Podstawy opisu matematycznego układów impulsowych
Układ impulsowy może być złożony z elementów ciągłych, impulsatorów, ekstrapolatorów i elementów dynamicznych pracujących w sposób dyskretny.
1 Impulsator z ekstrapolatorem (impulsy ssą kodowane cyfrowo)
Przy impulsowaniu sygnału V(t) w dyskretnych chwilach czasu t=KT, k=0,1,2… jest formowany ciąg impulsów fk=f(KT).
Parametr T jest określany jako okres impulsowania (próbkowania), natomiast fs=1/T, jest nazywana częstotliwością impulsowania (próbkowania).
Rys.2
T 2T 3T 4T 5T t Rys. 3
Wyjście z układu ekstrapolującego jest schodkowa aproksymacja sygnału wejściowego idealnie próbkowanej V(t) z impulsatorem.
Idealne próbkowanie i ekstrapolowanie zerowego rzędu (20H). Sygnały ciągłe SA próbkowane z okresem T i następnie ciąg impulsów Vx(t) o amplitudach V(t) jest ekstrapolowany przez okres próbkowania. Zolt podtrzymuje amplitudę sygnału doprowadzonego do wejścia w danej chwili czasu (KT) przez cały okres próbkowania aż do pojawienia się następnej próbki w chwili (K+1,T)
Istnieje problem utworzenia 2 ciągu liczbowego fx(t), który jest dostarczany z maszyny cyfrowej (komputera) sygnału ciągłego h(t) wykorzystywanego jako wielkość sterująca w układzie regulacji. W układach sterowania dyskretnego sygnały występują w formie impulsów lub są kodowane cyfrowo, natomiast sterowane procesy zawierają często podzespoły analogowe. Dla przykładu silnik prądu stałego, który jest urządzeniem analogowym może być sterowany zarówno przez regulator wysyłający sygnały analogowe jak i przez regulator cyfrowy, który wysyła sygnały cyfrowe. W ostatnim przypadku do połączenia regulatora cyfrowego z urządzeniem analogowym konieczny jest przetwornik C/A. Na wejściu i wyjściu regulatora występują próbki oddzielone od siebie o okres T.
Rys. 1
W najprostszym wydaniu przetwornik C/A może być wykonany jako urządzenie typu impulsator-ekstrapolator, które składa się z urządzenia próbkującego i ekstrapolującego wartość próbki przez okres próbkowania t. Urządzeniem C/A najczęściej stosowanym w analizie układów dyskretnych jest połączenie idealnego impulsatora z ekstrapolatorem zerowego rzędu (Z0H – zero-order-hold). Po takich założeniach, część układu z rysunku 1. Może być funkcjonalnie zastąpiona przez schemat blokowy pokazany na rys. 2.
_______________________________________________________________________________
Gdy okres próbkowania T dąży do zera to wyjście z układu ekstrapolującego h(t) dąży do v(t) czyli:
$$\frac{\text{Lim}}{T \rightarrow 0}\text{\ h}\left( t \right) = \ v(t)$$
Typowy układ dyskretny otwarty modelowy jest w sposób następujący:
Transformata operatorowa Laplace’a sygnału wyjściowego y(t) z rysunku jest następująca:
Y(s) = G(s) R*(s)
Chociaż wartość wyjścia y(t) jest wyznaczona po zastosowaniu odwrotnej transformaty Laplace’a na obu stronach równania (2) to jednak jest to trudne do wykonania gdyż G(s) oraz Rx(5) reprezentują dwa różne rodzaje sygnałów.
Schemat blokowy układu z fikcyjnym impulsatorem na wyjściu
Aby ominąć ten problem zastosowany zostanie fikcyjny impulsator na wyjściu układu rys. Fikcyjnie próbki S2 mają taki sam okres próbkowania T i są zsynchronizowane z próbkami S1.Próbkowana postać sygnału y(t) został a oznaczona jako yx(s)
Y(2) = G(2)
Gdzie G(2) jest definiowana jako transformata z funkcji operatorowej G(s) i opisana jest również jako : CG(2) = $\sum_{k = 0}^{\infty}{g(KT)z^{- k}}$
Czyli dla układów dyskretnych na rysunku (4) i (5) transformata z wyjścia jest równa transmitancji z procesu Oran transformaty z wejścia .