Drgania tłumione

W rzeczywistych ruchach drgających zawsze pojawiają się opory ruchu prowadzącego do strat energii. W równaniu drgań pojawia się dodatkowa się siła je reprezentująca, proporcjonalna do prędkości drgań. Drgania tłumione odbywają się z nową pulsacją ; F_s=-kx ; F_o = −rV (współczynnik oporu) ; F_s+F_o=ma ; ma+rv+kx=0 ; m$\ddot{x} + r\dot{x} + kx = 0$/:m ; $\ddot{x}$+ $\frac{r}{m}\dot{x}$ + $\frac{k}{m}x$=0 ; $\frac{r}{m} = 2\beta$(współ. tłumienia) ; $\frac{k}{m} = \omega_{0}^{2}$ (pulsacja drgań własnych) ; równanie drgań: $\ddot{x} + 2\beta\dot{x} + \omega_{0}^{2}x = 0$ ; x=x₀e^−βtsin(ωt + φ) ; rozwiązaniem równania drgań tłumionych jest równanie w którym amplituda maleje z czasem jak : A=A₀e^−βt , a drgania odbywają się z nową pulsacją która jest równa $\omega = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \beta^{2}}$ ; x= A₀e^−βt sin(ωt + φ)

Parametry drgań tłumionych

1)Dekrement logarytmiczny tłumienia : log. Naturalny stosunku dwóch następujących po sobie amplitud czyli amplitud odległych w czasie o okres drgań tłumionych : ∧=ln$\frac{A(t)}{A(t + T)} = ln\frac{A_{0}e^{- \beta t}\ }{A_{0}e^{- \beta(t + T)}}\ $= ln$\frac{A_{0}e^{- \beta t}\ }{A_{0}e^{- \beta t}e^{- \beta T}\ }$=lne^βT=βT (dekrement log tłumienia jest iloczynem współczynnika tłumienia oraz okresu drgań tłumionych) 2)czas relaksacji (τ): czas po którym amplituda drgań maleje e razy : A=$\frac{A_{0}}{e};\ $ ln$\frac{A_{0}}{\frac{A_{0}}{e}}$=1=βτ ; β = τ⁻¹ (współczynnik tłumienia jest równy odwrotności czasu relaksacji) ; Niech N będzie liczbą pełnych drgań odpowiadającą czasowi relaksacji wówczas można zapisać: τ=NT ; T=$\frac{\tau}{N}$ ; $\land = \beta T = \frac{1}{\tau}T = \frac{1}{\tau}\frac{\tau}{N} = N^{- 1}$ ; dekrement logarytmiczny tłumienia jest wielkością fizyczną równą odwrotności liczby drgań po których amplituda maleje e razy. 3)rodzaje drgań tłumionych ze wzg. na wielkość tłumienia: *tłumienie bardzo małe ω ≈ ω₀ *β−duże ; ω ≠ ω₀ ; $\omega = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \beta^{2}}$ *drgania krytyczne : β=ω₀ ; ω=0 ; T→∞ *drgania aperiodyczne β > ω₀

Drgania wymuszone

Pkt materialny pod wpływem siły sprężystości wykonuje drgania z częstością własną. Gdy pojawiają się opory ruchu częstość ulega zmianie. Można wymusić drgania tego pktu z dowolną inną częstością, jeżeli dodatkowo zadziała siła zewn. zmieniającego się okresowo o nowej częstości : F_w = F_ocosΩ t ; F_s = −kx ;  F_o = −rv ; F_w + F_s + F_o = ma ; ma+rv+kx=F_ocosΩ t ; m$\ddot{x} + r\dot{x} + kx$=F_ocosΩ t/:m ; $\ddot{x}$+ $\frac{r}{m}\dot{x}$ + $\frac{k}{m}x$=$\frac{F_{o}}{m}\text{\ cos}\Omega$ t ; $\frac{r}{m} = 2\beta$ ; $\frac{k}{m} = \omega_{0}^{2}\ $; $\ddot{x} + 2\beta\dot{x} + \omega_{0}^{2}x$ = $\frac{F_{o}}{m}\text{\ cos}\Omega$ t (równanie drgań wymuszonej w wersji uproszczonej ). To równanie różniczkowe ma stabilne rozwiązanie o pulsacji drgań siły wymuszającej, posiada nową amplitudę wynikającą. x=Acos(Ωt − φ)

Rezonans mechaniczny

Wyst. W drganiach wymuszonych, z tego powodu że amplituda drgań wymuszonych zależy od pulsacji siły wymuszającej. W przypadku drgań wymuszonych amplituda tych drgań wyraża się wzorem : A= $\frac{F_{o}}{m\sqrt{{(\omega_{0}^{2} - \Omega^{2})}^{2} + 4\beta^{2}\Omega^{2}}}$ Amplituda zmienia się wraz z pulsacją siły wymuszającej i rośnie gwałtownie w pobliżu pulsacji drgań własnych – ten gwałtowny wzrost amplitudy to rezonans mechaniczny.