Sprawozdanie

Temat: Wyznaczanie krzywej ładowania i rozładowania kondensatora.

Wstęp teoretyczny

Kondensator jest to element elektryczny zbudowany z dwóch przewodników rozdzielonych dielektrykiem. Kondensator charakteryzuje pojemność określająca zdolność kondensatora do gromadzenia ładunku:

$$C = \frac{Q}{U}$$

E = U₁ + U₂

Dla obwodu RC

U₁ = RJ

$$U_{2} = \frac{q}{c}$$

$$\varepsilon_{0} = \cos\left( \text{ωt} \right) = \text{RJ} + \frac{q}{c}$$

Czasowa zależność natężenia prądu płynącego w obwodzie oraz ładunku na kondensatorze przy jego ładowaniu i rozładowaniu

Stała czasowa – w obwodach elektrycznych jest to czas, po którym składowa przejściowa maleje e-krotnie względem swojej wartości początkowej.
Stała czasowa szeregowego połączenia RC

τ = RC

Całkowite pole jest równe ładunkowi zgromadzonemu na kondensatorze. Do obliczenia przybliżonej wartości pod wykresem służy metoda prostokątów, która polega na zsumowaniu pól odpowiednio dobranych prostokątów.

Ładowanie kondensatora

R=1MΩ

$$\frac{I_{o}}{e} = \frac{14\mu A}{2,72} = 5,15\text{μA}$$

$$\tau = RC = > 9,45 = 10^{6}*C = > C = \frac{9,45}{10^{6}} = 9,45\mu F$$

R=2MΩ

$$\frac{I_{o}}{e} = \frac{7,25\mu A}{2,72} = 2,66\text{μA}$$

$$\tau = RC = > 18 = {2*10}^{6}*C = > C = \frac{18}{2*10^{6}} = 9\mu F$$

R=3MΩ

$$\frac{I_{o}}{e} = \frac{4,9\mu A}{2,72} = 1,80\text{μA}$$

$$\tau = RC = > 26,4 = 3*10^{6}*C = > C = \frac{26,4}{3*10^{6}} = 8,8\mu F$$

Średnia pojemność $\tilde{C} = \frac{9,45\mu F + 9\mu F + 8,8\mu F}{3} = 9,08\mu F$

Rozładowanie kondensatora

R=1MΩ

$$\frac{I_{o}}{e} = \frac{14,5\mu A}{2,72} = 5,33\mu A$$

$$\tau = RC = > 9,45 = 10^{6}*C = > C = \frac{8,5}{1*10^{6}} = 8,5\mu F$$

R=2MΩ

$$\frac{I_{o}}{e} = \frac{7,35\mu A}{2,72} = 2,70\mu A$$

$$\tau = RC = > 18 = {2*10}^{6}*C = > C = \frac{16,75}{2*10^{6}} = 8,375\mu F$$

R=3MΩ

$$\frac{I_{o}}{e} = \frac{4,9\mu A}{2,72} = 1,80\mu A$$

$$\tau = RC = > 26,4 = 3*10^{6}*C = > C = \frac{24,5}{3*10^{6}} = 8,17\mu F$$

Średnia pojemność $\tilde{C} = \frac{8,5\mu F + 8,375\mu F + 8,17\mu F}{3} = 8,35\mu F$

Pojemność ( C ) Kondensatora

$$I = I_{o}e^{\frac{- \tau}{\text{RC}}}$$

R=1MΩ

I_o=14μA

t=10s

I=4,7 μA

$$4,7 = 14e^{\frac{- 10}{10^{6}C}}/*ln$$

$$\ln\left( \frac{4,7}{14} \right) = - \frac{10}{10^{5}*C}$$

$$0,11 = - \frac{10}{10^{5}*C}/\ *C\ $$

$$0,11C = - \frac{10}{10^{5}}$$

C = 9, 09μF

R=2MΩ

I_o=7,25μA

t=10s

I=4,3 μA

$$4,7 = 14e^{\frac{- 10}{{2*10}^{6}C}}/*ln$$

$$\ln\left( \frac{4,3}{7,25} \right) = - \frac{10}{{2*10}^{5}*C}$$

$$0,52 = - \frac{10}{{2*10}^{5}*C}/\ *C\ $$

$$0,52C = \frac{10}{{2*10}^{5}}$$

C = 9, 11μF

R=3MΩ

I_o=4,9μA

t=10s

I=3,4 μA

$$3,4 = 4,9e^{\frac{- 10}{{3*10}^{6}C}}/*ln$$

$$\ln\left( \frac{3,4}{4,9} \right) = - \frac{10}{{3*10}^{5}*C}$$

$$0,36 = \frac{10}{{3*10}^{5}*C}/\ *C\ $$

$$0,36C = \frac{10}{{3*10}^{5}}$$

C = 9, 55μF

Średnia pojemność kondensatora:

$$\tilde{C} = \frac{9,09 + 9,11 + 9,55}{3} = 9,25\text{μF}$$

Metoda prostokątów

R=1MΩ

Q = 120, 75 * 10⁻⁶

$$C = \frac{Q}{U}$$

$$C = \frac{120,75*10^{- 6}}{15} = 8,05\ \mu F$$

R=2MΩ

Q = 122, 63 * 10⁻⁶

$$C = \frac{Q}{U}$$

$$C = \frac{122,63*10^{- 6}}{15} = 8,17\mu F$$

R=3MΩ

Q = 114, 88 * 10⁻⁶

$$C = \frac{Q}{U}$$

$$C = \frac{114,88*10^{- 6}}{15} = 7,66\ \mu F$$

Średnia wartość metody prostokątów:

$$\tilde{C} = \frac{8,05 + 8,17 + 7,66}{3} = 7,96\ \text{μF}$$