Nr ćwiczenia 108	Data 07.11.2014	Imię i nazwisko Adam Orzechowski	Wydział WBMiZ	Semestr I	Grupa MCH III
Prowadzący	Przygotowanie Adam Orzechowski	Wykonanie Adam Orzechowski	Ocena

1. Podstawy teoretyczne

Kiedy na podłużny pręt działa siła w kierunku prostopadłym do jego długości, doznaje on ugięcia.
Jego wartość jest wyrażona za pomocą strzałki ugięcia S, która jest proporcjonalna do działającej siły F i jest zależna od wymiarów geometrycznych pręta, materiału z którego został wykonany, oraz sposobu jego umocowania.
W sytuacji, kiedy pręt jest zamocowany z jednej strony i działa na niego prostopadła siła, jego górne warstwy są rozciągane, natomiast dolne ściskane. Jeżeli nie działają żadne siły przekroje prostopadłe pręta są równoległe, natomiast po przyłożeniu siły tworzą pewien kąt ϕ. Biorąc pod uwagę element pręta o długości Δx, grubości Δy i szerokości b, znajdujący się w odległości x od krawędzi zamocowanej na wysokości y powyżej warstwy środkowej. W takiej sytuacji na skutek ugięcia beli warstwa badana ulega wydłużeniu o yϕ.

Prawo Hook’a- wydłużenie jest proporcjonalne do siły i długości początkowej oraz odwrotnie proporcjonalne do powierzchni przekroju:

y ϕ=$\frac{F_{n}\Delta x}{\text{Eb}\Delta y}$ gdzie: E- moduł Younga, F_n- siła rozciągająca rozpatrywaną warstwę elementarną
Moment siły F_n- względem warstwy N
ΔM=E$\frac{\varphi}{\Delta x}y^{2}$bΔy
Całkowity moment M sił działających na wszystkie warstwy zawarte miedzy przekrojami 1 i 2.
M=E$\frac{\varphi}{\Delta x}H$
Całkowita strzałka ugięcia
S=$\frac{F}{3\text{EH}}l^{3}$

Wartość współczynnika H jest uzależniona od kształtów i wymiarów geometrycznych pręta.
Kiedy pręt jest prostokątem o wysokości h i szerokości b:
$H_{\text{pr}} = \frac{1}{12}bh^{3}$

Kiedy pręt jest okręgiem o promieniu r
H_k=$\frac{\pi}{4}r^{4}$

Po podstawieniu współczynników H:
Strzałka ugięcia dla pręta prostokątnego
$S_{\text{pr}} = \frac{4l^{3}}{\text{Eb}h^{3}}F$

Strzałka ugięcia dla pręta okrągłego
$S_{k} - \frac{4l^{3}}{3\text{πE}r^{4}}F$
W czasie ćwiczeń przeprowadzone badanie odnosiło się do ugięcia pręta dwustronnie podpartego. Dlatego należy użyć następujące wzory:
$S_{\text{pr}} = \frac{l^{3}}{4\text{Eb}h^{3}}F$
$S_{k} = \frac{l^{3}}{12\text{πE}r^{4}}F$
Wzory te umożliwiają wyznaczenie modułu Younga.
Wyniki pomiarów
Wszystkie badane pręty miały długość 650 mm.
Pręt okrągły I o średnicy 0,7cm

Lp.	Masa obciążenia[g]	Wysokość pręta[mm]	Strzałka ugięcia[mm]	Siła obciążająca[N]
1. 2. 3. 4. 5. 6.	0 200 400 900 1400 1900	602,39 601,93 601,16 599,63 597,3 595,43	0 0,46 1,23 2,76 5,09 6,96	0 1,962 3,924 8,829 13,734 18,639

Współczynnik nachylenia: 0,000391723
Niepewność współczynniku nachylenia: 1,45825*10⁻⁵
Współczynnik Younga; 123,9875066 GPa

Pręt kwadratowy o grubości 0,5 cm

Lp.	Masa obciążenia[g]	Wysokość pręta[mm]	Strzałka ugięcia[mm]	Siła obciążająca[N]
1. 2. 3. 4. 5. 6.	0 200 400 900 1400 1900	599,83 599,4 598,9 597,2 595,36 593,87	0 0,43 0,93 2,63 4,47 5,96	0 1,962 3,924 8,829 13,734 18,639

Współczynnik nachylenia: 0,000339297
Niepewność współczynniku nachylenia: 7,7639*10⁻⁶
Współczynnik Younga:179,8653GPa

Pręt okrągły II o średnicy 0,7cm

Lp.	Masa obciążenia[g]	Wysokość pręta[mm]	Strzałka ugięcia[mm]	Siła obciążająca[N]
1. 2. 3. 4. 5. 6.	0 200 400 900 1400 1900	602,64 602,17 601,89 600,87 600,29 599,53	0 0,47 0,75 1,77 2,35 3,11	0 1,962 3,924 8,829 13,734 18,639

Współczynnik nachylenia: 0,000158901
Niepewność współczynnika nachylenia: 8,23148*10⁻⁶
Moduł Younga: 305,6542 GPa

Pręt okrągły III o średnicy 0,7cm

Lp.	Masa obciążenia[g]	Wysokość pręta[mm]	Strzałka ugięcia[mm]	Siła obciążająca[N]
1. 2. 3. 4. 5. 6.	0 200 400 900 1400 1900	601,33 600,28 599,12 598,63 596,74 595,69	0 1,05 2,21 2,7 4,59 5,64	0 1,962 3,924 8,829 13,734 18,639

Współczynnik nachylenia: 0,00026485
Niepewność współczynniku nachylenia: 2,71308*10⁻⁵
Współczynnik Younga: 183,3821 GPa

Pręt okrągły III o średnicy 0,7cm

Lp.	Masa obciążenia[g]	Wysokość pręta[mm]	Strzałka ugięcia[mm]	Siła obciążająca[N]
1. 2. 3. 4. 5. 6.	0 200 400 900 1400 1900	603,64 602,59 602,02 600,1 599,1 597,42	0 1,05 1,62 3,54 4,54 6,22	0 1,962 3,924 8,829 13,734 18,639

Współczynnik nachylenia: 0,000306369
Niepewność współczynniku nachylenia: 1,62024*10⁻⁵
Współczynnik Younga: 158,53026 GPa

3.Przykładowe obliczenia:
-Strzałka ugięcia:
602,64-602,17=0,47
602,64-601,89=0,75
-Siła obciążająca:
F=200*9,81=1,962
F=400*9,81=3,924
-Współczynnik nachylenia wyliczony za pomocą programu StatS:
Pręt kwadratowy = 0,000339297
Pręt okrągły I =0,000391723

-Moduł Younga:
$a = \frac{l^{3}}{12\text{πE}r^{4}}$≈123,9875066

4. Dyskusja błędów:
Δl=0,001m
Δh, Δr=0,001m

Obliczanie błędu współczynnika nachylenia za pomocą programu StatS

-pręt okrągły I; ≈1,45825*10⁻⁵
-pręt kwadratowy: ≈7,7639*10⁻⁶
-pręt okrągły II: ≈8,23148*10⁻⁶
-pręt okrągły III: ≈2,71308*10⁻⁵
-pręt okrągły IV: ≈ 2,71308*10⁻⁵

Obliczanie błędu moduły Younga pręta okrągłego I
ΔE=E$\left( \left| 3\frac{\Delta l}{l} \right| + \left| 4\frac{\Delta r}{r} \right| + \left| \frac{\Delta a}{a} \right| \right)$≈151,62754
Obliczanie błędu moduły Younga pręta kwadratowego
ΔE=E$\left( \left| 3\frac{\Delta l}{l} \right| + \left| 4\frac{\Delta h}{h} \right| + \left| \frac{\Delta a}{a} \right| \right)$≈13,813
Obliczanie błędu moduły Younga pręta okrągłego II
ΔE=E$\left( \left| 3\frac{\Delta l}{l} \right| + \left| 4\frac{\Delta r}{r} \right| + \left| \frac{\Delta a}{a} \right| \right)$≈378,31
Obliczanie błędu moduły Younga pręta okrągłego III
ΔE=E$\left( \left| 3\frac{\Delta l}{l} \right| + \left| 4\frac{\Delta r}{r} \right| + \left| \frac{\Delta a}{a} \right| \right)$≈236,3355
Obliczanie błędu moduły Younga pręta okrągłego IV
ΔE=E$\left( \left| 3\frac{\Delta l}{l} \right| + \left| 4\frac{\Delta r}{r} \right| + \left| \frac{\Delta a}{a} \right| \right)$≈196,3867

5. W otrzymanych wynikach należy uwzględnić błędy wynikające z wielu czynników takich jak błąd ludzki, niedokładność pomiarów oraz temperaturę różną od 20˚C. Przedstawione wykresy zbliżone są do linii prostej. Pozwala to stwierdzić, że moduł Younga nie jest stały w każdej temperaturze. Otrzymane wyniki nie pozwalają na precyzyjne określenie materiału, z którego wykonane były pręty lecz można z przybliżeniem je wytypować

Współczynnik nachylenia: 3*1$0^{- 4}\frac{m}{N}$
Niepewność współczynniku nachylenia: 1,62*$10^{- 5}\frac{m}{N}$
Współczynnik Younga: 158,53 GPa
Moduł Younga:
E=$\frac{l^{3}}{12\text{πa}r^{4}} \approx$158,53 GPa
E=$\frac{m^{3}}{\frac{m}{N}*m^{4}}$=$\frac{N}{m^{2}}$=Pa
Siła obciążająca:
F=200 * 9,81≈1,96N
F=$\frac{m}{s^{2}}$*kg=N
Pręt okrągły I: 123,99 GPa- Mosiądz/Brąz (103–124GPa)
Pręt kwadratowy : 179,87 GPa Stal (190–21GPa)
Pręt okrągły II: 305,65 GPa
Pręt okrągły III: 183,38 GPa Stal(190–210)
Pręt okrągły IV: 158,53 GPa Kompozyt z włókna węglowego (150 GPa)
Prawdopodobnie błędy pomiarowe są na tyle duże, że porównanie otrzymanych wartości modułu Younga z wartościami tablicowymi nie są miarodajnym określeniem materiału.