LAB 2

1. Wyjaśnić różnice pomiędzy zmienną losową ciągłą a dyskretną.

Jeżeli wartości zmiennej (cechy) są określone przez przypadek to mówimy, że zmienna ta jest
zmienną losową.

Zmienne losowe dzielimy na:

-ciągłe- zmienna przyjmuje dowolne wartości z określonego

przedziału (w szczególności cały zbiór liczb rzeczywistych)

zbiór wartości, które może przyjmować zmienna jest nieprzeliczalny.

-skokowe (dyskretne)- zmienna przyjmuje dowolne

wartości ze zbioru przeliczalnego lub skończonego (np. zbiór liczb całkowitych

z określonego przedziału)

Zmienną losową nazywamy skokową, jeżeli zbiór wartości, które może przyjmować zmienna jest skończony lub przeliczalny. Zmienną losową nazywamy ciągłą, jeżeli zbiór wartości, które może przyjmować zmienna jest nieprzeliczalny.

3. Jak określa się liczbę klas przy tworzeniu histogramu?

Obliczanie liczby klas histogramu ze wzoru Sturgesa:

k ≈ 1 + 3,322 log(n)

n – liczebność zbioru. Jest to wzór empiryczny stosowany dla dużej liczby wyników.

4. Wyjaśnić różnicę pomiędzy rozkładem gęstości prawdopodobieństwa a histogramem.

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej X to pewna funkcja f przyjmująca wartości wyłącznie nieujemne i taka, że

Histogram to jeden z graficznych sposobów przedstawiania rozkładu cechy. Składa się z szeregu prostokątów umieszczonych na osi współrzędnych.

Prostokąty te są z jednej strony wyznaczone przez przedziały klasowe (patrz: Szereg rozdzielczy) wartości cechy, natomiast ich wysokość jest określona przez liczebności (lub częstości) elementów wpadających do określonego przedziału klasowego.

6. Jakie parametry charakteryzują rozkład normalny i w jaki sposób wpływają one na przebieg funkcji gęstości prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę tego rozkładu?

W przypadku rozkładu normalnego o funkcji gęstości danej wzorem:

Dla podanych niżej przedziałów wartości procentowe liczby wyników są następujące:

Dla μ±σ jest 68,27% co odpowiada Pr(σ<= μ<= σ)=0,6827,

dla μ±2σ jest 95,45% co odpowiada Pr(2σ<= μ<=2 σ)=0,9545,

Dla μ±3σ jest 99,73% co odpowiada Pr(3σ<= μ<= 3σ)=0,9973.

7. Narysować funkcje gęstości prawdopodobieństwa dla zmiennych losowych o rozkładach normalnych N(0,1), N(0,2), N(-2,1).

10. Podać sposób obliczania średniej arytmetycznej, wariancji i odchylenia standardowego populacji dla danych pogrupowanych w szereg rozdzielczy punktowy.

x_i- warianty cechy zmiennej,

n_i- liczebność cząstkowa danej cechy (klasy),

n- liczebność zbiorowości, k- liczba klas.