1. Obliczyć masę bryły V, ograniczonej powierzchniami:

x² + y² + z² = 4,   x² + z² = 3y,   (x² + z² ≤ 3y), jeśli gęstość w każdym punkcie jest równa odległości tego punktu od płaszczyzny y=0.

1. Znaleźć rozwiązanie ogólne układu równań

$\left\{ \begin{matrix} \frac{\text{dx}}{dt} = 2x - y \\ \frac{\text{dy}}{\text{dt}} = 2y - x + 4te^{3t} \\ \end{matrix} \right.\ $

1. Wyznaczyć środek ciężkości jednorodnej bryły V zadanej nierównością

$2\sqrt{x^{2} + z^{2}} \leq y \leq 3 - x^{2} - z^{2}$.

1. Znaleźć całkę ogólną równania

$y^{''} + y^{'} = 4\left( x^{3} - \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} \right)$.

1. Obliczyć strumień pola $\overset{\overline{}}{w} = \left( x,y,z \right) = \left\lbrack - \text{xz},\ x,\ - y + 1 \right\rbrack$ przez wewnętrzną stronę płata o równaniu $z = \frac{1}{2}\left( x^{2} + y^{2} \right),\ \ 0 \leq z \leq 1$.

2. Znaleźć rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych:

$\left\{ \begin{matrix} \frac{\text{dx}}{\text{dt}} = y - x \\ \frac{\text{dy}}{\text{dt}} = y - 2x + 2\cos t \\ \end{matrix} \right.\ $

1. Obliczyć strumień pola $\overset{\overline{}}{\text{rot}}\left\lbrack x + 3y,\ 4x,\ z + 8y \right\rbrack$ przez wewnętrzną stronę powierzchni o równaniu x² + y² + z² = 4,   1 ≤ z ≤ 2.

2. Znaleźć całkę ogólną równania

$y^{'''} + y^{'} = 4\left( x^{3} - \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} \right)$.

1. Obliczyć strumień pola $\overset{\overline{}}{w} = \left( x,y,z \right) = \left\lbrack \text{xz},\ - x,\ - y + 1 \right\rbrack$ przez wewnętrzną stronę płata o równaniu $z = \sqrt{{2x}^{2} + {2y}^{2}},\ \ 0 \leq z \leq 2$.

2. Znaleźć rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych:

$\left\{ \begin{matrix} \frac{\text{dx}}{\text{dt}} = 2x - y \\ \frac{\text{dy}}{\text{dt}} = 2y - x + 4te^{3t} \\ \end{matrix} \right.\ $

1. Obliczyć strumień pola $\overset{\overline{}}{\text{rot}}\left\lbrack - 3y,2x, - y^{2} \right\rbrack$ przez wewnętrzną stronę powierzchni o równaniu $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4,\ \ \sqrt{3} \leq z \leq 2$.

2. Znaleźć całkę ogólną równania:

y^‴ − 6y^″ + 13y^′ = 24e^3x + 26x.

1. Obliczyć strumień pola $\overset{\overline{}}{\text{rot}}\left\lbrack x + 3y,\ 4x,\ z + 8y \right\rbrack$ przez wewnętrzną stronę powierzchni o równaniu y² + z² = 4x,   0 ≤ x ≤ 1.

2. Znaleźć całkę szczególną równania

$2yy^{'} - y^{2}\text{tgx} = 8\text{xcosx},\ x \in \left( - \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)$ spełniającą warunek $y\left( 0 \right) = \sqrt{2}$.

1. Obliczyć strumień pola $\overset{\overline{}}{w} = \left( x,y,z \right) = \left\lbrack x^{3},y^{3},z^{3} + 1 \right\rbrack$ przez wewnętrzną stronę powierzchni o równaniu $z = - \sqrt{5 - y^{2} - x^{2}}$.

2. Znaleźć rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych:

$\left\{ \begin{matrix} 2\frac{\text{dx}}{\text{dt}} - 5\frac{\text{dy}}{\text{dt}} = 4y - x \\ \frac{\text{dy}}{\text{dt}} + 8y - 3x = 2\sin ht \\ \end{matrix} \right.\ $

1. Sprawdzić twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego dla pola $\overset{\overline{}}{w} = \left( x,y,z \right) = \left\lbrack \text{xz},z,1 \right\rbrack$ i bryły V = {(x,y,z) :3x²+3y²≤z≤3}.

2. Znaleźć całkę ogólną równania $\left( \sqrt{x^{2} + 1} \right)y^{'} + \frac{2x^{2} + \text{xy} + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}} = 0$.

1. Sprawdzić twierdzenie Stokesa dla pola pola $\overset{\overline{}}{w} = \left( x,y,z \right) = \left\lbrack 3y, - 2x,\text{xy} \right\rbrack$ i płata $S = \left\{ \left( x,y,z \right)\ :z = - \sqrt{1 - y^{2} - x^{2}} \right\}$.

2. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania $y^{'''} + y^{'} = \frac{\text{cosx}}{\sin^{2}x} + 4e^{- x} - 2xe^{- x},\ \ x \in (0,\pi)$.

1. Obliczyć strumień pola $\overset{\overline{}}{\text{rot}}\left\lbrack x + 3y,\ 4x,\ z + 8y \right\rbrack$ przez wewnętrzną stronę powierzchni o równaniu y² + z² = 2x,   0 ≤ x ≤ 2.

2. Znaleźć całkę szczególną równania

2yy^′ + y²ctgx = 8xsinx,   x ∈ (0,π) spełniającą warunek $y\left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi\sqrt{2}}{2}$.

1. Obliczyć strumień pola $\overset{\overline{}}{w} = \left( x,y,z \right) = \left\lbrack x^{3},y^{3} + 1,z^{3} \right\rbrack$ przez wewnętrzną stronę powierzchni o równaniu $y = - \sqrt{5 - x^{2} - z^{2}}$.

2. Znaleźć rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych:

$\left\{ \begin{matrix} 5\frac{\text{dx}}{\text{dt}} - 2\frac{\text{dy}}{\text{dt}} + 4x - y = 0 \\ \frac{\text{dy}}{\text{dt}} + 8x - 3y = 2\cos ht \\ \end{matrix} \right.\ $

1. Obliczyć objętość tej części bryły V ograniczonej powierzchniami

dla której x ≤ 0.

1. Znaleźć rozwiązanie ogólne układu równań

1. Obliczyć powierzchnię ograniczoną które mają x ≤ 0.

2. Rozwiąż układ równań:

1. Obliczyć strumień pola $\ \overset{\overline{}}{w} = \left( x,y,z \right) = \left\lbrack xy^{2},\text{yz}^{2},\text{zx}^{2} \right\rbrack\ $przez wewnętrzną stronę płata S o równaniu x² + y² + z² = 2.

2. Rozwiąż i sprawdź zagadnienie Cauchy’ego dla równania: , x є (0, 2). W.D. y(1) = 2,

1. Obliczyć moment bezwładności jednorodnej (o gęstości objętościowej równej 2) bryły: V = {(x,y,z) :x²+z²+2z≤0} oraz 0 ≤ y ≤ 3 względem osi symetrii.

2. Znaleźć rozwiązanie ogólne:

$\left\{ \begin{matrix} \frac{\text{dx}}{\text{dt}} = 2x - y \\ \frac{\text{dy}}{\text{dt}} = 2y - x - 4te^{2t} \\ \end{matrix} \right.\ $

1. Obliczyć moment bezwładności jednorodnej (o gęstości objętościowej równej 2) bryły o równaniu: Y=; y+=0

2.Znalezc równanie ogólne: x ∈ (0, π).