt{2} \right)t} + e^{\left( - 1 + i\sqrt{2} \right)t} \right) + i\frac{\sqrt{2}}{4}\left( e^{\left( - 1 - i\sqrt{2} \right)t} - e^{\left( - 1 + i\sqrt{2} \right)t} \right)\ $$

$$y_{1} = \frac{1}{2}e^{- t}\left( e^{- i\sqrt{2}t} + e^{i\sqrt{2}t} \right) + i\frac{\sqrt{2}}{4}e^{- t}\left( e^{- i\sqrt{2}t} - e^{i\sqrt{2}t} \right)\ $$

$$y_{1} = e^{- t}\frac{e^{- i\sqrt{2}t} + e^{i\sqrt{2}t}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}e^{- t}\frac{e^{- i\sqrt{2}t} - e^{i\sqrt{2}t}}{2i}\ $$

$$y_{1} = e^{- t}\frac{e^{- i\sqrt{2}t} + e^{i\sqrt{2}t}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}e^{- t}\frac{e^{i\sqrt{2}t} - e^{- i\sqrt{2}t}}{2i}\ $$

Według wzorów Eulera

$$\cos a = \frac{e^{\text{ia}} + e^{- ia}}{2};\ \ \ \ \ \ \ \sin{a =}\frac{e^{\text{ia}} - e^{- ia}}{2i}\ $$

$$\cos a = \frac{e^{\text{ia}} + e^{- ia}}{2};\ \ \ \ \ \ \ \sin{a =}\frac{e^{i\sqrt{2}t} - e^{- i\sqrt{2}t}}{2i}\ $$

$$y_{1} = e^{- t}\cos\left( \sqrt{2}t \right) + \frac{\sqrt{2}}{2}e^{- t}\sin\left( \sqrt{2}t \right)\ $$

$$y_{1} = e^{- t}\left( \cos{\sqrt{2}t} + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin{\sqrt{2}t} \right)\ $$

Ze wzorów trygonometrycznych

sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ

Asin(α+β) = Asinαcosβ + Acosαsinβ

$$\left\{ \begin{matrix} \beta = \sqrt{2}t \\ A\sin\alpha = 1 \\ \operatorname{Acos}\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} \beta = \sqrt{2}t \\ A^{2}{\sin\alpha}^{2} = 1 \\ {\cos\alpha}^{2} = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} \beta = \sqrt{2}t \\ A^{2}\left( {\sin\alpha}^{2} + {\cos\alpha}^{2} \right) = \frac{3}{2} \\ \tan\alpha = \frac{2}{\sqrt{2}} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\begin{matrix} A = \sqrt{\frac{3}{2}} \\ \alpha = 54.7 \\ \end{matrix}$$

$$y_{1} = \sqrt{\frac{3}{2}}e^{- t}\sin\left( \sqrt{2}t + \alpha \right)\ $$

Ostatecznie

$$y\left( t \right) = \frac{2}{3} \bullet 1(t) - \frac{2}{3} \bullet \sqrt{\frac{3}{2}}e^{- t}\sin\left( \sqrt{2}t + \alpha \right)\text{\ \ }$$

$$y\left( t \right) = \frac{2}{3} \bullet 1(t) - \frac{\sqrt{6}}{3}e^{- t}\sin\left( \sqrt{2}t + \alpha \right)\text{\ \ }$$

Obliczenie przykładu z wykorzystaniem tablic transformat:

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3} \bullet \frac{s + 2}{s^{2} + 2s + 3}\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3} \bullet \frac{s + 1 + 1}{\left( s + 1 \right)^{2} - 1 + 3}\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3}\left( \frac{s + 1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} + \frac{1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} \right)\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3}\frac{s + 1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} - \frac{2}{3}\frac{1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2}\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3}\frac{s + 1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} - \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2}\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3}\frac{s + 1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} - \frac{\sqrt{2}}{3}\frac{\sqrt{2}}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2}\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3}\left( \frac{s + 1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2}}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} \right)\text{\ \ }$$

Z tablic:

$$\begin{matrix} \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }L\left\lbrack e^{\text{at}}\cos\text{wt} \right\rbrack = \frac{s - a}{\left( s - a \right)^{2} + w^{2}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ L\left\lbrack e^{\text{at}}\sin\text{wt} \right\rbrack = \frac{w}{\left( s - a \right)^{2} + w^{2}} \\ \end{matrix}\ $$

Ostatecznie:

$$y\left( t \right) = \frac{2}{3}1\left( t \right) - \frac{2}{3}\left( e^{- t}\cos{\sqrt{2}t} + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin{\sqrt{2}t} \right)\ $$

$$y\left( t \right) = \frac{2}{3}1\left( t \right) - \frac{2}{3}e^{- t}\left( \cos{\sqrt{2}t} + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin{\sqrt{2}t} \right)\ $$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet 1(t) - \frac{2}{3} \bullet \sqrt{\frac{3}{2}}e^{- t}\sin\left( \sqrt{2}t + \alpha \right)\text{\ \ }$$

Wyznaczanie funkcji odwrotnej metodą residuum:

Funkcja odwrotna równa się sumie wszystkich residuum funkcji.

$$L^{- 1}\left\lbrack Y(s) \right\rbrack = \sum_{i}^{}{\operatorname{}\left\lbrack Y(s)e^{\text{st}} \right\rbrack}$$

Residuum funkcji w biegunie jednokrotnym:

[Y(s)e^st] = [(s−s_i)•Y(s)•e^st]

Residuum funkcji w biegunie wielokrotnym o krotności n:

$$\operatorname{}\left\lbrack Y(s)e^{\text{st}} \right\rbrack = \frac{1}{\left( n - 1 \right)!}\operatorname{}\left\lbrack \frac{d^{n - 1}}{ds^{n - 1}}\left( s - s_{i} \right)^{n} \bullet Y\left( s \right) \bullet e^{st} \right\rbrack$$

Przykład:

Podaj funkcję odwrotną dla funkcji za pomocą residuum:

$$Y\left( s \right) = \frac{1}{s\left( Ts + 1 \right)^{n}}$$

$$\operatorname{}\left\lbrack \frac{1}{s\left( Ts + 1 \right)^{n}}e^{\text{st}} \right\rbrack = \operatorname{}\left\lbrack \left( s - 0 \right) \bullet \frac{1}{s\left( Ts + 1 \right)^{n}} \bullet e^{st} \right\rbrack = 1$$

$$\operatorname{}\left\lbrack \frac{1}{s\left( Ts + 1 \right)^{n}}e^{\text{st}} \right\rbrack = \frac{1}{\left( n - 1 \right)!}\operatorname{}\left\lbrack \frac{d^{n - 1}}{ds^{n - 1}}\left( s + \frac{1}{T} \right)^{n} \bullet \frac{\frac{1}{T^{n}}}{s\left( s + \frac{1}{T} \right)^{n}} \bullet e^{st} \right\rbrack$$

$$= \frac{1}{\left( n - 1 \right)!}\frac{1}{T^{n}}\operatorname{}\left\lbrack \frac{d^{n - 1}}{ds^{n - 1}}\frac{1}{s} \bullet e^{st} \right\rbrack$$

$$= \sum_{i = 1}^{n}{\frac{- 1}{\left( i - 1 \right)!}\left( \frac{t}{T} \right)^{i - 1}e^{- \frac{t}{T}}}$$

$$y\left( t \right) = \underset{s = 0}{\text{res}} + \underset{s = \left( - \frac{1}{T} \right)_{n}}{\text{res}} = 1 - \sum_{i = 1}^{n}{\frac{1}{\left( i - 1 \right)!}\left( \frac{t}{T} \right)^{i - 1}e^{- \frac{t}{T}}}$$

Wyznaczenie szeregu pochodnej:

$$\left\lbrack \frac{d}{\text{ds}}\frac{1}{s} \bullet e^{st} \right\rbrack = - \frac{1}{s^{2}}e^{st} + \frac{1}{s}te^{st}$$

$$\left\lbrack \frac{d^{2}}{ds^{2}}\frac{1}{s} \bullet e^{st} \right\rbrack = \frac{2}{s^{3}}e^{st} - \frac{2}{s^{2}}te^{st} + \frac{1}{s}t^{2}e^{st}$$

$$\left\lbrack \frac{d^{3}}{ds^{3}}\frac{1}{s} \bullet e^{st} \right\rbrack = - \frac{6}{s^{4}}e^{st} + \frac{6}{s^{3}}te^{st} - \frac{3}{s^{2}}t^{2}e^{st} + \frac{1}{s}t^{3}e^{st}$$

$$\frac{1}{3!}\frac{1}{T^{4}}\left\lbrack \frac{d^{3}}{ds^{3}}\frac{1}{s} \bullet e^{st} \right\rbrack_{s = \left( - \frac{1}{T} \right)_{4}} = - e^{st} - \frac{t}{T}e^{st} - \frac{1}{2}\frac{t^{2}}{T^{2}}e^{st} - \frac{1}{3!}\frac{t^{3}}{T^{3}}e^{st}$$