Przykład: element inercyjny i wymuszenie sinusoidalne
$$G\left( s \right) = \frac{k}{Ts + 1}$$
$$x(t) = \sin\text{ωt};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ X(s) = \frac{\omega}{s^{2} + \omega^{2}}$$
$$Y\left( s \right) = G(s) \bullet X(s) = \frac{k}{Ts + 1} \bullet \frac{\omega}{s^{2} + \omega^{2}}$$
$$Y\left( s \right) = \frac{\text{kω}}{\left( Ts + 1 \right)\left( s^{2} + \omega^{2} \right)}$$
$$Y\left( s \right) = \frac{A}{Ts + 1} + \frac{Bs + C}{s^{2} + \omega^{2}}$$
$$Y\left( s \right) = \frac{\text{As}^{2} + \text{Aω}^{2} + BTs^{2} + Bs + CTs + C}{\left( Ts + 1 \right)\left( s^{2} + \omega^{2} \right)}$$
$$\left\{ \begin{matrix}
A + BT = 0 \\
B + CT = 0 \\
\text{Aω}^{2} + C = k\omega \\
\end{matrix}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \right.\ \left\{ \begin{matrix}
A = kT^{2}\omega - {AT^{2}\omega}^{2} \\
B = - kT\omega + \text{ATω}^{2} \\
C = k\omega - \text{Aω}^{2} \\
\end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix}
A = \frac{kT^{2}\omega}{1 + {T^{2}\omega}^{2}} \\
B = \frac{- kT\omega}{1 + {T^{2}\omega}^{2}} \\
C = \frac{\text{kω}}{1 + {T^{2}\omega}^{2}} \\
\end{matrix}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \right.\ $$
$$Y\left( s \right) = \frac{kT^{2}\omega}{1 + {T^{2}\omega}^{2}} \bullet \frac{1}{Ts + 1} + \frac{\text{kω}}{1 + {T^{2}\omega}^{2}} \bullet \frac{- Ts + 1}{s^{2} + \omega^{2}}$$
$$Y\left( s \right) = \frac{\text{kTω}}{1 + {T^{2}\omega}^{2}} \bullet \frac{1}{s + \frac{1}{T}} - \frac{k}{1 + {T^{2}\omega}^{2}}\left( \frac{\text{Tωs}}{s^{2} + \omega^{2}} - \frac{\omega}{s^{2} + \omega^{2}} \right)$$
$$y(t) = \frac{\text{kTω}}{1 + {T^{2}\omega}^{2}}e^{- \frac{t}{T}} - \frac{k}{1 + {T^{2}\omega}^{2}}\left\lbrack \text{Tω}\cos\left( \text{ωt} \right) - \sin\left( \text{ωt} \right) \right\rbrack$$
Asin(α+β) = Asinαcosβ + Acosαsinβ
$$\left\{ \begin{matrix}
\beta = \text{ωt} \\
A\sin\alpha = T\omega \\
\operatorname{Acos}\alpha = - 1 \\
\end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix}
\beta = \text{ωt} \\
A^{2}{\sin\alpha}^{2} = T^{2}\omega^{2} \\
{\cos\alpha}^{2} = 1 \\
\end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix}
\beta = \text{ωt} \\
A^{2}\left( {\sin\alpha}^{2} + {\cos\alpha}^{2} \right) = 1 + T^{2}\omega^{2} \\
\tan\alpha = - T\omega \\
\end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ }\begin{matrix}
\ A = \sqrt{1 + T^{2}\omega^{2}} \\
\tan\left( - \alpha \right) = T\omega \\
\end{matrix}$$
$$y(t) = \frac{\text{kTω}}{1 + {T^{2}\omega}^{2}}e^{- \frac{t}{T}} - \frac{k\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}}}{1 + {T^{2}\omega}^{2}}\sin\left( \text{ωt} - \alpha \right)\ $$
$$y(t) = \frac{\text{kTω}}{1 + {T^{2}\omega}^{2}}e^{- \frac{t}{T}} - \frac{k}{\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}}}\sin\left( \text{ωt} - \alpha \right)\ $$
$$\begin{matrix}
\operatorname{}{y(t)} = \frac{k}{\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}}}\sin\left( \text{ωt} - \alpha \right) = A_{y}\sin\left( \text{ωt} - \alpha \right) \\
x(t) = A_{x}\sin\left( \text{ωt} \right) \\
\end{matrix}\ $$
$$\begin{matrix}
Y(s) = \frac{k}{\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}}}\frac{\omega}{s^{2} + \omega^{2}}e^{- j\alpha} \\
X(s) = \frac{\omega}{s^{2} + \omega^{2}} \\
\end{matrix}\ $$
$$\begin{matrix}
\frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{A_{y}}{A_{x}}e^{- j\alpha} = \frac{k}{\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}}}e^{- j\alpha} \\
\end{matrix}\ $$
$$\begin{matrix}
G(s = j\omega) = \frac{k}{\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}}}e^{- j\alpha} \\
\end{matrix}\ $$
Transmitancja widmowa
$$\begin{matrix}
G(j\omega) = Me^{- \varphi j} \\
\end{matrix}\ $$
gdzie: M – moduł
φ – przesunięcie fazowe.
Transmitancja widmowa jest to stosunek transformaty sygnału wyjściowego do transformaty sygnału wejściowego o kształcie sinusoidalnym po zaniku składowych przejściowych. Transmitancję widmową otrzymujemy na podstawie transmitancji operatorowej dla argumentu s=jω.
Pobudzając układ automatyki sygnałem sisnusoidalnym otrzymujemy również sygnał sinusoidalny na odpowiedzi o tej samej częstotliwości ω. Sinusoida odpowiedzi różni się od sinusoidy wejscia zawsze amplitudą i względnym przesunięciem obu sygnałów nazywane przesunięciem fazowym mierzone miarą kątową. Względna wartość amplitud wyjścia i wejścia nazywana jest modułem M.
$$M = \frac{A_{y}}{A_{x}}$$
Moduł M i przesunięcie fazowe φ są zależne od częstotliwości sygnału wejścia ω. Wykresy modułu M i przesunięcia fazowego φ w pełnym zakresie zmian częstotliwości ω od zera do nieskończoności ( widma lub pasma częstotliwości) nazywane są charakterystykami widmowymi lub częstotliwościowymi. Argumentem w charakterystykach widmowych jest częstotliwość ω jako urojony składnik zmiennej operatorowej s o wartościach dodatnich.
Algebra liczb zespolonych.
z = a + bi
Im z = Me−φi
b $M = \sqrt{a^{2} + b^{2}};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \tan\varphi = \frac{b}{a}$
M $\tan{\varphi = \frac{b}{a}}$
a Re
gdzie:
M – długość wektora
φ – kąt między wektorem a osią rzeczywistą (Re)
a, b – współrzędne wektora
Matematycznie transmitancja widmowa jest liczbą zespoloną, czyli punktem na płaszczyźnie lub wektorem o znanej długości i kierunku. Fizycznie dla danej częstotliwości transmitancja widmowa, czyli długość wektora jest stosunkiem amplitud sygnałów wyjścia i wejścia, oraz kierunek wektora –kąt przesunięcia fazowego – jest miarą przesunięcia między sygnałami wyjścia i wejścia. Zmiany amplitudy odpowiedzi i przesunięcie fazowe spowodowane są własnościami elementu i mogą być wykorzystane do identyfikacji elementu.
Przejście z transmitancji operatorowej do widmowej
$$G\left( s \right) = \frac{k}{Ts + 1}$$
$$G\left( \text{jω} \right) = \frac{k}{Tj\omega + 1}$$
$$G\left( \text{jω} \right) = \frac{k}{1 + Tj\omega} \bullet \frac{1 - Tj\omega}{1 - Tj\omega}$$
$$G\left( \text{jω} \right) = \frac{k - kTj\omega}{1 + {T^{2}\omega}^{2}}$$
$$G\left( \text{jω} \right) = \frac{k}{1 + {T^{2}\omega}^{2}} - j\frac{\text{kTω}}{1 + {T^{2}\omega}^{2}}$$
G(jω) = P + jQ
$$P = \frac{k}{1 + {T^{2}\omega}^{2}};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Q = - \frac{\text{kTω}}{1 + {T^{2}\omega}^{2}}$$
$$G\left( \text{jω} \right) = \sqrt{P^{2} + Q^{2}}e^{- j\varphi} = Me^{- j\varphi}$$
$$M = \frac{A_{y}}{A_{x}} = \sqrt{P^{2} + Q^{2}}$$
$$M = \sqrt{\frac{k^{2}}{\left( 1 + {T^{2}\omega}^{2} \right)^{2}} + \frac{k^{2}{T^{2}\omega}^{2}}{\left( 1 + {T^{2}\omega}^{2} \right)^{2}}}$$
$$M = \sqrt{\frac{k^{2}\left( 1 + {T^{2}\omega}^{2} \right)}{\left( 1 + {T^{2}\omega}^{2} \right)^{2}}}$$
$$M = \sqrt{\frac{k^{2}}{1 + {T^{2}\omega}^{2}}}$$
$$M = \frac{A_{y}}{A_{x}} = \frac{k}{\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}}}$$
$$\tan\varphi = \frac{Q}{P} = - \frac{\frac{\text{kTω}}{1 + {T^{2}\omega}^{2}}}{\frac{k}{1 + {T^{2}\omega}^{2}}} = - T\omega$$
tan(−φ) = Tω; φ = −arctan(Tω)
$$G\left( \text{jω} \right) = \frac{k}{\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}}}e^{- j\varphi}$$
Charakterystyka amplitudowo – fazowa zwana Nyquista, rysowana na płaszczyźnie zespolonej P-Q (Re – Im)
$$G\left( s \right) = \frac{k}{Ts + 1}$$
$$P = \frac{k}{1 + {T^{2}\omega}^{2}};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Q = - \frac{\text{kTω}}{1 + {T^{2}\omega}^{2}}$$
$$M = \frac{k}{\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}}};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi = - arc\tan\left( \text{Tω} \right)$$
Tabelka wartości:
| l.p. | ω | P | Q | M | φ |
|---|---|---|---|---|---|
| 1. | 0 | k | 0 | k | 0̊ |
| 2. | $$\frac{1}{\sqrt{3}T}$$ |
$$\frac{3}{4}k$$ |
$$- \frac{\sqrt{3}}{4}k$$ |
$$\frac{\sqrt{3}}{2}k$$ |
-30̊ |
| 3. | $$\frac{1}{T}$$ |
$$\frac{k}{2}$$ |
$$- \frac{k}{2}$$ |
$$\frac{k}{\sqrt{2}}$$ |
-45̊ |
| 4. | $$\frac{\sqrt{3}}{T}$$ |
$$\frac{1}{4}k$$ |
$$- \frac{\sqrt{3}}{4}k$$ |
$$\frac{k}{2}$$ |
-60̊ |
| 5. | ∞ | 0 | 0 | 0 | -90̊ |
Im
k/2 k Re
4 3 2
Im
k/2 k Re
-k/2
Wykresem transmitancji widmowej jest obwiednia wszystkich wektorów. Pojedynczy wektor wyznacza się dla danej częstotliwości ω.
Wykresem transmitancji widmowej dla elementu inercyjnego pierwszego rzędu jest półkoło o średnicy k.
Charakterystyka częstotliwościowa modułu
$$M = \frac{k}{\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}}}$$
Obie charakterystyki wykonywane są od argumentu logω. Wartość modułu wyrażona jest w skali decybelowej L:
L = 20logM [dB]
L = f(logω)
$$L = 20log\frac{k}{\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}}}\ $$
$$L = 20logk - 20log\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}}$$
Równanie dzielimy na dwa przedziały:
- $\omega \ll \frac{1}{T}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 + {T^{2}\omega}^{2} \approx 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 20log\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}} = 0$
L1 = 20logk
Wartość stała niezależna od częstotliwości ω.
- $\omega = \frac{1}{T}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 + {T^{2}\omega}^{2} = 2$
- $\omega \gg \frac{1}{T}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 + {T^{2}\omega}^{2} \approx {T^{2}\omega}^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ 20log\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}} = 20log(T\omega)$
L2 = −20log(Tω) + 20logk
L2 = −20log(ω) + 20logk − 20log(T)
y = ax + b
gdzie:
$$\begin{matrix}
a = - 20 \\
x = \log\left( \omega \right) \\
b = 20logk - 20\log\left( T \right) \\
\end{matrix}$$
Równanie prostej nachylonej 20 dB na dekadę. Charakterystyka logarytmiczna modułu składa się z dwóch postych, które się przecinają w jednym punkcie.
L1 = L2
20logk = −20log(ω) + 20logk − 20log(T)
0 = −20log(Tω)
Tω = 1
$$\omega = \frac{1}{T}$$
L
0 1/T 10/T logω
-20
Charakterystyka częstotliwościowa fazowa
φ = −arctan(Tω)
Funkcja tangens
Funkcja arctangens
Funkcja arctangens w zakresie dodatniego argumentu
Funkcja arctangens w zakresie dodatniego argumentu w skali logarytmicznej dla elementu inercyjnego pierwszego rzędu:
- ω = 0 ⇒ Tω = 0 ⇒ − arctan(0) = 0
- $\omega = \frac{1}{T}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ T\omega = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - arc\tan\left( 1 \right) = - 45\mathring{}$
- ω = ∞ ⇒ Tω = ∞ ⇒ − arctan(∞) = −90o
Charakterystyki modułu i fazowa łącznie stanowi całość
L
0 1/T 10/T logω
-20
φ
0 1/10T 1/T 10/T logω
-45
-90