Niech będzie dowolnym niepustym podzbiorem zbioru .

@ Ograniczeniem górnym zbioru nazywamy dowolny element zbioru nie mniejszy od dowolnego elementu zbioru .

@ Ograniczeniem dolnym zbioru nazywamy dowolny element zbioru nie większy od dowolnego elementu zbioru .

@ Najmniejsze ograniczenie górne zbioru nazywamy kresem górnym zbioru (lub: supremum zbioru ) i oznaczamy symbolem .

@ Największe ograniczenie dolne zbioru nazywamy kresem dolnym zbioru (lub: infimum zbioru ) i oznaczamy symbolem .

@ Ciąg o wyrazach gdzie nazywamy ciągiem arytmetycznym o początkowym wyrazie i różnicy

@ Niech i Ciąg o wyrazach , gdzie nazywamy ciągiem geometrycznym o początkowym wyrazie i ilorazie .

@ Iloczynem kartezjańskim zbiorów i nazywamy zbiór par uporządkowanych takich, że i , tj.

@ W iloczynie kartezjańskim definiujemy sumę oraz iloczyn par oraz następująco

Zbiór par liczb rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem określonym w powyższej definicji, nazywamy zbiorem liczb zespolonych i oznaczamy literą

@ Jeśli , to liczbę nazywamy modułem liczby zespolonej i oznaczamy , a każdy z kątów takich, że zachodzą równości , nazywamy argumentem liczby i oznaczamy . Najmniejszy nieujemny argument liczby zespolonej nazywamy argumentem głównym tej liczby i oznaczamy . Wyrażenie będziemy

krótko notować w postaci wykładniczej lub pomijając na razie zasadność użycia symbolu funkcji wykładniczej w tej notacji. Odtąd liczbę zespoloną o module i argumencie będziemy zapisywać w postaci trygonometrycznej lub wykładniczej

@ Sprzężeniem liczby zespolonej nazywamy liczbę .

@ Funkcję nazywamy iniekcją zbioru w zbiór , jeśli jest różnowartościowa, to znaczy, że dla dowolnych elementów z równości wynika, że

@ Funkcję nazywamy suriekcją zbioru na zbiór , jeśli każdy element zbioru jest wartością funkcji to znaczy, że dla dowolnego elementu istnieje element taki, że

@ Funkcję nazywamy bijekcją zbioru na zbiór , jeśli jest iniekcją i suriekcją.

@ Mówimy, że zbiory są równoliczne, jeśli istnieje bijekcja zbioru na zbiór . Mówimy też wtedy, że zbiory , są tej samej mocy, co zapisujemy krótko lub . Jeśli zbiór zawiera skończoną liczbę elementów równą (innymi słowy: jeśli jest równoliczny ze zbiorem

), to mówimy, że jest zbiorem mocy , co zapisujemy lub .

@ Niech będzie funkcją. Mówimy, że funkcja jest funkcją odwrotną do funkcji , jeśli dla dowolnego elementu zachodzi równość i dla dowolnego elementu zachodzi równość . Funkcję odwrotną do funkcji będziemy oznaczać często symbolem ,

@ Mówimy, że funkcja jest rosnąca (odpowiednio: ściśle rosnąca) w przedziale , jeśli

(odpowiednio: ).

@ Mówimy, że funkcja jest malejąca (odpowiednio: ściśle malejąca) w przedziale , jeśli

(odpowiednio: ).

@Mówimy, że funkcja jest monotoniczna w przedziale, jeśli w tym przedziale jest rosnąca albo malejąca.

@ Niech będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią, różną od jedności. Funkcję odwrotną do funkcji nazywamy funkcją logarytmiczną o podstawie i oznaczamy . Na ogół pomija się indeks w oznaczeniu logarytmu liczby i pisze się krótko .

@ Logarytmem naturalnym z liczby dodatniej .

@ [granica ciągu]

Niech będzie ciągiem oraz niech
Mówimy, że jest granicą ciągu jeśli

i piszemy

Mówimy, że ciąg jest zbieżny, jeśli ma granicę, czyli

@[ciąg ograniczony]

Ciąg nazywamy ograniczonym, jeśli zbiór jego wartości jest ograniczony w to znaczy zawarty w pewnej kuli. Innymi słowy ciąg jest ograniczony, gdy

@ [podciąg]

Niech będzie ciągiem. Niech będzie funkcją silnie rosnącą.
Ciąg nazywamy podciągiem ciągu i oznaczamy

gdzie dla

@[warunek Cauchy'ego]

Niech będzie ciągiem. Mówimy, że ciąg spełnia warunek Cauchy'ego lub jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli

Warunek Cauchy'ego dla ciągu oznacza, że dla dowolnie wybranej liczby począwszy od pewnego miejsca, każde dwa wyrazy ciągu są oddalone od siebie o mniej niż

@[ciąg liczbowy]

Przez ciągi liczbowe będziemy rozumieli ciągi o wartościach w (to znaczy w zbiorze liczbowym traktowanym jako przestrzeń metryczna z metryką euklidesową). Piszemy krótko Ponieważ w zbiorze liczbowym mamy liniowy porządek, więc można porównywać ze sobą elementy ciągu. Pozwala to na wprowadzenie pojęcia monotoniczności ciągu

@ (1) Mówimy, że ciąg jest malejący, jeśli
(2) Mówimy, że ciąg jest silnie malejący, jeśli

(3) Mówimy, że ciąg jest rosnący, jeśli

(4) Mówimy, że ciąg jest silnie rosnący, jeśli

(5) Mówimy, że ciąg jest monotoniczny, jeśli jest on malejący lub rosnący.
(6) Mówimy, że ciąg jest silnie monotoniczny, jeśli jest on silnie malejący lub silnie rosnący.

@ (1) Mówimy, że ciąg jest ograniczony, jeśli
(2) Mówimy, że ciąg jest ograniczony z dołu, jeśli
(3) Mówimy, że ciąg jest ograniczony z góry, jeśli

@ (1) Mówimy, że liczba jest granicą ciągu jeśli

i piszemy

(2) Mówimy, że ciąg jest zbieżny, jeśli

@. [O trzech ciągach]

Jeśli są ciągami takimi, że

to

@ Jeśli jest ciągiem, to
(1) jeśli jest rosnący, to ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

(2) jeśli jest malejący, to ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

@ [O ciągu monotonicznym i ograniczonym]

(1) Jeśli jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, to jest on zbieżny.

(2) Jeśli jest ciągiem malejącym i ograniczonym z dołu, to jest on zbieżny.
(3) Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony.

@ [Liczba , symbol ]

(1) Ciąg o wyrazach jest zbieżny.
Jego granicę oznaczamy przez przy czym

(2) Jeśli jest ciągiem o wyrazach dodatnich takim, że to

@ Niech będzie ciągiem.
(1) Mówimy, że jest punktem skupienia ciągu jeśli istnieje podciąg taki, że
(2) Granicą dolną ciągu nazywamy

gdzie jest zbiorem punktów skupienia ciągu
(3) Granicą górną ciągu nazywamy

gdzie jest zbiorem punktów skupienia ciągu

@ Jeśli jest ciągiem liczbowym, to ma granicę wtedy i tylko wtedy, gdy

@[Warunek konieczny zbieżności szeregów]

Jeśli szereg jest zbieżny, to

@(1) szeregi są zbieżne oraz

(2) szereg jest zbieżny oraz

@. [Warunek Cauchy'ego zbieżności szeregów]

Jeśli jest szeregiem, to szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy

Powyższy warunek nazywamy warunkiem Cauchy'ego dla szeregów.

Zauważmy, że

czyli warunek w powyższej definicji jest dokładnie warunkiem Cauchy'ego dla ciągów. Kolejne twierdzenie będziemy często wykorzystywać przy sprawdzaniu czy dany szereg jest zbieżny.

@[Kryterium porównawcze zbieżności szeregów]

Jeśli są szeregami takimi, że dla oraz to
(1) jeśli szereg jest zbieżny, to szereg jest zbieżny;

(2) jeśli szereg jest rozbieżny, to szereg jest rozbieżny.

@. [Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów]

Jeśli jest szeregiem o wyrazach dodatnich (to znaczy dla ), to
(1) szereg  jest zbieżny
(2) szereg  jest rozbieżny

(1) Jeśli to szereg jest zbieżny.

(2) Jeśli to szereg jest rozbieżny.

(3) Jeśli to kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga, czy szereg jest zbieżny.

@ Kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów]

Jeśli jest szeregiem o wyrazach nieujemnych (to znaczy dla ), to
(1) szereg   jest zbieżny

(2)  dla nieskończenie wielu  szereg   jest rozbieżny

(1) Jeśli to szereg jest zbieżny.

(2) Jeśli to szereg jest rozbieżny.

(3) Jeśli to kryterium Cauchy'ego nie rozstrzyga, czy szereg jest zbieżny.

@. [Kryterium asymptotyczne (ilorazowe, limesowe) zbieżności szeregów]

Jeśli i są szeregami; oraz to szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg jest zbieżny.

@[Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie]

Niech będzie podzbiorem Niech będzie funkcją oraz niech będzie punktem skupienia zbioru
Mówimy, że funkcja ma granicę (właściwą) w punkcie jeśli

@ [Heinego granicy funkcji w punkcie]

Niech będzie podzbiorem Niech będzie funkcją oraz niech będzie punktem skupienia zbioru
Mówimy, że funkcja ma granicę (właściwą) w punkcie jeśli

Piszemy wówczas

@[Ciągłość funkcji w punkcie]

Niech niech będzie funkcją oraz niech ( nie musi być punktem skupienia zbioru ). Mówimy, że funkcja jest ciągła w punkcie jeśli

Mówimy, że funkcja jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny.

@. [Granica niewłaściwa funkcji]

Niech oraz punktem skupienia zbioru
Mówimy, że ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego) w punkcie jeśli

Mówimy, że ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego) w punkcie jeśli

Mówimy, że ma granicę niewłaściwą w (sensie Heinego) w punkcie jeśli

Mówimy, że ma granicę niewłaściwą (w sensie Heinego) punkcie jeśli

@ Funkcja jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie lewostronnie ciągła i prawostronnie ciągła.

@[Granice specjalne]

(1)
(2) dla
(3) oraz
(4)
(5) dla (w szczególności )
(6) dla (w szczególności ).
(7) dla
(8) dla

@(1) Każdy wielomian jest funkcją ciągłą.
(2) Funkcja potęgowa () jest ciągła.
(3) Funkcja wykładnicza () jest ciągła.
(4) Funkcje trygonometryczne są ciągłe.

@. [Weierstrassa]

Jeśli jest zbiorem zwartym oraz jest funkcją ciągłą, to funkcja osiąga swoje kresy, to znaczy

@ Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie , jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego

Granicę tę - jeśli istnieje - nazywamy pochodną funkcji w punkcie i oznaczamy symbolem: lub . Funkcję , która argumentowi przyporządkowuje wartość pochodnej funkcji w punkcie nazywamy funkcją pochodną funkcji lub - krótko - pochodną funkcji . Zwróćmy uwagę, że dziedzina pochodnej jest zawsze podzbiorem dziedziny funkcji .

@ Niech będą funkcjami określonymi na przedziale otwartym . Niech . Jeśli istnieją pochodne oraz , to

@ Jeśli istnieje pochodna i istnieje pochodna , gdzie , to istnieje pochodna złożenia i jest równa iloczynowi pochodnych, tzn.

@[twierdzenie Stirlinga]

Dla dowolnej liczby naturalnej istnieje liczba (zależna od wyboru liczby ) taka, że zachodzi równość

Równość tę nazywamy wzorem Stirlinga. Zwróćmy uwagę, że dla dużych czynnik , stąd

W wielu praktycznych obliczeniach wystarczy posługiwać się nawet przybliżeniem lub (pamiętając, że ) oszacowaniem

, dla które wykorzystaliśmy do wyznaczenia promienia zbieżności szeregu definiującego funkcję .

@ Twierdzenie Rolle'a. Punkty krytyczne

Niech będzie niepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych i niech . Oznaczmy przez odległość punktów .

@ Mówimy, że funkcja osiąga maksimum lokalne (odpowiednio: minimum lokalne) w punkcie , jeśli istnieje pewne otoczenie punktu , w którym wartości funkcji są nie większe (odpowiednio: nie mniejsze) od wartości funkcji w punkcie , to znaczy

odpowiednio:

@ Jeśli funkcja osiąga ekstremum w punkcie i jest różniczkowalna w punkcie , to pochodna .

@[twierdzenie Rolle'a]

Niech będzie funkcją ciągłą w przedziale domkniętym i różniczkowalną wewnątrz tego przedziału. Jeśli na końcach przedziału funkcja przyjmuje równe wartości , to istnieje punkt , w którym zeruje się pochodna funkcji .

@. [twierdzenie Lagrange'a]

Jeśli funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym i różniczkowalna w każdy punkcie przedziału otwartego , to istnieje punkt taki, że

Twierdzenie Lagrange'a nazywane jest też twierdzeniem o przyrostach (skończonych) lub twierdzeniem o wartości średniej, gdyż tezę twierdzenia można zapisać też następująco:

@ Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie , to znaczy, jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:

to mówimy, że funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie , a granicę tę nazywamy pochodną rzędu drugiego (lub krótko: drugą pochodną) funkcji w punkcie i oznaczamy symbolem lub albo , bądź też .

@[wzór Leibniza]

Niech będą funkcjami krotnie różniczkowalnymi, . Zachodzi równość

@ Niech będzie funkcją krotnie różniczkowalną w przedziale . Wówczas dla dowolnych punktów , takich, że istnieje punkt taki, że

gdzie

Wielomian

nazywamy wielomianem Taylora rzędu funkcji o środku w punkcie .

@. [twierdzenie Weierstrassa]

Funkcję ciągłą na przedziale domkniętym można przybliżać jednostajnie za pomocą wielomianów, tzn. jeśli jest funkcją ciągłą, to istnieje ciąg wielomianów taki, że

@[twierdzenie Bernsteina]

Jeśli jest dowolną funkcją ciągłą, to ciąg wielomianów Bernsteina zmierza do jednostajnie na przedziale , to znaczy

@ Reguła de l'Hospitala

Niech będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale , przy czym . Załóżmy, że istnieje granica ilorazu pochodnych i jest równa . Jeśli istnieją granice funkcji

to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie i jest równa granicy ilorazu pochodnych w tym punkcie, tj.

@ Mówimy, że funkcja jest wypukła w przedziale , jeśli jej nadwykres

jest zbiorem wypukłym, to znaczy

Jeśli powyższa nierówność jest ostra (wewnątrz odcinka ), tzn.

to mówimy, że funkcja jest ściśle wypukła w przedziale .

@ Twierdzenie 12.13. [nierówność Jensena]

Jeśli funkcja jest wypukła w przedziale , to zachodzi nierówność:

dla dowolnych liczb nieujemnych takich, że

oraz dla dowolnych z przedziału .

@ Badanie przebiegu zmienności funkcji

(1) Wyznaczenie dziedziny funkcji.

(2) Sprawdzenie, czy funkcja jest okresowa, parzysta, nieparzysta.

(3) Wyznaczenie granic funkcji na końcach przedziałów, z których w sumie składa się dziedzina funkcji, z wyszczególnieniem końców przedziałów, w których funkcja jest ciągła.

(4) Wyznaczenie asymptot pionowych, poziomych, ukośnych.

(5) Wyznaczenie punktów charakterystycznych wykresu funkcji, np. miejsc zerowych, wartości w zerze; wyznaczenie zbioru, w którym funkcja przyjmuje wartości dodatnie, ujemne.

(6) Badanie pierwszej pochodnej:

określenie dziedziny pochodnej;

wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej oraz zbioru, w którym pochodna jest dodatnia, ujemna.

(7) Wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji.

(8) Wyznaczenie punktów krytycznych funkcji oraz ekstremów.

(9) Badanie drugiej pochodnej funkcji:

określenie dziedziny drugiej pochodnej;

wyznaczenie miejsc zerowych drugiej pochodnej oraz zbioru, w którym druga pochodna jest dodatnia, ujemna.

(10) Wyznaczenie przedziałów wypukłości i wklęsłości funkcji oraz punktów przegięcia funkcji.

(11) Zebranie uzyskanych danych o funkcji w tabeli.

(12) Sporządzenie wykresu w oparciu o uzyskane dane.