Uczenie się pojęć matematycznych związane jest z myśleniem ,
rozumowaniem i konstrukcją. Liczenie to ważna umiejętność, którą trzeba
opanować; najlepiej zaś opanowywane jest wtedy, gdy stanowi rezultat
konstrukcji. Uczenie się pojęć i procedur matematycznych wymaga
zastosowania operacji konkretnych i formalnych do matematycznych treści.
Nie są potrzebne żadne nowe czy inne formy rozumowania. Nie ma żadnego
specjalnego typu rozumowania właściwego tylko matematyce. Ci, którzy
rozumieją matematykę, mają pojęcia wywiedzione z rozumowania
logiczno-matematycznego często wbrew temu, czego uczono ich w szkole.
Inni często gubią się, nie radzą sobie z matematyką. Takie poczucie
nieradzenia sobie, jeśli utrzymuje się, ma poważne konsekwencje
afektywne (także intelektualne). Osoby, które nie są w stanie zrozumieć
matematyki, tracą wiarę w siebie i często poddają się.

         Chcąc ominąć omawiany wyżej problem należałoby zastosować w nauczaniu
matematyki podstawowe zasady wynikające z teorii konstruktywizmu.

1. Struktury psychologiczne muszą być rozwinięte, zanim wprowadzone
zostaną zagadnienia numeryczne. Jeżeli dzieci będą próbowały rozwiązywać
zadania numeryczne przed nabyciem struktur logiczno-matematycznych
związanych z pojęciami matematycznymi zawartymi w tych zdaniach, to będą
nie będą one miały żadnego znaczenia. Konstrukcja jest utrudniona.

2. Struktury psychologiczne (schematy) muszą być rozwinięte, zanim
wprowadzony zostanie formalny symbolizm. Symbolizm czy język matematyki
to zbiór pisanych lub mówionych liczb. Te symbole są reprezentacjami
pojęć. Liczby pisane nie są pojęciami. Pojęcia są pierwotne w stosunku
do reprezentacji i nadają im znaczenia.

3. Nie należy kłaść nacisku na pamięciowe opanowywanie wiedzy przed
zrozumieniem przez dzieci logiki uwikłanej w tę wiedzę. Uczenie się na
pamięć nie pomaga w zrozumieniu i konstrukcji.

4. Dzieci muszą mieć okazję do wymyślania (konstruowania) zależności
matematycznych, a nie jedynie do korzystania z gotowych wytworów
myślenia osób dorosłych.

5. Nauczyciele muszą rozumieć naturę błędów popełnianych przez
dzieci. Rozwój intelektualny i rozwój rozumowania matematycznego jest, z
definicji, usiany błędami. Błędy są nieuniknioną częścią konstrukcji we
wszystkich obszarach. Systematyczne błędy w matematyce odzwierciedlają
często rozumowanie i skonstruowaną przez dziecko wiedzę, którą
wykorzystało ono do rozwiązania zadań.

Stworzenie atmosfery sprzyjającej myśleniu. Dzieci potrzebują środowiska
klasy szkolnej, w którym chciałyby wypróbowywać swoje teorie i strategie
i byłyby do tego zachęcane. Pomocne dla uczniów jest, gdy są zachęcane
do nawiązywania interakcji, wymiany myśli, krytykowania nawzajem swoich
rozwiązań, prowadzenia intelektualnych sporów na temat tego, jak co
robić. Interakcje między rówieśnikami mogą ułatwiać konstrukcje,
wytwarzając konflikt poznawczy, potem nierównowagę i motywację do
rekonstrukcji istniejącej wiedzy. (s.187-191, B.J.Wadsworth, WsiP1998)

Rozwój myślenia dziecka w młodszym wieku szkolnym dokonuje się w
tym kierunku stopniowo, metodą interioryzacji czynności zewnętrznych
(opartych na spostrzeżeniach i wyobrażeniach przedmiotów) i
przekształcania się tych czynności w operacje myślowe. Szwajcarski
psycholog, Jean Piaget wykazał, że zdolność do wykorzystania
czynności odwrotnych w myśli, czyli operacji rozwija się stopniowo.
Dzieci w wieku przedszkolnym charakteryzują się myśleniem
przedoperacyjnym wieku 6 � 8 lat zaczynają się rozwijać operacje
konkretne, związane ściśle z czynnościami na przedmiotach (tzw.
manipulacjami) oraz ze spostrzeganiem.
Dopiero na wyższym poziomie rozwoju kształtują się operacje formalne,
w których występuje rozumowanie dedukcyjne, wysuwane są hipotezy.
Do podstawowych czynności procesu myślenia zalicza się: analizę,
syntezę, porównywanie, abstrahowanie, uogólnianie i wreszcie
systematyzację.

Dla wieku przedszkolnego charakterystyczne jest myslenie
przedoperacyjne oparte na czynnosciach zewnetrznych wykonywanych na
przedmiotach. Czynnosci wewnetrzne dokonuja sie w umysle i sa podstawowym
elementem myslenia operacyjnego1.


Myślenie dziecka cechuje konkretyzm i obrazowość, gdyż znajduje się ono
na poziomie poznania praktycznego opartego na bezpośrednim
spostrzeganiu. Poza tym myślenie dzieci jest ściśle związane z
działaniem. Jeżeli brak uczniowi operacji myślowych leżących u podstaw
danego pojęcia matematycznego, to i brak mu zrozumienia tego pojęcia.
Dlatego poznanie nowego pojęcia matematycznego przez dzieci należy
oprzeć na ich własnych czynnościach wykonywanych pod kierunkiem
nauczyciela

Jednakże kształtowanie pojęć wymaga takiego dawkowania treści
poznawczych, aby wiadomości narastały od pojęć jednostkowych do pojęć
powiązanych w logiczne systemy wiedzy. Taki układ treści nauczania staje
się materiałem pomocniczym w rozwijaniu myślenia strukturalnego, w
którym występują nie tylko operacje proste, ale i odwrócone. Bez
odwracalności nie ma myślenia logicznego, ponieważ odwracalność myślenia
jest podstawową cechą struktur operacyjnych. Kształtują się one już na
poziomie myślenia praktycznego (tzw. operacje konkretne) związanego z
działaniem wykonywanym rzeczywiście rękoma.

Cechą charakterystyczną dzieci sześcioletnich jest myślenie
konkretno-obrazowe. W związku z tym ich czynności poznawcze nie mogą
dotyczyć wyłącznie słów i zdań, lecz przede wszystkim, odpowiednio
dobranych przedmiotów. Licznie przeprowadzone badania wykazały, że
"również słowa i zdania odgrywają w procesie kształcenia matematycznego
istotną rolę, lecz wtedy i tylko wtedy, gdy uczniowie w sposób
spontaniczny opisują wykonywane przez siebie konkretne czynności na
odpowiednio dobranych środkach dydaktycznych" (H.Moroz).