Zginanie ukośne powstaje gdy para sił wywołująca zginanie nie działa w płaszczyźnie zawierającej główne centralne osie bezwładności przekrojów poprzecznych pręta. W takim przypadku wektor momentu gnącego nie pokrywa się z kierunkiem osi głównych przekrojów poprzecznych jeżeli wektor Mg tworzy kąt α z osią y to moment ten zapisujemy jako dwie składowe My=Mgcosα , Mz=Mgsinα, z,y – współrzędne punktu A. σA’=-My*z/Iy, σA’’=Mz*y/Iz, σA= σA’+ σA’’=-My*z/Iy + Mz*y/Iz, σA’=-Mgcosα*z/Iy, σA’’=Mgsinα*y/Iz, σA= σA’+ σA’’=-Mgcosα*z/Iy + Mgsinα*y/Iz – równanie osi obojętnej przekroju oś obojętna jest prostą przechodzącą przez środek ciężkości przekroju poprzecznego, a jego współczynnik kierunkowy tgβo=tgα*Iy/Iż. Metoda analit. wyz. linii ugięcia belek- wypr. Na skutek działania momentu Mg oś belki ulega odkształceniu.Wyjściowym wzorem jest wzór $\text{EI}\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = M_{g}$. Po scałkowaniu tego równania otrzymujemy kąt nachylenia dy/dx stycznej $\text{EI}\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = C + \alpha$. W wyniku ponownego scałkowania otrzymamy równanie linii ugięcia belki y=f(x) EIy = D + Cx + β. Stałe całkowania wyznaczamy zakładając odpowiednie warunki brzegowe. Zginanie ze skręcaniem to przypadek, w którym w wyniku redukcji wszystkich sił zewnętrznych działających po jednej stronie przekroju myślowego otrzymamy w tym przekroju moment gnący i moment skręcający: σg=Mg/Wg, τs=Ms/Wo, Wg=πd^3/32, Wo= πd^3/16, Wo=2Wg, $\sigma_{o}^{n} = \sqrt{\sigma_{g}^{2} + 3\tau_{s}^{2}}$, $\sigma_{o} = \sqrt{(\frac{M_{g}}{W_{g}})^{2} + (3\frac{M_{s}}{{2W}_{g}})^{2}} = \sqrt{(\frac{M_{g}}{W_{g}})^{2} + (3\frac{M_{s}2}{{4W}_{g}2})} = \frac{1}{W_{g}}\sqrt{\text{Mg}^{2} + \frac{3}{4}\text{Ms}^{2}}$, $\text{Mz} = \sqrt{\text{Mg}^{2} + \frac{3}{4}\text{Ms}^{2}}$- moment zastępczy, σo=Mz/Wg <=kz – warunek wytrzymałości przy zginaniu ze skręcaniem

Wyboczenie prętów- Wyboczeniem nazywamy taki przypadek, w którym na wynik redukcji wszystkich sił działających po jednej stronie myślowego przekroju otrzymamy siłę przyłożoną w środku ciężkości i ściskającą dany przekrój. W przypadku prętów smukłych, siła ta powoduje zakrzywienie zwane wyboczeniem. $- Mg\left( x \right) = EI\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - \ rozniczkowe\ rownanie\ ugiecia\ linii\ preta$, $\text{EI}\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = - Mg\left( x \right) = - P*y$ ; $\text{EI}\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + P*y = 0\ /:EI$, $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \frac{\text{Py}}{\text{EI}} = 0$ ; P/EI = k^2 | y”+k^2y=0 gdzie y”=d^2y/dx^2 y=Asinkx+Bcoskx |x=0 => y=0 => B=0 => A=0, x=l => y=0 | Asinkl = 0 A=0 i sinkl = 0, jeśli A = 0 pręt nie ulegnie wyboczeniu| k=n*π/l; k^2=n^2π^2/l^2=P/EI; P= n^2π^2EI/l^2 | jeżeli n=0 => P=0 | n=1 => P=$\frac{\pi^{2}\text{EI}}{l^{2}}$ => y=Asin$\frac{\pi}{l}x$ | n=2 => P=$\frac{{4\pi}^{2}\text{EI}}{l^{2}}$ – 1 siła krytyczna Eulera |$Pkr = \frac{\pi^{2}EI_{\min}}{lw^{2}}$ – ogólny wzór na siłę krytyczną Eulera gdzie lw – długość wyboczeniowa pręta zależna od warunków zamocowania: -przegubowe l=lw, -z jednej strony przegub z drugiej utwierdzenie lw=0,7l, -utwierdzenie obustronne lw=0,5l, -utwierdzenie jednostronne lw=2l, $\sigma_{\text{kr}} = \frac{P_{\text{kr}}}{A} = \frac{\pi^{2}EI_{\min}}{lw^{2}*A}$ , $i_{\min} = \sqrt{\frac{I_{\min}}{A}} - \ promien\ bezwladnosci$; $\frac{P_{\text{kr}}}{A} = \frac{\pi^{2}Ei_{\min}^{2}}{lw^{2}} = \frac{\pi^{2}E}{{(\frac{l_{w}}{i_{\min}})}^{2}} = \frac{\pi^{2}E}{\text{lambda}^{2}}$ λ=lw/imin -> smukłość.

Metoda Maxwella Mohra $f_{k} = \frac{1}{\text{EI}}\int_{l}^{}{\text{Mg}_{i}*\text{mg}_{i}*\text{dx}_{i}}$ gdzie Mg – moment gnący od siły rzeczywistej, mg – moment gnący od siły uogólnionej jednostkowej, Równanie kanoniczne metody sił α11x1 + α12x2 + … + α1nxn + α10 = 0 |α21x1 + α22x2 + … + α2nxn + α20 = 0 |αn1x1 + αn2x2 + … + αnnxn + αn0 = 0. Twierdzenie Castigliano: $V = \frac{1}{2}(P_{1}f_{1} + P_{2}f_{2} + \ldots + P_{i}f_{i} + \ldots + P_{n}f_{n})$ |$\text{δV} = \frac{1}{2}(\text{δPi}*\text{δfi})$, δL = δPifi |$V_{2} = \partial V + V + \text{δL} = \frac{1}{2}\left( \text{δPifi} \right) + V + \text{δPifi}$, |V1=V2 |$V + \frac{\partial V}{\partial Pi}\delta Pi = \frac{1}{2}\left( \text{δPiδfi} \right) + V + \delta Pifi$, δPiδfi ≈ 0, $\delta Pi \neq 0,\ \ \frac{\partial V}{\partial Pi} = fi$ ; pochodna cząstkowa energii sprężystej układu względem siły uogólnionej jest równa współrzędnej uogólnionej odpowiadającej tej sile. $V = \int_{0}^{l}{\frac{{M_{g}}^{2}\text{dx}}{2EI} = \frac{1}{2EI}\int_{0}^{l}{{M_{g}}^{2}\text{dx}}}$, | $f = \frac{\partial V}{\partial P} = \frac{1}{\text{EI}}\int_{0}^{l}{M_{g}\frac{\partial M_{g}}{\partial P}}\text{dx}$. Metoda wykreś.-analit. wyz. linii ugięcia $M\left( x \right) = EI\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ całkując otrzymujemy równanie $\text{EI}\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = \frac{d\overset{\overline{}}{M}(x)}{\text{dx}} = \overset{\overline{}}{T}(x)$. Po ponownym scałkowaniu otrzymujemy $EIy = \overset{\overline{}}{M}(x)$ $\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = \theta i = \frac{\overset{\overline{}}{T}(x)}{\text{EI}}$ $y = fi = \frac{\overset{\overline{}}{M}(x)}{\text{EI}}$ . |Aby zrównać stałe całkowania musimy przyjąć odpowiednie schematy. W tym celu muszą być spełnione następujące warunki: 1. jeżeli ugięcie w danym przekroju belki rzeczywistej jest równe 0, to w tym przekroju belki fikcyjnej $\overset{\overline{}}{\text{Mg}}$(x)=0. 2. jeżeli kąt obrotu przekroju belki rzeczywistej jest równy 0, to w tym przekroju belki fikcyjnej $\overset{\overline{}}{T}\left( x \right) = 0,\ $ 3. jeżeli w którymkolwiek przekroju belki rzeczywistej ugięcie i kąt obrotu ≠ 0, to w tym przekroju belki wtórnej: $\overset{\overline{}}{\text{Mg}}\left( x \right) \neq 0\ \ i\ \overset{\overline{}}{T}(x) \neq 0$