Wydział Wiertnictwa, Nafty i Gazu.	Imię i Nazwisko: 1. Marcin Bednarczyk 2. Łukasz Ogarek	Rok: II	Grupa: 3	Zespół:
PRACOWNIA FZYCZNA WFiIS AGH	Temat: Wahadło fizyczne.	Nr. Ćwiczenia: 1
Data wykonania:	Data oddania:	Zwrot do poprawy:	Data oddania:	Data zaliczenia:

1. Cel ćwiczenia:

Opis ruchu drgającego, a w szczególności drgań wahadła fizycznego. Wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych.

1. Opis ćwiczenia:

Wahadłem matematycznym nazywamy punktową masę zawieszoną na nieważkiej nici. Wahadłem fizycznym nazywamy natomiast bryłę sztywną mogącą obracać się wokół osi obrotu O nie przechodzącej przez środek masy S.

Wahadło odchylone od pionu o kąt θ, a następnie puszczone swobodnie, będzie wykonywać drgania zwane ruchem wahadłowym. W ruchu tym mamy do czynienia z obrotem bryły sztywnej wokół osi O, opisuje go zatem druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego. Zasady dynamiki dla ruchu postępowego, ma = F i obrotowego I ε = M, wyraża matematycznie takie samo równanie, tyle że zamiast masy m mamy moment bezwładności I, odpowiednikiem przyspieszenia liniowego a jest przyspieszenie kątowe ω = d²q/dt ² i odpowiednikiem siły F jest moment siły M. Dla wahadła fizycznego moment siły powstaje pod wpływem siły ciężkości. Dla wychylenia θ jest równy M= mgasin(θ), gdzie: a oznacza odległość środka masy S od osi obrotu O. Zatem równanie ruchu wahadła można zapisać jako:

$I_{0}\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}} = \ - mg\sin\theta\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

gdzie: I₀ jest momentem bezwładności względem osi obrotu przechodzącej przez punkt zawieszenia O. Znak minus po prawej stronie uwzględnia fakt, że moment siły jest skierowany przeciwnie do kierunku wychylenia. Jeżeli ograniczyć ruch do małych kątów wychylenia (kilka stopni), to sinus kąta można zastąpić samym kątem w mierze łukowej, czyli sinθ ≈  θ. Przy tym założeniu równanie (1) przyjmuje postać:

$$\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}} + \ \omega_{0}^{2}\theta\left( t \right) = \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$

gdzie $\omega_{0}^{2} = \frac{\text{mga}}{I_{0}}$. Rozwiązaniem tego równania jest funkcja

θ = θ_mcos(ω₀t+α)                                                         (3)

która wskazuje, że wahadło porusza się ruchem harmonicznym prostym. Amplituda θm i faza α zależą od warunków początkowych. Okres drgań T, związany bezpośrednio z częstością (ω0 = 2π/T) wynosi

$T = 2\pi\sqrt{\frac{I_{0}}{\text{mga}}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)$

Pomiar okresu wahadła T, odległości a, i masy m umożliwia wyznaczenie dla badanego ciała momentu bezwładności I_o. Dla wyznaczenia momentu bezwładności I_s względem równoległej osi przechodzącej przez środek masy możemy posłużyć się związkiem między I_o i I_s znanym jako twierdzenie Steinera,

I₀ = I_s + ma²                                                                      (5)

Bryłę sztywną można traktować jako ciągły zbiór punktów materialnych o różnych odległościach od osi obrotu. Moment bezwładności punktu materialnego jest definiowany jako iloczyn masy i kwadratu odległości od osi obrotu. Momenty bezwładności brył sztywnych, tak I_o jak i I_s , wyraża się jako całkę oznaczoną

I = ∫_mr²dm                                                                  (6)

gdzie: r jest odległością elementu masy dm od osi obrotu. Całkę (6) można analitycznie obliczyć dla brył jednorodnych o prostych kształtach. Przykłady takich obliczeń podane są w podręcznikach.

Celem ćwiczenia było wyznaczenie momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości I_s dwoma metodami. Pierwsza polega na wprawieniu bryły w ruch drgający o małej amplitudzie i zmierzeniu jego okresu T. Do pomiaru okresów użyte zostały dwie bryły sztywne wykonane z metalu w kształcie pręta oraz w kształcie pierścienia. Dla każdej z nich wykonane zostały dziesięciokrotnie pomiary długości 30 wahnięć. Wzór (4) pozwala obliczyć moment bezwładności względem osi obrotu I_o. Następnie, wykorzystanie twierdzenia Steinera (5) umożliwia obliczenie momentu bezwładności dla osi przechodzącej przez środek bryły I_s. Drugi sposób, to obliczenie I_s^(geom)  na podstawie masy i wymiarów geometrycznych badanej bryły. Potrzebne do interpretacji eksperymentu wzory na Is dla wybranych brył podaje rys. 2. Dla obydwu metod można obliczyć niepewności złożone uc(I_s) oraz uc(I_s^(geom)). Umożliwia to ustalenie, która metoda wyznaczenia momentu bezwładności jest dokładniejsza i sprawdzenie, czy uzyskane wartości I_s oraz I_s^(geom) są ze sobą zgodne.

1. Układ pomiarowy.

1. Statyw, na którym zawiesza się badan a bryłę.

2. Badane bryły: pręt, pierścień

3. Metalowy przymiar milimetrowy

4. Suwmiarka

5. Waga elektroniczna

6. Sekundomierz

1. Wyniki pomiarów:

1. Pomiary masy i długości:

Tabela 1a

Pręt
m [g]
l [mm]
b [mm]
a [mm]

Tabela 1b

Pierścień
m [g]
Dw [mm]
Dz [mm]
Rw [mm]
Rz [mm]
e [mm]
a [mm]

1. Pomiar okresu drgań.

Tabela 2a

Tabela 2b

Okres T dla poszczególnych pomiarów został określony na podstawie wzoru:

$\mathbf{T}_{\mathbf{i}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{t}}{\mathbf{k}}$ ,

gdzie: k – liczba okresów

t – czas dla k okresów [s]

Przykład obliczenia wartości okresu dla pierwszego pomiaru dla pręta:

$T_{1} = \frac{39,78}{30} = 1,3260$ [s]

Przykład obliczenia wartości okresu dla pierwszego pomiaru dla pierścienia:

$T_{1} = \frac{20,66}{20} = 1,0330$ [s]

Wartość średniego okresu T została określona ze wzoru:

$\overset{\overline{}}{T} = \ \frac{\sum_{}^{}T_{i}}{n},$

gdzie: n – liczba pomiarów

Niepewność pomiaru okresu wyznaczono ze wzoru (obliczenia w pkt V.4):

$$u\left( T \right) = \sqrt{\frac{\sum_{}^{}{{(T}_{i} - \overset{\overline{}}{T})}^{2}}{n(n - 1)}}$$

1. Opracowanie wyników pomiaru:

1. dla pręta

1. Obliczenie momentu bezwładności momentu I₀ względem rzeczywistej osi obrotu:

$$I_{0} = \frac{\text{mga}T^{2}}{4\pi^{2}}$$

$$I_{0} = \frac{0,664 \bullet 9,81 \bullet 0,275 \bullet {(1,3262)}^{2}\ }{4 \bullet {3,1415}^{2}}$$

I_o = 0,0798 [kg.m²]

1. Obliczenie momentu bezwładności I_s względem osi przechodzącej przez środek masy, na podstawie twierdzenia Steinera:

I_s = I₀ − ma²

I_s = 0, 0799 − 0, 664 • 0, 275²

I_s = 0,0296 [kg.m²]

1. Obliczenie momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy I_s^(geom) na podstawie masy i wymiarów geometrycznych:

$$I_{s}^{(geom)} = \frac{1}{12}ml^{2}$$

$$I_{s}^{(geom)} = \frac{1}{12}0,664 \bullet {0,750}^{2}$$

I_s^(geom) = 0,0311 [kg.m²]

1. Obliczenie niepewności okresu u(T)

Wartość średniego okresu T została określona ze wzoru:

$\overset{\overline{}}{T} = \ \frac{\sum_{}^{}T_{i}}{n},$

gdzie: n – liczba pomiarów

$$\overset{\overline{}}{T} = \ \frac{13,2620}{10}$$

$\overset{\overline{}}{T} = \ 1,3262$ [s]

Niepewność pomiaru okresu wyznaczono ze wzoru:

$$u\left( T \right) = \sqrt{\frac{\sum_{}^{}{{(T}_{i} - \overset{\overline{}}{T})}^{2}}{n\left( n - 1 \right)}}$$

$$u\left( T \right) = \sqrt{\frac{\begin{matrix} \left( 1,3260 - 1,3262 \right)^{2} + \left( 1,3250 - 1,3262 \right)^{2} + \left( 1,3260 - 1,3262 \right)^{2} + \left( 1,3267 - 1,3262 \right)^{2} + \left( 1,3260 - 1,3262 \right) + \\ {\left( 1,3293 - 1,3262 \right)^{2} + \left( 1,3253 - 1,3262 \right)}^{2} + \ + {(1,3267 - 1,3262)\ }^{2} + {(1,3250 - 1,3262)}^{2} + {(1,3260 - 1,3262)}^{2} \\ \text{\ \ \ \ \ \ } \\ \end{matrix}}{10(10 - 1)}}$$

u(T) = 0,0004 [s]

1. Obliczenie niepewności złożonej momentu bezwładności I_s oraz I₀.

$$\frac{u(I_{0})}{I_{0}} = \sqrt{\left\lbrack \frac{u\left( m \right)}{m} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{u\left( a \right)}{a} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 2 \bullet \frac{u\left( T_{0} \right)}{T_{0}} \right\rbrack^{2}}$$

$$\frac{u(I_{0})}{I_{0}} = \sqrt{\left\lbrack \frac{0,001}{0,664} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{0,0005}{0,275} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 2 \bullet \frac{0,0004}{1,3262} \right\rbrack^{2}}$$

$\frac{u(I_{0})}{I_{0}} =$0,0024

u(I_o)=0, 0024 • 0, 0798

u(I_o) = 0,0002 [kg.m²]

$$u\left( I_{s} \right) = \sqrt{\left\lbrack u(I_{0} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack a^{2} \bullet u(m) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - 2am \bullet u(m) \right\rbrack^{2}}$$

$$u\left( I_{s} \right) = \sqrt{\left\lbrack 0,0002 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack {0,275}^{2} \bullet 0,001 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - 2 \bullet 0,275 \bullet 0,664 \bullet 0,001 \right\rbrack^{2}}$$

u(I_s) = 0,0004 [kg.m²]

1. Obliczenie niepewności u(I_s^(geom))

$$\frac{u(I_{s}^{\left( \text{geom} \right)})}{I_{s}^{(geom)}} = \sqrt{\left( \frac{u(m)}{m} \right)^{2} + \left( 2 \bullet \frac{u(l)}{l} \right)^{2}\ }$$

$$\frac{u(I_{s}^{\left( \text{geom} \right)})}{I_{s}^{(geom)}} = \sqrt{\left( \frac{0,001}{0,664} \right)^{2} + \left( 2 \bullet \frac{0,001}{0,750} \right)^{2}\ }$$

$$\frac{u(I_{s}^{\left( \text{geom} \right)})}{I_{s}^{(geom)}} = 0,0031$$

$${u(I}_{s}^{(geom)}) = \frac{u(I_{s}^{\left( \text{geom} \right)})}{I_{s}^{(geom)}} \bullet I_{s}^{(geom)}$$

u(I_s^(geom))=0, 0031 • 0, 0311

u(I_s^(geom)) = 0,0001 [kg.m²]

1. Obliczanie zgodności wyników:

$$\frac{\left| I_{s} - I_{s}^{\left( \text{geom} \right)} \right|}{\sqrt{u^{2}\left( I_{s} \right) + u^{2}(I_{s}^{\left( \text{geom} \right)})}}$$

$$\frac{\left| 0,0296 - 0,0311 \right|}{\sqrt{{0,0004}^{2} + {0,000095}^{2}}} = 3,55$$

Wyniki uważamy za zgodne jeżeli wartość tego stosunku jest mniejsza od k=2.

1. dla pierścienia

1. Obliczenie momentu bezwładności momentu I₀ względem rzeczywistej osi obrotu:

$$I_{0} = \frac{\text{mga}T^{2}}{4\pi^{2}}$$

$$I_{0} = \frac{1,344 \bullet 9,81 \bullet 0,129 \bullet {(1,0259)}^{2}\ }{4 \bullet {3,1415}^{2}}$$

I_o = 0,0453 [kg.m²]

1. Obliczenie momentu bezwładności I_s względem osi przechodzącej przez środek masy, na podstawie twierdzenia Steinera:

I_s = I₀ − ma²

I_s = 0, 0453 − 1, 344 • 0129²

I_s = 0,0230 [kg.m²]

3. Obliczenie momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy I_s^(geom) na podstawie masy i wymiarów geometrycznych:

$$I_{s}^{(geom)} = \frac{1}{2}m(R_{z}^{2} + R_{w}^{2})$$

$$I_{s}^{(geom)} = \frac{1}{2} \bullet 1,344 \bullet ({0,140}^{2} + {0,125}^{2})$$

I_s^(geom) = 0,0237 [kg.m²]

4. Obliczenie niepewności okresu u(T)

Wartość średniego okresu T została określona ze wzoru:

$\overset{\overline{}}{T} = \ \frac{\sum_{}^{}T_{i}}{n},$

gdzie: n – liczba pomiarów

$$\overset{\overline{}}{T} = \ \frac{10,2585}{10}$$

$\overset{\overline{}}{T} = \ 1,0259$ [s]

Niepewność pomiaru okresu wyznaczono ze wzoru:

$$u\left( T \right) = \sqrt{\frac{\sum_{}^{}{{(T}_{i} - \overset{\overline{}}{T})}^{2}}{n\left( n - 1 \right)}}$$

$$u\left( T \right) = \sqrt{\frac{\begin{matrix} \left( 1,0330 - 1,0259 \right)^{2} + \left( 1,0250 - 1,0259 \right)^{2} + \left( 1,0250 - 1,0259 \right)^{2} + \left( 1,0250 - 1,0259 \right)^{2} + \left( 1,0200 - 1,0259 \right) + \\ {\left( 1,0245 - 1,0259 \right)^{2} + \left( 1,0295 - 1,0259 \right)}^{2} + \ + {(1,0235 - 1,0259)\ }^{2} + {(1,0230 - 1,0259)}^{2} + {(1,0300 - 1,0259)}^{2} \\ \text{\ \ \ \ \ \ } \\ \end{matrix}}{10(10 - 1)}}$$

u(T) = 0,0012 [s]

4. Obliczenie niepewności złożonej momentu bezwładności I_s oraz I₀.

$$\frac{u(I_{0})}{I_{0}} = \sqrt{\left\lbrack \frac{u\left( m \right)}{m} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{u\left( a \right)}{a} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 2 \bullet \frac{u\left( T_{0} \right)}{T_{0}} \right\rbrack^{2}}$$

$$\frac{u(I_{0})}{I_{0}} = \sqrt{\left\lbrack \frac{0,001}{1,344} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{0,001}{0,129} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 2 \bullet \frac{0,0012}{1,0259} \right\rbrack^{2}}$$

$\frac{u(I_{0})}{I_{0}} =$0,0081

$${u(I}_{o}) = \frac{u(I_{0})}{I_{0}} \bullet I_{0}$$

u(I_o)=0, 0081 • 0, 0453

u(I_o) = 0,0004 [kg.m²]

$$u\left( I_{s} \right) = \sqrt{\left\lbrack u(I_{0} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack a^{2} \bullet u(m) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - 2am \bullet u(m) \right\rbrack^{2}}$$

$$u\left( I_{s} \right) = \sqrt{\left\lbrack 0,0004 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack {0,129}^{2} \bullet 0,001 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - 2 \bullet 0,129 \bullet 1,344 \bullet 0,001 \right\rbrack^{2}}$$

u(I_s) = 0,0005 [kg.m²]

4. Obliczenie niepewności u(I_s^(geom))

$$\frac{u(I_{s}^{\left( \text{geom} \right)})}{I_{s}^{(geom)}} = \sqrt{\left( \frac{u(m)}{m} \right)^{2} + \left( \frac{u(R_{z})}{R_{z}} \right)^{2} + \left( \frac{u(R_{w})}{R_{w}} \right)^{2}\ }$$

$$\frac{u(I_{s}^{\left( \text{geom} \right)})}{I_{s}^{(geom)}} = \sqrt{\left( \frac{0,001}{1,344} \right)^{2} + \left( \frac{0,0005}{0,140} \right)^{2} + \left( \frac{0,0005}{0,125} \right)^{2}\ }$$

$$\frac{u(I_{s}^{\left( \text{geom} \right)})}{I_{s}^{(geom)}} = 0,0054$$

$${u(I}_{s}^{(geom)}) = \frac{u(I_{s}^{\left( \text{geom} \right)})}{I_{s}^{(geom)}} \bullet I_{s}^{(geom)}$$

u(I_s^(geom))=0, 0054 • 0, 0237

u(I_s^(geom)) = 0,0001 [kg.m²]

4. Obliczanie współczynnika k:

$$\frac{\left| I_{s} - I_{s}^{\left( \text{geom} \right)} \right|}{\sqrt{u^{2}\left( I_{s} \right) + u^{2}(I_{s}^{\left( \text{geom} \right)})}}$$

$$\frac{\left| 0,0230 - 0,0237 \right|}{\sqrt{{0,0005}^{2} + {0,0001}^{2}}} = 1,33$$

Wyniki uważamy za zgodne jeżeli wartość tego stosunku jest mniejsza od k=2.

1. Wyniki obliczeń momentów bezwładności dla pręta:

Tabela 4.

	I0 wyznaczone z okresu drgań [kg •  m^2]	IS wyznaczone z twierdzenia Steinera [kg  •  m^2]	IS wyznaczone z pomiarów geometrycznych [kg  •  m^2]
Wartość	0,0798	0,0296	0,0311
Niepewność	0,0002	0,0004	0,00009

1. Wyniki obliczeń momentów bezwładności dla pierścienia:

Tabela 5.

	I0 wyznaczone z okresu drgań [kg •  m^2]	IS wyznaczone z twierdzenia Steinera [kg  •  m^2]	IS wyznaczone z pomiarów geometrycznych [kg  •  m^2]
Wartość	0,0453	0,0230	0,0237
Niepewność	0,0004	0,0005	0,0001

1. Wnioski:

1. Wartości momentów bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy obliczono dwoma metodami. Jedna z metod polegała na pomiarze okresu drgań wahadła fizycznego i wykorzystania twierdzenia Steinera a druga na podstawie masy i wymiarów geometrycznych. Obliczenia momentów bezwładności dokonano dla dwóch brył: pręta i pierścienia.

2. Dla pierścienia uzyskano zgodność wartości momentów bezwładności obliczonych dwoma metodami, natomiast dla pręta, zgodność nie jest już tak dobra.

3. Niepewność momentu bezwładności określona na podstawie pomiaru okresu drgań jest większa, ponieważ pomiar czasu drgań zależy od refleksu człowieka. Ponadto wpływ na okres drgań ma opór powietrza.