Zespół E

Projekt stopy fundamentowej obciążonej mimośrodowo

V_Gk = 720;   V_Qk = 170; V_Ak = 30;

M_Gkx = 20; M_Qkx =  65; M_Akx = 30;

M_Gky = 150; M_Qky = 95; M_Aky = 40;

H_Gkx = −27; H_Qkx = −44; H_Akx = −25;

H_Gky = 20; H_Qky = 95; H_Aky = 22;

b_s = 0, 48; l_s = 0, 68;

I_L/I_D = 0, 29; podłoże: SaSiCl

1. Właściwości gruntu:

$\gamma_{k} = 18,0\frac{\text{kN}}{m^{3}};$ φ_k^′ = 15; c_k^′ = 20 kPa ∖ n

2. Przyjęcie geometrii fundamentu:

B = 3 m L = 4 m

Stopę fundamentową planujemy wykonać z betonu klasy C 25/30 i stali 18G2-b.

3. Obliczenie ciężaru fundamentu wraz z zasypem

V_Gk1 −  ciezar wlasny fundamentu = 3*4*0,8*25=240 kN

V_Gk2 −  ciezar gruntu nad fundamentem = (3*4-0,48*0,68)*0,2*18,5=43,19 kN

V_Gk3 −  ciezar posadzki nad fundamentem = (3*4-0,48*0,68)*0,25*23=67,12 kN

V_GkF = 350 kN

II SPRAWDZENIE STANU GRANICZNEGO NOŚNOŚCI “GEO”

γ_Gn = 1, 35; γ_Gk =  1, 0; γ_Qn = 1, 5; γ_Qk = 0;

γ_φ = 1, 0; γ_c = 1, 0; γ_γ = 1, 0

γ_R, v = 1, 4; γ_R, h = 1, 1;

- Wyznaczenie mimośrodów od obciążeń charakterystycznych stałych

$$e_{B} = \frac{M_{\text{Gkx}} + d_{f}*H_{\text{Gky}}}{V_{\text{Gk}} + V_{\text{GkF}}} = \frac{20 + 0,8*20}{720 + 350} = 0,03\ m$$

$$e_{L} = \frac{M_{\text{Gky}} + d_{f}*H_{\text{Gkx}}}{V_{\text{Gk}} + V_{\text{GkF}}} = \frac{150 - 0,8*4}{720 + 350} = 0,14\ m$$

$$q_{\max} = \frac{V_{\text{Gk}} + V_{\text{GkF}}}{B*L}*\left( 1 + 6*\frac{e_{B}}{B} + 6*\frac{e_{L}}{L} \right) = \frac{1070}{3*4}\left( 1 + 6*\frac{0,03}{3} + 6*\frac{0,14}{4} \right) = 113,54\ \text{kPa}$$

$$q_{\min} = \frac{V_{\text{Gk}} + V_{\text{GkF}}}{B*L}*\left( 1 - 6*\frac{e_{B}}{B} - 6*\frac{e_{L}}{L} \right) = \frac{1070}{3*4}\left( 1 - 6*\frac{0,03}{3} - 6*\frac{0,13}{4} \right) = 64,84\ \text{kPa}\ $$

$\frac{q_{\max}}{q_{\min}} \leq 2$  $\frac{113,54}{64,84} = 1,75$

Stosunek naprężeń powinien być mniejszy niż 2. Warunek spełniony

- Wyznaczenie mimośrodów od obciążeń charakterystycznych stałych i zmiennych

$$e_{B} = \frac{M_{\text{Gkx}} + M_{\text{Qkx}} + d_{f}*{(H}_{\text{Gky}} + H_{\text{Qky}})}{V_{\text{Gk}} + V_{\text{Qk}} + V_{\text{GkF}}} = \frac{20 + 65 + 0,8*(20 + 35)}{720 + 170 + 350} = 0,10\ m$$

$$e_{L} = \frac{M_{\text{Gky}} + M_{\text{Qky}} + d_{f}*{(H}_{\text{Gkx}} + H_{\text{Qkx}})}{V_{\text{Gk}} + V_{\text{Qk}} + V_{\text{GkF}}} = \frac{150 + 95 - 0,8*\left( - 20 - 68 \right)}{720 + 170 + 350} = 0,25\ m$$

$$q_{\max} = \frac{V_{k}}{B*L}*\left( 1 + 6*\frac{e_{L}}{L} + 6*\frac{e_{B}}{B} \right) = \frac{720 + 170 + 350}{3*4}*\left( 1 + 6*\frac{0,25}{4} + 6*\frac{0,10}{3} \right) = 164,28\ \text{kPa}$$

$$q_{\min} = \frac{V_{k}}{B*L}*\left( 1 - 6*\frac{e_{L}}{L} - 6*\frac{e_{B}}{B} \right) = \frac{720 + 170 + 350}{3*4}*\left( 1 - 6*\frac{0,25}{4} - 6*\frac{0,10}{3} \right) = 42,43\ \text{kPa}$$

$$\frac{q_{\max}}{q_{\min}} = \frac{164,28}{42,43} = 3,87$$

Stosunek naprężeń powinien być mniejszy niż 2,0. Mimośród na kierunku L nie spełnia tego wymogu.

Przyjęto przesunięcie fundamentu o e_xs= 0,10m.

Wyznaczenie mimośrodów od obciążeń charakterystycznych stałych i zmiennych i wyjątkowych.

$$e_{B} = \frac{M_{\text{Gkx}} + M_{\text{Qkx}} + M_{\text{Akx}} + d_{f}*{(H}_{\text{Gky}} + H_{\text{Qky}} + H_{\text{Aky}})}{V_{\text{Gk}} + V_{\text{Qk}} + V_{\text{Ak}} + V_{\text{GkF}}} = \frac{20 + 65 + 30 + 0,8*(20 + 35 + 22)}{720 + 170 + 30 + 350} = 0,14\ m$$

$$e_{L} = \frac{M_{\text{Gky}} + M_{\text{Qky}} + M_{\text{Aky}} + d_{f}*{(H}_{\text{Gkx}} + H_{\text{Qkx}} + H_{\text{Akx}}) - {\mathbf{(}\mathbf{V}}_{\mathbf{\text{Gk}}^{\mathbf{+}}}\mathbf{V}_{\mathbf{\text{Qk}}^{\mathbf{+}}}\mathbf{V}_{\mathbf{\text{Ak}}^{\mathbf{)\ }\mathbf{\bullet}\mathbf{\ }}}\mathbf{e}_{\mathbf{\text{xs}}}}{V_{\text{Gk}} + V_{\text{Qk}} + V_{\text{Ak}} + V_{\text{GkF}}} = \frac{150 + 95 + 40 - 0,8*\left( - 20 - 68 - 25 \right) - \left( 720 + 170 + 30 \right)*0,10}{720 + 170 + 30 + 350} = 0,22\ m$$

$q_{\max} = \frac{V_{k}}{B*L}*\left( 1 + 6*\frac{e_{L}}{L} + 6*\frac{e_{B}}{B} \right) = \frac{720 + 170 + 30 + 350}{3*4}*\left( 1 + 6*\frac{0,30}{4} + 6*\frac{0,14}{3} \right) = 170,72\ \text{kPa}$

$$q_{\min} = \frac{V_{k}}{B*L}*\left( 1 - 6*\frac{e_{L}}{L} - 6*\frac{e_{B}}{B} \right) = \frac{720 + 170 + 30 + 350}{3*4}*\left( 1 - 6*\frac{0,30}{4} - 6*\frac{0,14}{3} \right) = 41,00\ \text{kPa}$$

$$\frac{q_{\max}}{q_{\min}} = \frac{170,72}{41,00} = 4,16$$

Sprawdzamy czy siła wypadkowa przyłożona jest w rdzeniu przekroju

$$\frac{e_{B}}{B} + \frac{e_{L}}{L} < \frac{1}{6}$$

$$\frac{0,14}{3} + \frac{0,22}{4} < \frac{1}{6}$$

0, 102 < 0, 167

Warunek spełniony. Wypadkowa w rdzeniu przekroju, nie występuje odrywanie fundamentu od podłoża.

Wyznaczenie parametrów geotechnicznych

Zredukowane wymiary fundamentu:

B^′ = B − 2 * e_B B^′ = 3 − 2 * 0, 14 = 2, 72 m

L^′ = L − 2 * e_L L^′ = 3, 5 − 2 * 0, 30 = 3, 4 m

B^′ * L^′ = 2, 72 * 3, 4 = 9, 25 m²

$\frac{B^{'}}{L^{'}} = \frac{2,72}{3,4} = 0,8$ $\ \frac{L^{'}}{B^{'}} = \frac{3,4}{2,72} = 1,25$

Obliczenie współczynników uwzględniających nachylenie siły wypadkowej działającej w podstawie fundamentu:

$m_{B} = \frac{2 + \frac{B^{'}}{L^{'}}}{1 + \frac{B^{'}}{L^{'}}} = \ \frac{2 + 0,8}{1 + 0,8} = 1,56$ - siła działa na kierunku L^′

$m_{L} = \frac{2 + \ \frac{L^{'}}{B^{'}}}{1 + \ \frac{L^{'}}{B^{'}}} = \ \frac{2 + 1,25}{1 + 1,25} = 1,44$ - przy obliczaniu nośności na kierunku B

m = m_θ = m_L * cos²θ + m_B * sin²θ

H_kx = H_Gkx + H_Qkx + H_Akx i H_ky = H_Gky + H_Qky + H_Aky

tg θ = $\frac{\left( - 20 - 68 - 25 \right)}{20 + 35 + 22} = - 1,46$ θ = 55, 6

m = 1, 44•cos²55, 6 + 1, 56 • sin²55, 6 = 1, 52

- Wyznaczenie współczynników nośności granicznej

$$N_{q} = e^{\text{πtgφ}}*\text{tg}^{2}\left( 45^{} + \frac{\varphi^{'}}{2} \right) = e^{\text{πtg}15}*\text{tg}^{2}\left( 45^{} + \frac{15}{2} \right) = 3,92$$

N_c = (N_q−1) * ctg φ^′ = (3,92−1) * ctg 15 = 2, 92 * 3, 73 = 10, 89

N_γ = 2 * (N_q−1) * tg φ^′ = 2 * (3,92−1) * 0, 27 = 1, 58

- Wyznaczenie współczynników redukcyjnych

Działanie siły ukośnej zmniejsza nośność fundamentu.

$$H_{k} = \sqrt{{(H_{\text{Gkx}} + H_{\text{Qkx}} + H_{\text{Akx}})}^{2} + {(H_{\text{Gky}} + H_{\text{Qky}} + H_{\text{Aky}})}^{2}}$$

$$H_{k} = \sqrt{{( - 20 - 68 - 25)}^{2} + {(20 + 35 + 22)}^{2}} = 136,74\ \text{kN}$$

V_k = V_Gk + V_Qk + V_Ak + V_GkF = 1175 kN

$$i_{q} = \left\lbrack 1 - \frac{H_{k}}{V_{k} + V_{\text{kF}} + A^{'}c^{'}\text{ctgφ}^{'}} \right\rbrack^{m} = \left\lbrack 1 - \frac{136,74}{1175 + 9,25*20*ctg15} \right\rbrack^{1,52} = 0,891$$

$$i_{\gamma} = \left\lbrack 1 - \frac{H_{k}}{V_{k} + V_{\text{kF}} + A^{'}c^{'}\text{ctgφ}^{'}} \right\rbrack^{m + 1} = \left\lbrack 1 - \frac{136,74}{1175 + 9,25*20*ctg15} \right\rbrack^{2,52} = 0,825$$

$$i_{c} = i_{q} - \frac{1 - i_{q}}{N_{c}*\text{tg}\varphi^{'}} = 0,891 - \frac{1 - 0,891}{10,89*tg15} = 0,854$$

- Wyznaczenie współczynników kształtu

$$s_{q} = 1 + \frac{B^{'}}{L^{'}}*\sin\varphi^{'} = 1 + 0,8*sin15 = 1,208$$

$$s_{\gamma} = 1 - 0,3*\frac{B^{'}}{L^{'}} = 1 - 0,3*0,8 = 0,76$$

$$s_{c} = \frac{s_{q}*N_{q} - 1}{N_{q} - 1} = \frac{1,208*10,89 - 1}{10,89 - 1} = 1,229$$

- wysokość stopy d_f = 0, 8 m

-grubość posadzki 0,25 m

- wysokość zasypki 1,0 m

Obciążenie obok fundamentu q^′ = 0, 25 * 23 + 18, 5 * 1, 0 = 24, 25 kPa

- Nośność obliczeniowa dla warunków gruntowych z odpływem

V_d = V_Gk1 * γ_G1 + V_Qk * γ_G1 + V_Ak * γ_G1 + V_GkF

V_d = 730 * 1, 35 + 170 * 1, 5 + 30 * 1, 0 + 255 * 1, 35 = 1614, 75 kN

$$\frac{R}{A^{'}} = \frac{V_{d}}{A^{'}} = c^{'}\ N_{c}\ b_{c}\ s_{c}\ i_{c} + q^{'}\ N_{q}\ b_{q}\ s_{q}\ i_{q} + 0,5\ \gamma^{'}\ B^{'}\ N_{\gamma}\ b_{\gamma}\ s_{\gamma}\ i_{\gamma}$$

$$q_{\text{Ed}} = \frac{1614,75}{9,72} = \mathbf{166}\mathbf{,}\mathbf{12}\mathbf{\ }\mathbf{\text{kPa}} < (20*10,89*1*1,229*0,854 + 24,25*3,92*1*1,208*0,891 + 0,5*18,5*2,72*1,58*0,76*0,825)\ :1,4 = \mathbf{254}\mathbf{,}\mathbf{17}\mathbf{\ }\mathbf{\text{kPa}}$$

Wskaźnik wykorzystania nośności (166,12/254,17)*100 % = 65 %

WARUNEK NOŚNOŚCI ZOSTAŁ SPEŁNIONY.

Wymiarowanie stopy fundamentowej na zginanie

V_Gk = 972;   V_Qk = 255; V_Ak = 30;

M_Gkx = 27; M_Qkx =  97, 5; M_Akx = 30;

M_Gky = 202, 5; M_Qky = 142,5; M_Aky = 40;

H_Gkx = −27; H_Qkx = −66; H_Akx = −25;

H_Gky = 27; H_Qky = 142, 5; H_Aky = 22;

V_d = 1257

M_dx = 154, 5

M_dy = 385

H_dx =   − 118

H_dy = 191, 5

$$q_{\text{Ed}} = \frac{V_{d}}{B*L} = \frac{1257}{9,72} = 129,32\ \text{kPa}$$

$$e_{B} = \frac{M_{\text{dx}} + d_{f}*H_{\text{dy}}}{V_{d}} = \frac{154,5 + 0,8*191,5}{1257} = 0,25\ m$$

$$e_{L} = \frac{M_{\text{dy}} + d_{f}*H_{\text{dx}} - V_{d}*e_{s}}{V_{d}} = \frac{385 - 0,8*\left( - 118 \right) - 1257*0,1}{1257} = 0,28\ m$$

$$q_{\max} = q_{\text{Ed}}*\left( 1 + 6*\frac{e_{B}}{B} + 6*\frac{e_{L}}{L} \right) = 129,32*\left( 1 + 6*\frac{0,25}{3} + 6*\frac{0,28}{4} \right) = 247,22\ \text{kPa}$$

$$q_{\min} = q_{\text{Ed}}*\left( 1 - 6*\frac{e_{B}}{B} - 6*\frac{e_{L}}{L} \right) = 129,32*\left( 1 - 6*\frac{0,25}{3} - 6*\frac{0,28}{4} \right) = 11,42\ \text{kPa}\ $$

$$q_{1} = q_{\text{Ed}}*\left( 1 - 6*\frac{e_{B}}{B} + 6*\frac{e_{L}}{L} \right) = 129,32*\left( 1 - 6*\frac{0,25}{3} + 6*\frac{0,28}{4} \right) = 120,59\ \text{kPa}$$

$$q_{2} = q_{\text{Ed}}*\left( 1 + 6*\frac{e_{B}}{B} - 6*\frac{e_{L}}{L} \right) = 129,32*\left( 1 - 6*\frac{0,25}{3} - 6*\frac{0,28}{4} \right) = 138,05\ \text{kPa}\ $$

$$\frac{q_{\max}}{q_{\min}} = \frac{247,22}{11,42} = 21,65$$

- Wyznaczenie momentów zginających dla maksymalnych naprężeń działających na wspornik

Jako obciążenie maksymalne przyjęto wartość 247,22 kPa

* wartość momentu zginającego na kierunku L:

b_s = 0, 48 l_s = 0, 68

* długość wsporników stopy

S_LL=L/2 $+ e_{\text{xs}} - \frac{l_{s}}{2} + 0,15l_{s}$= 4/2 + 0,1- 0,68/2+ 0,15*0,68 = 1,862m

S_LP=L/2 $- e_{\text{xs}} - \frac{l_{s}}{2} + 0,15l_{s}$= 4/2 - 0,1- 0,68/2+ 0,15*0,68 = 1,662m

M_dLL= B * 0,5  * q_max * S_LL²= 3* 0,5* 247,22*1, 862² = 1285,68 kNm

* wartość momentu zginającego na kierunku B:

S_BL= S_BP = B/2 $- \frac{b_{s}}{2} + 0,15b_{s}$= 3/2 - 0,48/2+ 0,15•0,48 = 1,332m

M_dBL= L* 0,5*q_max * S_BL²= 4* 0,5* 247,22 *1, 332² = 658,59 kNm

- Wyznaczenie momentów zginających dla średnich naprężeń działających na wspornik

* na kierunku L:

q_a = (q_max + q₁)/2 = (247,22+120,59)/2= 183,91 kPa

q_b = (q₂ + q_min)/2 = (138,05+11,42)/2= 74,74 kPa

q_I = q_a − (q_a−q_b) * S_LL/L  = 133,09 kPa

q_P = q_b + (q_a−q_b) * S_LP/L  = 120,10 kPa

Ponieważ naprężenia na obu wspornikach są bliskie co do wartości a lewy wspornik jest dwukrotnie dłuższy to większa wartość momentu będzie na lewym wsporniku.

M_dL= B* 0,5* q_I *  S_LL²= 3 *  0,5  *  133,09 *3, 467 = 692,14 kNm

* na kierunku B:

q_a = (q_max + q₂)/2 = (247,22+138,05)/2= 192,64 kPa

q_b = (q₁ + q_min)/2 = (120,59+11,42)/2= 66,01 kPa

q_II = q_a − (q_a−q_b)*  S_BL/B= 192,64 - (192,64-66,01) *  1,332/3= 136,42 kPa

M_dB= L* 0,5 * q_II *  S_LP²= 4 * 0,5* 136,42 *1, 662² = 753,65 kNm

Pasmowe rozmieszczenie prętów (koncentracja ilości prętów w rejonie słupa) gwarantuje lokalizację zbrojenia tam gdzie ono jest najbardziej potrzebne. Ponieważ średnie naprężenie działa na przeważającej długości wspornika te wartości momentów przyjęto jako wyjściowe do obliczenia powierzchni zbrojenia.

- Wyznaczenie powierzchni zbrojenia dla średnich naprężeń działających na wspornik

Przyjęto otulinę prętów zbrojenia stopy 50 mm (minimalna grubość otuliny dla stopy posadowionej na 10 cm warstwie betonu podkładowego wynosi 40 mm) oraz zbrojenie prętami ⌀ 16 ze stali 18G2-b o f_yd = 355 000 kPa

d_L = 0,8 - 0,05 - 0,5• 0,016=0,74 m

A_s = M/(f_yd* 0,9* d_L)

* powierzchnia zbrojenia dla kierunku L:

A_s = 692,14 / (355000 *  0,9 *  0,74) = 29,3 cm²

A_{S min} = 0,0013 * 300  *   80 = 31,2 cm²

Przyjęto 16 prętów zbrojeniowych ⌀ 16 o powierzchni 32,17 cm².

* powierzchnia zbrojenia na kierunku B:

d_B = 0,80 - 0,05 - 1,5 * 0,016 = 0,726 m

A_S = 753,65 / (355000 *  0,9 * 0,726) = 32,49 cm².

A_{S min} = 0,0013 *  400 ∗  80 = 41,6 cm²

Przyjęto 22 prętów zbrojeniowych ⌀ 16 o powierzchni 44,23 cm².

- Rozmieszczenie zbrojenia zgodnie z zaleceniami EC2

* na długości stopy fundamentowej

ls/L = 0,68/4 = 0,17≅0, 2	W pasmach poprzecznych fundamentów
Pasmo środkowe o szerokości 0,5*B = 1,5 m względem osi słupa	0,626  * 32, 17 cm^2 = 20,14 cm^2 10 ⌀ 16 co 15 cm = 20,1cm^2
Dwa pasma skrajne o szerokości 0,25*B = 0,75 m	0,187*32, 17 = 6,02 cm^2 3 ⌀ 16 co 12 cm = 6,03 cm^2

* na szerokości stopy fundamentowej

bs/B = 0,48/3 = 0,16≅0, 2	W pasmach podłużnych fundamentów
Pasmo środkowe o szerokości 0,5L = 2 m względem osi słupa	0,626  *  44,23 = 27,69 cm^2 14 ⌀16 co 14 cm = 28,14 cm^2
Dwa pasma skrajne o szerokości 0,25L = 1 m	0,187  *  44,23 = 8,27 cm^2 4 ⌀16 co 12 cm = 16,08 cm^2

- Wymiarowanie stopy fundamentowej na przebicie

d_L = d_f - 0,5  * ⌀ - c_l = 0,8 - 0,5 * 0,016 - 0,05 = 0,74m

Pole powierzchni obszaru kontrolnego:

A_cont = (2d_L + b_s) * (2d_L + l_s) = (2 • 0,74 + 0,48) * (2 • 0,74 + 0,68) = 4,23 cm²

Średnie naprężenie pod podstawą fundamentu od obciążeń stałych, zmiennych i wyjątkowych oraz ciężaru własnego fundamentu wynosi:

$$q_{\text{Ed\ }} = \ \frac{V_{d} + V_{\text{GkF}}}{A} = \ \frac{1257 + 350}{12} = \ 133,92\ kPa\backslash n$$

Zredukowana wartość siły przebijającej jest równa :

V_{Ed ,  red}  = V_d −  (A_cont*q_Ed ) =   690, 52 kN

Długość obwodu kontrolnego jest równa:

u = 2 * (2*d_l+b_s) + 2 * (2*d_l+l_s) = 8, 24 m

M_dx  = 154, 5 kNm 

M_dy  = 385 kNm

Moment wypadkowy

$$M_{\text{Ed\ }} = \sqrt{{M_{\text{dx\ }}}^{2} + {M_{\text{dy\ }}}^{2}}$$

$$M_{\text{Ed\ }} = \sqrt{{154,5}^{2}\ + 385^{2}} = 414,84\ kNm\ $$

Współczynnik uwzględniający mimośród na którym działa siła

$$\beta = 1 + k*\frac{M_{\text{Ed}}}{V_{Ed,\ red}}*\frac{u}{W_{1}}$$

W₁ = 0, 5 * b_s² + b_s * l_s + 4 * b_s * d_L + 16 * d_L² + 2 * π * d_L * l_s = 0, 5 * 0, 48² + 0, 48 * 0, 68 + 4 * 0, 48 * 0, 74 + 16 * 0, 74² + 2 * 3, 14 * 0, 74 * 0, 68 = 13, 78 m

$$\beta = 1 + 0,65*\frac{414,84}{690,52}*\frac{8,24}{13,78} = 1,23$$

$$V_{\text{Ed}} = \beta*\frac{V_{Ed,\ red}}{u \bullet d_{l}} = \ 1,23*\frac{690,52}{8,24 \bullet 0,74} = 0,139\ \lbrack MPa\rbrack$$

Porównanie obciążeń od obciążenia z maksymalnymi naprężeniami możliwymi do przeniesienia

Beton C 20/25, f_ck = 25 MPa

* obliczanie powierzchni zbrojenia

$$\rho_{b} = \frac{100*\rho_{B}}{B*d_{f}}$$

$$\rho_{b} = \frac{100*44,23}{300*80} = 0,18\%$$

$$\rho_{l} = \frac{100*\rho_{L}}{L*d_{f}}$$

$$\rho_{b} = \frac{100*32,17}{400*80} = 0,10\%$$

* średni procent zbrojenia

$$\rho = \sqrt{\rho_{b}*\rho_{b}}$$

ρ = 0, 13 %

V_Rdc = 0, 129 * k₁ * (ρ * f_ck)^1/3

$$k_{1} = 1 + \sqrt{\frac{200}{740}} = 1,52$$

$V_{\text{Rdc}} = 0,129*1,52*\left( 0,13*25 \right)^{\frac{1}{3}} = \ 0,290\ MPa$

V_Ed = 0, 139  < V_Rdc = 0, 290

Przebicie fundamentu nie nastąpi.