TRANSFER FUNCTION 4

$$G\left( s \right) = \frac{0,5 + s}{s^{3} + {8s}^{2} + 20s + 16}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }$$

y(t) = ℒ⁻¹[Y(s)] = ℒ⁻¹[G(s)U(s)]

1.)Wymuszenie skokiem jednostkowym $\mathbf{U}\left( \mathbf{s} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{s}}$

$$y\left( t \right) = \mathcal{L}^{- 1}\left\lbrack \frac{0,5 + s}{s\left( s^{3} + {8s}^{2} + 20s + 16 \right)} \right\rbrack$$

Rozłożenie Transformaty na ułamki proste

$$Y\left( s \right) = \frac{L(s)}{sM(s)} = \frac{0,5 + s}{s\left( s^{3} + {8s}^{2} + 20s + 16 \right)} = \frac{0,5 + s}{s\left( s + 2 \right)\left( s + 2 \right)\left( s + 4 \right)} = \frac{A_{0}}{s} + \frac{A_{1}}{s + 2} + \frac{A_{2}}{s + 2} + \frac{A_{3}}{s + 4}$$

Pierwiastki transmitancji p₀=0;  p₁= − 2;  p₂= − 2;  p₃= − 4;

$$A_{0} = \frac{L(0)}{M(0)} = \frac{0,5 + 0}{{(0)}^{3} + {8(0)}^{2} + 20(0) + 16} = \frac{0,5}{16} = \frac{1}{32}$$

$$A_{1} = \frac{L( - 2)}{( - 2)M'( - 2)} = \frac{0,5 - 2}{- 2\left( {3( - 2)}^{2} + 16( - 2) + 20 \right)} = \frac{- 1,5}{\left( - 2 \right)(12 - 32 + 20)} = \frac{- 1,5}{\left( - 2 \right)\left( 0 \right)} = \frac{- 1,5}{0} = 0$$

$$A_{2} = \frac{L( - 2)}{( - 2)M'( - 2)} = \frac{0,5 - 2}{- 2\left( {3( - 2)}^{2} + 16( - 2) + 20 \right)} = \frac{- 1,5}{\left( - 2 \right)(12 - 32 + 20)} = \frac{- 1,5}{\left( - 2 \right)\left( 0 \right)} = \frac{- 1,5}{0} = 0$$

$$A_{3} = \frac{L( - 4)}{( - 4)M'( - 4)} = \frac{0,5 - 4}{- 4\left( {3( - 4)}^{2} + 16( - 4) + 20 \right)} = \frac{- 3,5}{\left( - 4 \right)(48 - 64 + 20)} = \frac{- 3,5}{\left( - 4 \right)\left( 4 \right)} = \frac{- 3,5}{- 16} = \frac{7}{32}$$

Podstawiając współczynniki A₀, A₁, A₂, A₃ do transformaty Y(s), otrzymamy sumę ułamków prostych

$$Y\left( s \right) = \frac{1}{32} \frac{1}{s} + 0 \frac{1}{s + 2} + 0 \frac{1}{s + 2} + \frac{7}{32} \frac{1}{s + 4}$$

Odpowiedź y(t) na wymuszenie skokowe wynosi

$$y\left( t \right) = \frac{1}{32} + \frac{7}{32}e^{- 3t}$$

2.)Wymuszenie impulsowe U(s)=1

$$y\left( t \right) = \mathcal{L}^{- 1}\left\lbrack \frac{L\left( s \right)}{M(s)} \right\rbrack = \mathcal{L}^{- 1}\left\lbrack \frac{0,5 + s}{s^{3} + {8s}^{2} + 20s + 16} \right\rbrack$$

Funkcję Y(s) należy rozłożyć na ułamki proste

$$Y\left( s \right) = \frac{0,5 + s}{s^{3} + {8s}^{2} + 20s + 16} = \frac{0,5 + s}{s\left( s + 2 \right)\left( s + 2 \right)\left( s + 4 \right)} = \frac{A_{1}}{s + 2} + \frac{A_{2}}{s + 2} + \frac{A_{3}}{s + 4}$$

gdzie

$$A_{1} = \frac{L( - 2)}{M'( - 2)} = \frac{0,5 - 2}{{3( - 2)}^{2} + 16( - 2) + 20} = \frac{- 1,5}{12 - 32 + 20} = \frac{- 1,5}{0} = 0$$

$$A_{2} = \frac{L( - 2)}{M'( - 2)} = \frac{0,5 - 2}{{3( - 2)}^{2} + 16( - 2) + 20} = \frac{- 1,5}{12 - 32 + 20} = \frac{- 1,5}{0} = 0$$

$$A_{3} = \frac{L( - 4)}{M'( - 4)} = \frac{0,5 - 4}{{3( - 4)}^{2} + 16( - 4) + 20} = \frac{- 3,5}{48 - 64 + 20} = \frac{- 3,5}{4} = - \frac{7}{8}$$

stąd

$$Y\left( s \right) = 0 \frac{1}{s + 2} + 0 \frac{1}{s + 2} - \frac{7}{8} \frac{1}{s + 4}$$

Odpowiedź y(t) na wymuszenie impulsowe wynosi

$$y\left( t \right) = \frac{7}{8}e^{- 3t}$$

TRANSMITANCJA:

>> LICZ=[1 0.5]

MIAN=[1 8 20 16]

TFG=tf(LICZ, MIAN)

LICZ =

1. 0.5000

MIAN =

1 8 20 16

Transfer function:

s + 0.5

-----------------------

s^3 + 8 s^2 + 20 s + 16

CHARAKTERYSTYKA SKOKOWA:

>>step(LICZ, MIAN)

CHARAKTERYSTYKA IMPULSOWA:

>>impulse(LICZ, MIAN)

CHARAKTERYSTYKA NYQUISTA:

>>nyquist(LICZ,MIAN)

CHARAKTERYSTYKA BODEGO DLA CZŁONU INERCYJNEGO

$G\left( s \right) = \frac{k}{Ts + 1}\ dla\ T = 4 \times 2\ $

>> L=[1]

M=[8 1]

TFG=tf(L,M)

Transfer function:

1

-------

8 s + 1

>> bode(L,M)

CHARAKTERYSTYKA BODEGO DLA CZŁONU ROŻNICZKUJĄCEGO RZECZYWISTEGO

$G\left( s \right) = \frac{T_{d}s}{Ts + 1}\text{\ dla\ }T_{d} = \frac{4\ }{2} = 2,\ T_{s} = 0.2$

>> L=[2 0]

M=[0.2 1]

TFG=tf(L,M)

L=

2 0

M=

0.2000 1.0000

Transfer function:

2s

----------

0.2s + 1

>> bode(L,M)

CHARAKTERYSTYKA BODEGO DLA CZŁONU CAŁKUJĄCEGO

$G\left( s \right) = \frac{1}{T_{i}s}\ \text{dla}\ T_{i} = 4$

>> L=[1]

M=[4 0]

TFC=tf(L,M)

L =

1

M =

4 0

Transfer function:

1

---

4 s