Ćwiczenie nr 1

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego i fizycznego

Cel ćwiczenia:

1. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego.

2. Wyznaczenie logarytmicznego dekrementu tłumienia i współczynnika tłumienia drgań gasnących wahadła matematycznego.

Zagadnienia:

1. Ruch harmoniczny (równanie ruchu, wielkości charakteryzujące rucha harmoniczny).

2. Teoria wahadła matematycznego i fizycznego.

3. Moment bezwładności brył, twierdzenie Steinera.

Wprowadzenie

1. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego.

Znając okres wahań wahadła T oraz jego długość l można w oparciu o wzór:

$T = 2\pi\sqrt{}\frac{l}{g}$ (1)

Wyznaczyć przyspieszenie ziemskie. W celu uniknięcia błędu występującego przy pomiarze długości l stosuje się metodę Bessela. Metoda ta uwzględnia różnicę długości, którą można wyznaczyć dokładniej. Przekształcając równanie (l) i stosując ją dla wahadeł o różnych długościach otrzymujemy:

$$l_{1 = \frac{T^{2}l}{4\pi^{2}}g}$$

$$l_{2 = \frac{T_{2}^{2}}{4\pi_{2}}g}$$

Odejmując powyższe równania stronami oraz stosując podstawienie

d = l₁ − l₂

otrzymujemy:

$g = 4\pi^{2}\frac{d}{T_{1}^{2} - T_{2}^{2}}$ (2)

Równania (1) i (2)słuszne są tylko domałych wyhyleń. W ogólnym przypadku zamiast okresów T stosować należy okres zredukowany T_o obliczony ze wzoru:

$T_{o} = T(1 + \frac{1}{4}\sin^{2}(\frac{\alpha}{2}$)) (3)

gdzie:

α – amplituda wahań,

T – zmierzony okres wahań

1. Wyznaczanie współczynnik tłumienia drgań gasnących wahadła fizycznego.

Wiadomo, że w przypadku drgań gasnących amplitud z upływem czasu maleje. Wyrażenie definiujący logarytmiczny dekrement ma postać:

$\delta = ln\frac{A_{k}}{A_{k + 1}} = \beta T$ (4)

gdzie:

A_k- kolejne amplitudy (po okresie T),

β- współczynnik tłumienia (zależny od momentu bezwładności drgającego ciała oraz od oporu ośrodka),

T - okres drgań.

Przebieg ćwiczenia:

1. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego:

1. Zawiesić kulkę wahadła i odczytać jego długość na lustrzanej skali (do punktu zawieszenia l₁).

2. Odchylić kulkę wahadła o kąt nie większy niż 10° (wychylenie mniejsze niż 12 cm) i następnie puścić ją.

3. Gdy wahadło przechodzi przez położenie równowagi włączyć stoper i wyznaczyć czas, w którym zachodzi 100 pełnych wahnięć (t₁) .

4. Skrócić wahadło o 0,1 – 0,2 m i powtórzyć wymiary jak w punkcie 1 – 4.

5. Ponownie wydłużyć wahadło, a następnie czynności z punktów 1 – 4 powtórzyć 5-krotnie.

6. Dane zapisać w tabeli nr 1.

Lp	l1	t1	T1	l2	t2	T2	d	g	|gi − g^−|
	(cm)	(s)	(s)	(cm)	(s)	(s)	(cm)	$$(\frac{m}{s^{2}})$$	$$(\frac{m}{s^{2}})$$
1
2
3
4
5
								g^−	$$\sum_{i}^{}|g_{i} - g^{-}|$$

1. Wyznaczanie dekrementu tłumienia i współczynnika oporu

1. Zaznaczyć na taśmie papierowej położenie równowagi wahadła.

2. Odchylić wahadło tak, aby rysik znajdował się w odległości około 1 cm od brzegu taśmy.

3. Wprawić w ruch jednostajny taśmę.

4. Puszczając wahadło włączyć jednocześnie stoper i po kilku wahnięciach wyłączyć stoper. Na taśmie zaznaczyć moment wyłączenia.

5. Wyciąć taśmę z zarejestrowanymi drganiami i dołączyć ją później do opracowania.

Opracowanie wyników

1. Wahadło matematyczne

1. Obliczyć okresy drgań wahadła i wartości przyspieszenia ziemskiego uzupełniając tabelę 1.

2. Wyznaczyć wartość średnią przyspieszenia oraz błąd przeciętny.

3. Obliczyć błąd maksymalny wg wzoru:

$$g = \pm g(\frac{d}{d} + \frac{2(T_{1} + T_{2}}{T_{1,0}^{2} + T_{2,0}^{2}}T)$$

gdzie:

T- błąd pomiaru okresu drgań,

d- oznacza błąd przy wyznaczaniu różnicy długości wahadła.

1. Oszacować jaki wpływ na wynik ma uwzględnienie poprawki wg wzoru (3).

1. Wahadło fizyczne

1. Znając położenie równowagi wahadła zmniejszyć amplitudy drgań.

2. Dane wpisać do tabeli 2.

t	n	T	A0	A1	A2	A3	A4	A5	…..
(s)		(s)	(cm)

1. Obliczyć dekrement tłumienia korzystając ze wzoru (4) uwzględniając A₀A_1, A₁A₂, A₃A₄, itd.

2. Obliczyć średnią arytmetyczną wartości δ, a następnie błąd przeciętny.

3. Ze wzoru δ = β × T obliczyć β uwzględniając δ_sr

4. Obliczyć błąd wartości β ze wzoru:

$$\beta = \beta(\frac{\delta p}{\delta_{sr}} + \frac{T}{T})$$

Schemat układu pomiarowego:

Wahadło matematyczne

F– siła kierująca wahadło do położenia równowagi

F₁ – siła naciągająca

F₂ - siła równoważąca przeciwdziałanie nici.

Wahadło matematyczne

d – długość

F₁ - siła wychylająca wahadło

F₂ - siła zwrotna

Obliczenia dokładności pojedynczych pomiarów:

Refleks T = 0, 3s

$$T = \frac{t}{n}$$

1. Dla wahadła matematycznego:

$$T = \frac{0,3}{50} = 0,006$$

Wprowadzenie teoretyczne:

Ruch harmoniczny jest to ruch drgający, okresowy, który charakteryzuje się tym, że jego kinetyczne równanie ruchu jest określone przez funkcję sinusoidalną i ma postać x = xo sin(ωt + φo), gdzie:

xo- amplituda ruchu harmonicznego (jest to wielkość zawsze dodatnia i równa maksymalnej wielkości współrzędnej x określającej położenie cała w ruchu harmonicznym),

(ωt + φo) - faza ruchu harmonicznego (w danej chwili określającą współrzędne ciało w ruchu harmonicznym)

φo - faza początkowa ruchu harmonicznego, która określa położenie ciał w ruchu harmonicznym w chwili t=0

ω - częstość kołowa ruchu harmonicznego (określa prędkość zmiany fazy w funkcji czasu).

Przykładem ruchu harmonicznego jest wahadło fizyczne, będące bryłą sztywną wykonującą wahania pod wpływem własnej siły ciężkości względem nieruchomej osi poziomej, nie przechodzącej przez jej środek ciężkości i zwanej osią wahań wahadła. Środek ciężkości wahadła Środek ciężkości wahadła pokrywa się z jego środkiem masy. Punkt przecięcia się osi wahań wahadła z płaszczyzną pionową przechodzącą przez środek ciężkości wahadła
i prostopadłą do osi wahań nazywamy punktem zawieszenia wahadła.

Innym przykładem ruchu harmonicznego jest wahadło matematyczne będące punktem materialnym zawieszonym na nieważkiej i nierozciągliwej nici, wykonuje wahania
w płaszczyźnie pionowej pod działaniem siły ciężkości. Wahadło matematyczne jest przypadkiem granicznym wahadła fizycznego, którego cała masa jest skupiona w środku masy. Masa punktu matematycznego tego wahadła nie wpływa na okres drgań. Poprzez długość wahadła i jego okres drgań można wyznaczyć przyspieszenie ziemskie.

Moment bezwładności danej bryły względem dowolnej osi zależy nie tylko od masy, kształtu i rozmiarów bryły, lecz również od położenia bryły względem tej osi. Zgodnie z twierdzeniem Steinera moment bezwładności bryły J względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności Jc względem osi przechodzącej przez środek masy bryły równolegle do równoważnej osi iloczynu masy bryły m i kwadratu odległości d między osiami:

J = Jc + md²

Zasada pomiaru

Celem ćwiczenia było wyznaczenie wartości przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego i fizycznego. Wychylone z położenia równowagi wahadło matematyczne (rys. 1) czy fizyczne (rys. 2) wykonują drgania. Dla małych wychyleń są to drgania harmoniczne.

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

gdzie:

T - okres drgań,

l - długość wahadła,

g – przyspieszenie ziemskie

$$g = 4\pi^{2}\frac{d}{T_{1}^{2} - T_{2}^{2}}$$

gdzie:

g – przyspieszenie ziemskie,

T - okres,

d - różnica długości (d = l₁ − l₂),

1. Dla wahadła fizycznego

d = l₁ − l₂

d = 100 − 89, 5 = 10, 5cm

d = 0, 105cm

$$T = \frac{0,3}{6} = 0,05$$

Tabele pomiarowe

Tabela dla pomiarów wahadłem matematycznym

Lp	l1	t1	T1	l2	t2	T2	d	g	Igi − gI
	(cm)	(s)	(s)	(cm)	(s)	(s)	(cm)	($\frac{m}{s^{2}}$)	$\frac{(m}{s^{2}}$)
1	100,00	98,97	1,98	89,50	95,71	1,91	10,50	15,38	4,80
2	93,50	97,59	1,95	81,00	89,34	1,79	12,50	8,22	-2,36
3	96,50	98,44	1,97	85,00	91,47	1,83	11,50	8,56	-2,02
4	90,00	94,06	1,88	77,00	86,93	1,74	13,00	10,25	-0,33
5	96,00	97,01	1,94	84,00	91,15	1,82	12,00	10,50	-0,08
								g=10,58	$$\sum_{}^{}{|g_{i}} - g^{-}| = 0,01$$

$$T_{i} = \frac{t_{i}}{50}$$

d₁ = l₁ − l₂

$$g = 4\pi^{2}\frac{d}{T_{1}^{2} - T_{2}^{2}}$$

Tabela dla pomiarów wahadłem fizycznym:

t	n	T	A0	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7
(s)		(s)	(cm)	(cm)	(cm)	(cm)	(cm)	(cm)	(cm)	(cm)
4,94	8	0,62	8,2	7,6	6,5	5,2	3,5	3,1	1,4	1,3

A_0…A_T - kolejne amplitudy drgań zmierzone na wykresie

t - zmierzony czas drgań

T - okres jednego cyklu $T = \frac{t}{n}$

Przykładowe obliczenia wielkości złożonych.

1. Dotyczące pomiarów wahadłem matematycznych:

$$\mathbf{g = 4}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{T}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{T}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}}$$

$$\mathbf{g}_{\mathbf{1}}\mathbf{= 4}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{T}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{T}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{= 39,438 \times}\frac{\mathbf{0,105}}{\mathbf{1,98}^{\mathbf{2}}\mathbf{\times}\mathbf{1,91}^{\mathbf{2}}}\mathbf{= 15,38}$$

$$\mathbf{g}_{\mathbf{5}}\mathbf{= \ 4}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{T}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{T}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{= 39,438 \times}\frac{\mathbf{0,12}}{\mathbf{1,94}^{\mathbf{2}}\mathbf{\times}\mathbf{1,82}^{\mathbf{2}}}\mathbf{= 10,50}$$

1. Dotyczące pomiarów wahadłem fizycznym (wyznaczanie współczynnika tłumienia drgań gasnących wahadła fizycznego).

Logarytmiczny dekrement tłumienia:

1.$\delta_{1} = ln\frac{A_{0}}{A_{1}} = ln\frac{8,2}{7,6} = 0,076$

2.$\ \delta_{2} = ln\frac{A_{1}}{A_{2}} = ln\frac{7,6}{6,5} = 0,157$

3.$\ \delta_{3} = ln\frac{A_{2}}{A_{3}} = ln\frac{6,5}{5,2} = 0,223$

4.$\ \delta_{4} = ln\frac{A_{3}}{A_{4}} = ln\frac{5,2}{3,5} = 0,298$

5.$\ \delta_{5} = ln\frac{A_{4}}{A_{5}} = ln\frac{3,5}{3,1} = 0,122$

6.$\ \delta_{6} = ln\frac{A_{5}}{A_{6}} = ln\frac{3,1}{1,4} = 0,792$

7.$\ \delta_{7} = ln\frac{A_{6}}{A_{7}} = ln\frac{1,4}{1,3} = 0,076$

δ_er=0, 260

gdzie:

β - współczynnik tłumienia

T - 1,31

$$\mathbf{\beta =}\frac{\mathbf{\delta}_{\mathbf{Sr}}}{\mathbf{T}}$$

$$\mathbf{\beta =}\frac{\mathbf{0,260}}{\mathbf{0,62}}\mathbf{= 0,419}$$

Rachunek błędów wahadłem matematycznym:

$$\mathbf{g = \pm (}\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{d}_{\mathbf{1}}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{2 \times (}\mathbf{T}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{T}_{\mathbf{2)}}}{\mathbf{T}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{T}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\times T)}$$

$$g = \pm 15,38(\frac{0,119}{0,105} + \frac{2 \times \left( 1,98 + 1,91 \right)}{\left( 3,92 - 3,64 \right)} \times 0,006$$

g = ±2, 0

$$g_{1} = (15,38 \pm 2,0)\frac{m}{s^{2}}$$

$$g = \pm g_{5}(\frac{d}{d_{5}} + \frac{2\left( T_{1} + T_{2} \right)}{\left( T_{1}^{2} - T_{2}^{2} \right)} \times T)$$

$$g = \pm 10,50\left( \frac{0,119}{0,12} + \frac{2 \times \left( 1,94 + 1,82 \right)}{3,76 - 3,312} \times 0,006 \right)$$

g = ±0, 1

$$g_{5} = (10,50 \pm 0,1)\frac{m}{s^{2}}$$

1. Dotyczących pomiarów wahadłem fizycznym

$$\delta_{p} = \pm \sum_{l = 1}^{n}\frac{|\delta_{Sr} - \delta_{i}|}{n}$$

- błąd przeciętny

|δ_er−δ₁| = 0, 184

|δ_er−δ₂| = 0, 103

|δ_er−δ₃| = 0, 037

|δ_er−δ₄| = 0, 138

|δ_er−δ₅| = 0, 138

|δ_er−δ₆| = 0, 192

|δ_er−δ₇| = 0, 184

δ_p = ±0, 04

δ = 0, 260 ± 0, 04

- błąd współczynnika tłumienia

$$\beta = \pm \beta \times (\frac{{\delta}_{p}}{\delta_{er}} + \frac{T}{T})$$

β = ±0, 008

β = 0, 419 ± 0, 008

Wyniki końcowe:

1. Dla wahadła matematycznego:

$$g_{1} = (15,38 \pm 2,0)\frac{m}{s^{2}}$$

$$g_{5} = (10,50 \pm 0,1)\frac{m}{s^{2}}$$

1. Dla wahadła fizycznego:

δ = 0, 260 ± 0, 04

β = 0, 419 ± 0, 08

Wnioski:

Na błąd pomiaru składają się błędy długości wahadła, pomiar stoperem, błąd okresu, który zależy od liczby wahnięć. Przy wyznaczeniu współczynnika tłumienia drgań gasnących wahadła fizycznego również może wystąpić pewna niedokładność.