Opis matematyczny ciągłego elementu lub układu automatyki o jednym wejściu lub jednym wyjściu składa się w ogólnym przypadku z 2 części:

1. Równania lub wykresu charakterystyki statycznej określającego zależność wyjścia od wejścia w stanach ustalonych

2. Równania różniczkowego lub operatorowego, opisującego własności statyczne lub dynamiczne w otoczeniu wybranego na charakterystyce statycznej punktu pracy.

Jeżeli charakterystyka statyczna jest prostoliniowa, to wówczas podajemy równanie różniczkowe lub operatorowe, które opisuje w całym zakresie własności statyczne i dynamiczne, a nie tylko w otoczeniu wybranego punktu.

Jeżeli charakterystyka statyczna jest krzywoliniowa, to wówczas niezbędna jest znajomość obu części opisu, ponieważ współczynniki równania różniczkowego są wówczas zmienne wzdłuż charakterystyki statycznej.

Linearyzacja polega na zastąpieniu krzywoliniowego odcinka charakterystyki odcinkiem prostoliniowym, stycznym do rzeczywistej charakterystyki statycznej w wybranym punkcie.

Linearyzacja. Charakterystyka statyczna dynamicznego układu :

a) liniowego b) nieliniowego

Linearyzacja polega na zastąpieniu krzywoliniowego odcinka charakterystyki przez odcinek prostoliniowy w wybranym punkcie.

Własności statyczne i dynamiczne elementu lub układu automatyki można przedstawić w formie równania w dziedzinie zmiennej rzeczywistej „f”.

X(t) G(s) y(t) s – zmienna zespolona , t – czas

Elementem automatyki nazywamy dowolny układ fizyczny, w którym wyodrębniona jest wielkość wejściowa x(t) i wielkość wyjściowa y(t).

Ogólną postać równania różniczkowego opisującego ten jednoparametrowy układ jest następująca:

Gdzie:

n>=m dla wszystkich elementów i układów rzeczywistych

y – wielkość wyjściowa

x – wielkość wejściowa

t- czas

a_n, b_n – współczynniki stałe

Z ogólnej postaci równania różniczkowego wynika charakterystyka statyczna ( w stanie ustalonym wszystkie pochodne = 0)

Dla elementów linearyzowanych jest to równanie statycznej do charakterystyki rzeczywistej.

-własności statyczne dla wszystkich członów określać będziemy podając równanie i wykres charakterystyki statycznej:

y=f(x)

- własności dynamiczne podając równanie różniczkowe, wyrażające zależność pomiędzy sygnałem wyjściowym a wejściowym, nazywa się ono równaniem dynamiki lub równaniem ruchu oraz odpowiadającą mu transmitancję operatorową

G(s)

Jak również

-wykres odpowiedzi y(t) na wymuszenie skokowe x(t) , czyli tzw. charakterystykę czasową.

Własności dynamiczne ocenia się zwykle na podstawie przebiegów y(t) na skutek wymuszenia x(t). Wyznaczanie przebiegów odpowiedzi na typowe wymuszenia wymaga rozwiązania powyższego równania różniczkowego, którego można dokonać dwoma sposobami:

1. Metodą klasyczną

2. Metodą operatorową

Do rozwiązania równania metodą operatorową stosowaną w automatyce, należy skorzystać z własności przekształcenia (transformacji) Laplace’a i jednocześnie pozwalających tzw. transmitancję operatorową.

Rozróżnienie terminów transmitancja operatorowa oraz transformacja Laplace’a.

Transmitancja operatorowa G(s) elementu lub układu automatycznego jest to stosunek transformaty wielkości wyjściowej Y(s) do transformaty wielkości wejściowej X(s) przy zerowych warunkach początkowych.

Transformując ww. równanie różniczkowe opisujące własności elementu lub układu liniowego i jednocześnie wyciągając przed nawias powtarzające się transformaty y(s) z lewej strony oraz X(s) z prawej strony równania, otrzymamy algebraiczną postać tego równania różniczkowego, pozwalającą na przedstawienie ogólnej postaci funkcji przejścia czyli transmitancji operatorowej.

Ogólna postać transmitancji operatorowej :

Lub

Przekształcenie (transformacja) Lapleace’a

Przekształcenie (transformacja) Laplace’a przyporządkowuje funkcji f(t) zmiennej rzeczywistej „t” funkcję F(s) zmiennej zespolonej „s” według wzoru zwanego całką Laplace’a:

Funkcja f(t) nazywana jest oryginałem a odpowiadająca jej przekształcona funkcja F(s) – transformatą.

W automatyce używane jest tzw. jednostronne przekształcenie Laplace’a, w którym transformata związana jest z oryginałem zależnością:

Stosując w automatyce jednostronne przekształcenie Laplace’a zakłada się, że dla : t<0 jest f(t)=0

Przyporządkowanie oryginałowi f(t) transformaty F(s) zgodnie z powyższym wzorem przyjęto zapisywać za pomocą symbolu L

L{f(t)}= F(s) lub oznaczeniem f(t) F(s)

Odwrotne przekształcenie Laplace’a

Odwrotne pzekstałcenie Laplace’a przyporządkowuje funkcji F(s) zmiennej zespolonej „s” funkcję f(t) zmiennej rzeczywistej „t” według wzoru zwanego całką Riemanna- Mellina.

Przyporządkowanie to przyjęto zapisywać za pomocą symbolu L^-1

F(t)=L^-1

Właśności przekształcenia Laplace’a

1. Twierdzenie o liniowości

L {k₁f₁(t)+k₁f₂(t)} = k₁L{f₁(t)}+k₂L{f₂(t)}

1. Twierdzenie o transformacji pochodnych

L{f’(t)}=sL{f(t)}-f(0⁺)

L{f’’(t)}=s²L{f(t)}-sf(0⁺)-f’(0⁺)

L{f’’’(t)} =s³F(s)-s²f(0)-sf’(0)-f’’(0)

Ogólna postać:

L{f⁽ⁿ⁾(t)}=sⁿF()-s^n-1f(0⁺)-s^n-2f’(0⁺)- …… - s f ^(n-2) (0⁺) – f^(n-1)(0⁺)

Symbole f(0), f’(0) …. Oznaczają prawostronne granice funkcji f(t), f’(t) …. Przy t=0

1. Twierdczenie transformacji całki

2. Twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie zmiennej rzeczywistej

L{f(t-tau)}=e^{-tau * s} L{f (t) }

1. Twierdczenie o przesunieciu w dziedzinie zmiennej zespolonej

Jeżeli L{f(t)}=F(s) to L{e^-alfa * f(t)} = F(s+alfa)

Oryginał f(t)	Transformata F(s)
impuls jednostkowy (funkcja Diraca)	1
1(t) skok jednostkowy (funkcja Heviside’a)
t	1/s^2
t^n	n!/s^n+1
C^+/- αt	1/s +- α
t * e^-αt	1/s(s+α)
1/α(1-e^-α t)	1/s(s-α)
sinωt	ω/s^2+ω^2
cosωt	t/s^2+ω^2
e^- α t sinωt	ω/(s+α)^2 + ω^2
e^- α t cosωt	S+α/(s+ω)^2 + ω^2
Sinωt/t	arctg(ω/s)

Najczęściej transformata ma postać ilorazu wielomianów

F(s)= przy czym m>=l

Jeżeli wielomian M(s) mianownika transformaty F(s) nie posiada wielokrotnych miejsc zerowych to rozkład na ułamki proste przeprowadza się według wzoru :

F(s) = l(s)/M(s)= l(s)/(s-s1)(s-s2)….(s-s_n)= A1/s-s1 + A2/s-s2 + ….. An/s-s_n

w którym s₁, …. – miejsca zerowe wielomianu M(s)

A1, …. A_n - stałe współczynniki

Współczynnik A1 An wyznaczyć można ze wzoru

w którym oznaczono M’(s)=

Wzory obowiązują nawet gdy jedno z miejsc zerowych wielomianu jezt zerem.

Jeżeli wielomian mianownika M(s) posiada oprócz pojedynczych miejsc zerowych również wielokrotne np. p-krotne , n-krotne miejsce zer, to rozkład na ułamki proste przeprowadza się według wzoru:

F(s) = l(s)/M(s) = A1/s-s1 + A2/s-s2 + …. B1/(s-sn)² + ….. Bp/(s-sp)²

Współczynniki A1, An wyznacza się ze wzorów jw. Natomiast cosp. B₁ B_p ze wzorów:

Bp= L(s) * (s-sn) / M(s)

B_p-1­= d/ds * [ L(s) * [s-sn]²_/ M(s) ] _s=sn

Na kolokwium :

Rozwiązywanie liniowych równań zwyczajnych za pomocą przekształceń Laplacea

Doniosła rola przekształcenia Laplace’a polega między innymi na tym, ze daje ono prostą metodę rozwiązywania równań różniczkowych, polegającą na ich algebraizacji.

Niech dane będzie zwyczajne równaanie różniczkowe ze stałymi współczynnikami :

(W którym f(t) jest znaną funkcją zmiennej rzeczywistej t oraz warunku początkowe (przy t=0) : y(0^t) , y’(0^t) ….. , y^(n-1) (0⁺)

Rozwiązująć równanie różniczkowe należy:

1. Poddać je przekształceniu Laplace’a z uwzględnieniem warunków początkowych.

2. Wyznaczyć transofmatą Y(s) szukanego rozwiązania.

3. Przedstawić transformatę Y(s) w postaci ilorazu l(s)/ M(s)

4. Wyznaczyć szukaną funkcję zmiennej rzeczywistej y(t)

Rozkład na sumę ułamków prostych.