LABORATORIUM FIZYKI I	Ćwiczenie nr: 25
Wydział:	Grupa:
Inżynieria Produkcji	A 41
Nazwisko i imię:
Dobrzyński Piotr
Temat ćwiczenia:
Zjawiska interferencji światła. Pierścienie Newtona, interferometr Micheksona
Prowadzący:

1. Wstęp i układy pomiarowe

Celem ćwiczenia było zapoznanie się ze zjawiskiem interferencji fal świetlnych dających się zaobserwować w postaci pierścieni Newtona obserwowanych przez mikroskop, a także przy użyciu interferometru Michelsona.
Interferencja jest zjawiskiem polegającym na nałożeniu się na siebie dwóch fal które są względem siebie spójne – tzn. posiadają względem siebie stałą w czasie różnicę faz. W przeciwnym wypadku wzmocnienie lub osłabienie fali nie jest stałe.

W trakcie ćwiczenia bazowaliśmy na zależności opisującej warunki na wzmocnienie natężenia światła:

n *   = m * λ

gdzie:

n – współczynnik załamania światła w danym ośrodku,

- różnica dróg optycznych przebyta przez interferujące promienia światłą

 m – rząd wzmocnienia

- długość fali

W ćwiczeniu opartym o pierścienie Newtona powyższa zależność jest prawdziwa dla ciemnych prążków. Dzieje się tak dlatego, ponieważ podczas obserwowanego zjawiska promień światła odbija się od ośrodka gęstszego optycznie niż ten w którym się znajduje, co powoduje przesunięcie fazy fali o π.

Pierścienie Newtona

1 – promień skierowany na soczewkę,
1’ – promień odbity od wypukłej strony soczewki,
1’’ – promień odbity od szklanej płytki,
R – promień soczewki
e – połowa różnicy dróg optycznych przebytych przez promienie 1’ i 1’’

Dostosowując zależność opisującą warunki wzmocnienia fali, można zastosować następujący zapis:

2e = m * λ

Korzystając z zależności trygonometrycznych oraz powyższego wzoru można wyznaczyć zależność pomiędzy promieniem pierścienia Newtona, a długością fali i promieniem soczewki:

r_m² = R *  λ * m

gdzie r_m – promień prążka m-tego rzedu

Interferometr Michelsona

ZR – Zwierciadło ruchome

ZN – Zwierciadło nieruchome

ZP – Zwierciadło półprzepuszczalne

Zasada działanie interferometru Michelsona polega na podziale wiązki światła na dwa promienie za pomocą zwierciadła półprzepuszczalnego. Promienie te przebywają różne drogi i po odbiciu od zwierciadeł ponownie są na siebie nakładane. W efekcie możemy zaobserwować prążki Newtona na powierzchni czujnika fotoelektrycznego. Za pomocą tego czujnika zliczamy ilość zarejestrowanych impulsów.

Podczas ćwiczenia bazowaliśmy na zależności liczby prążków oraz długości fali od przesuwu zwierciadła ruchomego:

N ⋅ λ = 2d

1. Wyniki i opracowanie:

	Lampa światła sodowego	Lampa światła białego
	Soczewka B Seria 1	Soczewka B Seria 2
m	XL	XP
1	30,77	29,5
2	31,41	28,91
3	31,86	28,6
4	32,17	28,21
5	32,46	27,97
6	32,66	27,71
7	32,9	27,44
8	33,15	27,3

Obliczamy promień krzywizny soczewki korzystając ze wzoru:

r_m² = R ⋅ λ ⋅ m

$$R = \frac{r_{m}^{2}}{\lambda \cdot m}$$

$$r_{m} = \frac{\left. \mid X_{L} - X_{P} \right.\mid}{2}$$

$$\lambda = \frac{r_{m}^{2}}{R \cdot m}$$

Promień krzywizny soczewki B obliczam korzystając z wyniku pomiaru 8 dla serii 1:

$$r_{m} = \frac{\left. \mid 33,15 - 27,3 \right.\mid}{2} = \mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{925}\mathbf{\text{mm}}$$

$$R = \frac{{2,925}^{2}}{0,5893 \cdot 8} = \mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{815m}$$

Promień krzywizny soczewki A obliczam korzystając z 8 pomiaru:

$$r_{m} = \frac{\left. \mid 10.57 - 16.365 \right.\mid}{2} = \mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{125}\mathbf{\text{mm}}$$

$$R = \frac{{2.8975}^{2}}{0,5893 \cdot 8} = \mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{958}\mathbf{m}$$

Obliczam długość fali dla światła zielonego dla ostatniego pomiaru w soczewce B:

$$r_{m} = \frac{\left. \mid 30,72 - 25,33 \right.\mid}{2} = \mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{695}\mathbf{\text{mm}}$$

$$\lambda = \frac{{2,695}^{2}}{1,815 \cdot 8} = \mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{5002}\mathbf{\text{μm}}$$

Obliczam długość fali dla światła czerwonego dla ostatniego pomiaru w soczewce B:

$$r_{m} = \frac{\left. \mid 30,76 - 24,72 \right.\mid}{2} = \mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{02}\mathbf{\text{mm}}$$

$$\lambda = \frac{{3,02}^{2}}{1,815 \cdot 8} = \mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{628}\mathbf{\text{μm}}$$

Wykres 1. Zależność kwadratu promienia pierścieni Newtona od numeru prążka dla soczewki B na podstawie serii pomiarowej 1.

Wykres 2. Zależność kwadratu promienia pierścieni Newtona od numeru prążka dla soczewki B na podstawie serii pomiarowej 2.

Wykres 3. Zależność kwadratu promienia pierścieni Newtona od numeru prążka dla soczewki A

Wykres 4. Zależność kwadratu promienia pierścieni Newtona od numeru prążka i promienia krzywizny soczewki B dla filtru światła zielonego

Wykres 5. Zależność kwadratu promienia pierścieni Newtona od numeru prążka i promienia krzywizny soczewki B dla filtru światła czerwonego

Wartość promienia krzywizny soczewki B serii 1 odczytana z wykresu 1 : R = 1,97143 m

Wartość promienia krzywizny soczewki B serii 1 odczytana z wykresu 2 : R = 1,98709 m

Wartość promienia krzywizny soczewki A odczytana z wykresu 3 : R = 1,0153 m

Długość fali światła zielonego odczytana z wykresu 4 : λ = 0,80506 μm

Długość fali światła czerwonego odczytana z wykresu 5 : λ = 1,0203 μm

Interferometr Michelsona:

Wyniki pomiarów przy pomocy interferometru Michelsona pomiary były wykonane co 20 działek na śrubie mikrometrycznej.

Nr. pomiaru	Ilość zliczonych prążków
1	57
2	58
3	60
4	59
5	57
6	58
7	58
8	58
9	51
10	62

Długość fali wyliczymy ze wzoru :

N ⋅ λ = 2d $\lambda = \frac{2d}{N}$

Wartość d odpowiada przesunięciu zwierciadła ruchomego

$$d = \frac{200\text{μm}}{10} = \mathbf{20}\mathbf{\text{μm}}$$

Wyliczam długość fali z wykorzystaniem wartości d:

Nr. pomiaru	Długość fali światła (μm)
1	0,701754
2	0,689655
3	0,666667
4	0,677966
5	0,701754
6	0,689655
7	0,689655
8	0,689655
9	0,784314
10	0,645161

Średnia długość fali światła : λ = 0,693624 μm

Wzory z których korzystałem w obliczeniach mają postać funkcji liniowych. Y=BX+A

pomiar promienia krzywizny	pomiardługościfali
Y = rm^2	Y = rm^2
X = λm	X = Rm
B = R	B = λ

Współczynnik A jest wartością wynikającą z nieidealnego styku płytki szklanej z soczewką. Powoduje on zwiększenie drogi którą musi pokonać promień odbijający się od szklanej płytki.

1. Obliczanie niepewności:

• Niepewność pomiaru promienia krzywizny soczewek:

Niepewność wzorcowania została podana przez prowadzącego i wynosi:

Δx = 0, 007mm

1. Soczewka B:

Niepewność eksperymentatora obliczyliśmy korzystając ze średniej różnicy miedzy średnicami pierścieni serii 1 i serii 2. Niepewność tą policzyliśmy na zajęciach.

Δx_e =  0, 0175 mm

Ustalenie dokładności złożonej eksperymentatora i wzorcowania:

$$\text{Δx}_{c} = \sqrt{\text{Δx}^{2} + \text{Δx}_{e}^{2}}$$

$$\text{Δx}_{c} = \sqrt{{0,007}^{2} + {0,0175}_{}^{2}}$$

Δx_c = 0, 01885 mm

Obliczenie dokładności pomiaru r_m² :

$$\text{Δr}_{m} = \frac{\text{Δx}_{c}}{2}$$

$\text{Δr}_{m} = \ \frac{0,01885}{2}\ $= 0,009425 mm

Δr_m² = 2 ⋅ r_m ⋅ Δr_m

Δr_m² = 2 ⋅ 2, 925 mm ⋅ 0, 009425 mm = 0, 05514 μm

Obliczenie niepewności pomiarowej typu B pomiaru promienia krzywizny:

$$u_{B}(R) = \frac{u_{B}(r_{m}^{2})}{\lambda \cdot m} = \frac{\text{Δr}_{m}^{2}}{\sqrt{3} \cdot \lambda \cdot m}$$

$$u_{B}(R) = \frac{0,05514}{\sqrt{3} \cdot 0,5893 \cdot 8} = 0,0067527m$$

Niepewność całkowitą pomiaru promienia krzywizny wyliczamy ze złożenia niepewności typu A i typu B:

$$u(R) = \sqrt{u_{A}^{2}(R) + u_{B}^{2}(R)}$$

Niepewność pomiarową typu A dla soczewki B odczytujemy z wykresu 1:

u_A(R)=0, 016161m

Niepewność całkowita pomiaru promienia krzywizny dla soczewki B:

$$u(R) = \sqrt{u_{A}^{2}\left( R \right) + u_{B}^{2}\left( R \right)} = \sqrt{{0,016161}^{2} + {0,0067527}^{2}} = 0,017515m$$

Niepewność rozszerzona:

U(R)=2u(R)=0, 035m

Końcowy wynik pomiaru promienia krzywizny soczewki B:

R=(1,815±0,035)m

1. Soczewka A

Niepewność typu B została ustalona z prowadzącym na taką sama dla obydwu soczewek.

Niepewność pomiarową typu A dla soczewki A odczytujemy z wykresu 2:

u_A(R)=0, 01177m

Niepewność całkowita pomiaru promienia krzywizny dla soczewki A:

$$u(R) = \sqrt{u_{A}^{2}(R) + u_{B}^{2}(R)} = \sqrt{{0,01177}^{2} + {0,0067527m}^{2}} = 0,01357m$$

Niepewność rozszerzona:

U(R)=2u(R)=0, 02714m ≈ 0, 027m

Końcowy wynik pomiaru promienia krzywizny soczewki A:

R = (0, 958 ± 0, 027)m

1. Niepewność pomiaru długości fali:

Długość fali światła obliczamy ze wzoru:

$$\lambda = \frac{r_{m}^{2}}{R \cdot m}$$

Dokładność pomiaru promienia pierścienia Newtona oraz promienia krzywizny soczewki zostały obliczone w punkcie poprzednim.Tak więc niepewność typu B pomiaru długości fali wynosi:

$$u_{B}(\lambda) = \sqrt{{(\frac{\partial\lambda}{\partial R})}^{2} \cdot u_{B}^{2}(R) + {(\frac{\partial\lambda}{\partial r_{m}^{2}})}^{2} \cdot {(\frac{\text{Δr}_{m}^{2}}{\sqrt{3}})}^{2}}$$

$$u_{B}(\lambda) = \sqrt{{(\frac{r_{m}^{2}}{(m \cdot R^{2})})}^{2} \cdot u_{B}^{2}(R) + {(\frac{1}{\text{mR}})}^{2} \cdot {(\frac{\text{Δr}_{m}^{2}}{\sqrt{3}})}^{2}}$$

• Światło zielone

Niepewność typu A dla filtru zielonego odczytujemy z wykresu 4:

u_A(λ)=0, 00843μm

Niepewność typu B dla filtru zielonego:

$$u_{B}(\lambda) = \sqrt{{(\frac{{2,695}^{2}}{(8 \cdot {1,97143\ }^{2})})}^{2} \cdot {0,0067527}^{2} + {(\frac{1}{(8 \cdot 1,97143)})}^{2} \cdot {(\frac{0,05514\ }{\sqrt{3}})}^{2}}$$

u_B(λ)=0, 002562μm

Niepewność całkowitą liczymy jako złożenie niepewności typu A i B

$$u(\lambda) = \sqrt{u_{A}^{2}(\lambda) + u_{B}^{2}(\lambda)} = \sqrt{{0,00843}^{2} + {0,002562}^{2}} = 0,008811\text{μm} \approx 0,0088\text{μm}$$

Niepewność rozszerzona:

U(λ) = 2u(λ) = 0, 0176 μm

Końcowy wynik pomiaru długości fali światła zielonego :

λ = (0, 5002 ± 0, 018)μm = (500 ± 18)nm

• Światło czerwone

Niepewność typu A dla filtru czerwonego odczytujemy z wykresu 5:

u_A(λ)=0, 00887μm

Niepewność typu B dla filtru czerwonego:

$$u_{B}(\lambda) = \sqrt{{(\frac{{3.02}^{2}}{(8 \cdot {1,97143}^{2})})}^{2} \cdot {0,0067527}^{2} + {(\frac{1}{(8 \cdot 1,97143)})}^{2} \cdot {(\frac{0,05514}{\sqrt{3}})}^{2}}$$

u_B(λ)=0, 002294μm

Niepewność całkowitą liczymy jako złożenie niepewności typu A i typu B

$$u(\lambda) = \sqrt{u_{A}^{2}(\lambda) + u_{B}^{2}(\lambda)} = \sqrt{{0,00887}^{2} + {0,002294}^{2}} = 0,009162\text{μm}$$

Niepewność rozszerzona:

U(λ)=2u(λ)=0, 018μm

Końcowy wynik pomiaru długości fali światła niebieskiego :

λ = (0, 628 ± 0, 018)μm = (628 ± 18)nm

1. Niepewność pomiaru długości fali interferometrem Michelsona

Niepewność typu A liczymy ze wzoru ogólnego:

$$u_{A}(\lambda) = \sqrt{\frac{1}{n(n - 1)} \cdot \sum{(\lambda_{sr} - \lambda)}^{2}}$$

Niepewność typu A dla naszego pomiaru:

$$u_{A}(\lambda) = \sqrt{\frac{1}{20 \cdot 19} \cdot \sum{(0,693624 - \lambda)}^{2}} = 0,0055583974\text{μm} \approx 0,006\text{μm}$$

Długość fali światła emitowanego przez laser to:

λ = 0, 694(0, 006)μm = 694(6)nm

1. Test χ²

Przy pomocy programu Origin został przeprowadzony test chi-kwadrat. Wyniki testu chi-kwadrat chronologicznie dla wykresów 1,2,3,4 : 0,00477 ; 2,88926 ; 0.35459 ; 4,46845. Jest to dowód na to, że wykreślone przez nas charakterystyki są zależnościami liniowymi.

Niestety nie udało się mi wyznaczyć sumy najmniejszych kwadratów z wykresu nr 3, ze względu na pojawiający się błąd w programie Origin.

1. Wnioski:

- Obliczona długość fali światła zielonego wyniosła (500 ± 18)nm. Mieści się ona w przedziale 490 – 560 nm w którym powinno się znajdować światło zielone.

-Możemy przyjąć że długość fali znajduje się na granicy długości fali czerwonej i pomarańczowej gdyż jej długość wyniosła (628 ± 18)nm natomiast granicą miedzy kolorem czerwonym a pomarańczowym jest wartość 630 nm.

-Z wyników pomiaru interferometrem możemy zauważyć że wartość długości fali światła czerwonego dla tego pomiaru wynosi 694(6)nm i mieści się w tablicowym przedziale długości fali czerwonego światła wynoszącego

-Z wyników pomiarów promienia soczewek otrzymaliśmy 2 wartości. Promień dla soczewki B wynosił (1, 815 ± 0, 035)m natomiast dla soczewki A promień wyszedł (1, 815 ± 0, 035)m wyniki znajdują się w granicach spodziewanych wartości ponieważ nominalne promienie soczewek wynosiły odpowiednio 2m i 1m.

-Błąd pomiarowy każdego z doświadczeń ma wiele czynników które mogą zmienić wartość niepewności. Nie wiadome było jaki wpływ na pomiary miały liczne mikrorysy na powierzchni soczewki lub długość fali świetlnej generowanej przez lampę była odkształcona z powodu wielu zakłóceń urządzeń pracujących.