1.Metoda Lagrange’a opisuje zmianę różnych wielkości hydrodynamicznych

(np. prędkości,przyśpieszenia,ciśnienia,gęstości) zachodzącą

podczas przepływu indywidualnie dla każdego elementu płynu; w metodzie

tej bada się ich historię. Jeżeli w chwili t0 element płynu zajmuje położenie

określone promieniem – wektorem r0 (x0, y0, z0), to z czasem położenie to

będzie ulegało zmianie. r = r (r0, t), p = p (r0, t), ρ = ρ (r0, t), ...

lub ogólnie H = H (r0, t)gdzie H jest rozpatrywaną wielkością, natomiast

(r0, t) są współrzędnymi albo zmiennymi

Lagrange’a.

W dowolnej chwili t współrzędne wybranego elementu płynu będą zależały

od współrzędnych początkowych i czasu, czyli:

x = x (x0, y0, z0, t), y = y (x0, y0, z0, t) z = z (x0, y0, z0, t).

2.Metoda Eulera-wstałym układzie współrzędnych wydzielasię pewien obszar

wypełniony płynem i bada się zmianę wielkości charakteryzujących

przepływ w zadanym punkcie. Rozpatruje się zmianę wielkości charakteryzuj-

jących przepływ w zależności od czasu t i od położenia punktu.

Pole prędkości przepływu: lub

Przyśpieszenie elementu płynu:

3.Torem elementu płynu- nazywa się krzywą opisywaną przez poruszającą się cząstkę.

dr ≡ (dx, dy, dz)-element toru,dt-czas potrzebny na przebycie drogi dr

Równanie toru:

Linią prądu- nazywa się linię wektorowego pola prędkości czyli linię, która

w każdym swym punkcie jest styczna do wektora prędkości odpowiadającego temu

punktowi. Niech wektorowe pole prędkości

(2)

Istotna różnica między równaniami toru i linii prądu polega na tym, że czas

w równaniu (1) jest zmienną niezależną taką samą, jak x, y, z, a w równaniu

(2) tylko parametrem. W ogólnym zatem przypadku ruchu tory i linie prądu

nie pokrywają się. Każdy tor jest związany z jednym elementem płynu,

natomiast linia prądu wskazuje prędkości różnych cząstek w tej samej chwili.

4.Definicja Wydatku- iloczyn prędkości cząstek do powierzchnii przez którą przebyły w czasie 1s Wydatek dla strugi: Q = ∬_AV  • dA = V •  A;  V=const. Wydatek dla strumienia: Q = ∬_AV • dA,  bo V ≠ const. Struga-zespół lini prądu zawartych w rurce prądu o nieskończenie małym przekroju. Strumień- Zespół strug o skończonym przekroju A. Rurka prądu- powierzchnia utworzona przez pęk linii prądu przechodzących przez kontur zamknięty.

6.Zapis tensorowy

Naprężenie w oderwaniu od kierunku powierzchni przekroju może być opisane przez tensor naprężenia σ. W każdym przypadku możliwe jest takie dobranie tensora naprężenia, aby prawdziwa była równość:

gdzie: g - wektory bazowe układu współrzędnych lub w notacji tensorowej:

Dowodzi się z prawa zachowania momentu pędu, że tensor naprężenia jest symetryczny, to jest: σ_ij = σ_ji

Wykorzystując poczynione wcześniej założenia, dla układu kartezjańskiego można zapisać:

Gdzie:

σ_x, σ_y, σ_z - składowe normalne

τ_xy, τ_xz, τ_xy - składowe ścinające

7.Lepkość makroskopowa- lepkością nazywa się zdolność płynów do przenoszenia naprężeń stycznych przez wzajemne przemieszczenie się jej elementów z różnymi prędkościami na różnych poziomach. Lepkość mikroskopowa- współczynnik lepkości(inaczej wsp. Transportu pędu)- jest to współczynnik wynikający z ruchu molekularnego. Mikroskopowe pochodzenie lepkości i cząsteczki cieczy o masie m ulegają ciągłemu zderzaniu. Pomiędzy zderzeniami przebywają średnią drogę λ. Przez powietrznię A w czasie dt pomiędzy płaszczyznami przechodzi n cząstek, które nie uległy w tym czasie zderzeniu. Powoduje to hamowanie górnej warstwy i przyspieszenie dolnej warstwy. Napręzenia styczne dla ruchu laminarnego- stosunek siły stycznej do powierzchnii $\ \tau = \frac{T}{A} = \mp \mu$ $\frac{\text{dV}}{\text{dn}}$ (μ − wsp lepkosci) tylko płyny newtonowskie zachowują się zgodnie z tym wzorem( dla nich napręzenie styczne jest liniowo proporcjonalne do odkształcenia) Lepkosc w ruchu laminarnym wynika ze zdolnosci plynu do przekazywania pędu pomiędzy warstwami poruszającymi się z róznymi prędkościami ;

8.Ruch laminarny- Ruch elementów wywołany zaburzeniem, ma charakter pulsacji. Reynold’s wykazał że energia tego ruchu jest wzmacniania przez energię ruchu podstawowego, a jednoczesnie wytrącona w postaci ciapła na skutek działania lepkości. Energia przekazywana ruchom pulsacyjnym jest nieduża i przepływ jest stateczny. W przepływnie tym poszczególne warstwy stanowią pewne bariery, poprzez które nie zachodzi wymiana płynów w skali makroskopowej. Możliwa jest natomiast wymiana masy w skali mikroskopowej, wynikająca z bezwładnego ruchu cząsteczek.Ruch turbulentny- charakteryzuje się występowaniem pulsacji prędkości( tzn. prędkości pobocznych) o charakterze losowym. W związku z pomiędzy poszczególnymi warstwami płynu następuje wymiana pędu i masy i nie tylk ona poziomie molekularnym lecz i makroskopowym. Wynikają stąd naprężenia styczne kilka rzędów wielkości większe niż w przepływie laminarnym. Chwilowa wartość prędkości definiowana jest suną wektora prędkości głównej, stałej w czasie i wektora prędkości pobocznej:$\overrightarrow{V}\left( x,y,z,t \right) = \overrightarrow{V(}x,y,z) + \overrightarrow{v^{'}}\left( x,y,z,t \right)$Przy czym średnia dla składowej na kierunku x jest rowna: $V_{x} = \frac{l}{t}\int_{t_{o}}^{t_{o} + t}V_{x}\left( x,y,z,\tau \right)\text{dτ}.$ Podobnie definiuje się wartości srednie dla pozostałych składowych. Istotą ruchu turbulentnego jest brak wewnętrznej stabilności przepływu. Występują w nim przypadkowe nieregularne zaburzenia- pulsacje( fluktuacje), które powodują, że ruch wewnątrz tego obszaru jest zmienny w czasie. Liczba Reynoldsa- wyraża stosunek składowej konwencji siły bezwładności do sily tarcia płynie. Liczba ta jest stosowana między innymi do badania rodzaju ruchu cieczy. Liczba Reynoldsa stanowi główne kryterium modelowania hydraulicznego, jeżeli siłami dominującymi w zjawisku są siły wynikające z lepkości płynu. ( Re ), jest to liczba podobieństwa dynamicznego charakteryzująca stosunek sił bezwładności do sił lepkości występujących podczas przepływu płynu; $\text{Re} = \frac{v\ l\ \rho}{\eta}$  ; v – prędkość ciała względem płynu – jednostka w układzie SI – metr na sekundę m/s; l – wymiary liniowe w kierunku prostopadłym do v – jednostka w układzie SI - metr m η – lepkość cieczy – jednostka w układzie SI – paskalosekunda Pa ∙ s = kg/ms ρ – gęstość cieczy – jednostka w układzie SI  kg/m³. Naprężenia styczne w ruchu turbulentnym-różnice w prędkościach warstw, są charakteryzowane w modelu laminarnym przez szybkość ścinania. Przekazywanie pędu zachodzi dzieki pojawieniu się na granicy tych warstw naprężeń ścinających.

9.Równanie Bernoullego dla cieczy idealnej: $\frac{\mathbf{\rho}\mathbf{\ }\mathbf{v}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{+}\text{ρg}h + p = \text{const}.$; ρ - gętość cieczy,v - prędkość cieczy,h - wysokość w układzie odniesienia,g - przyspieszenie grawitacyjne,p - ciśnienie cieczy.

10.Równanie Bernoullego dla cieczy rzeczywistej:

$z_{1} + \frac{p_{1}}{\gamma} + \frac{\alpha_{1}V_{1}}{2g} = z_{2} + \frac{p_{2}}{\gamma} + \frac{\alpha_{2}V_{2}}{2g} + h_{\text{strat}}$=const.

11/12.Przekroj spokojny i rwacy

Powyżej punktu krytycznego K występuje obszar przepływów spokojnych, poniżej obszar przepływów rwących. Przepływy rwące charakteryzują się dużą wysokością energii kinetycznej Ev i mogą wywierać silne działanie erozyjne na kanał. Okreslenie ruchu:

ts=tskr=2Ev – warunek ruchu krytycznego , natomiast

13. Przepływ krytyczny i rów energi-strumien cieczy o danym

przepływie QPłynący w korycie otwartym może mieć różną energię

w zależnośći od głeBokości napełnienia h.Wysokość energi

mechanicznej strumienia względem Dna kanału wynosi:

E=h+(αV^2)/2g=h+αQ^2/(2gA^2)Gdzie pole przekroju poprzecznego

Koryta A jest funkcją napełnienia A=A(h) . Przy założeniu stałego

wydatku Q=const Całkowita energia w danym przekroju zmienia się

w funkcję napełnienia Kanału.

Dla h->0: A(h)->0, E->∞ ; dla h->∞: A(h)->∞, E->∞

Istnieje więc taka głębokość dla której energia ma wartość min..(głeboko

ść krytyczna-odpowiadający jej ruch krytyczny)

Kryterium ruchu krytycznego:$\frac{A^{3}}{\beta} = \frac{\alpha \bullet Q^{2}}{g}$

$\beta = \frac{\text{dA}}{dh};$ A- pole przekroju krytycznego, Q²

- wydatek; alfa- liczba Froude

14.Najkorzystniejszy przekroj koryta z analizy wzoru Q=1/n*A*Rh^2/3*i^1/2 (zależność Manninga) wynika, że wydatek cieczy, jaki może płynąć korytem otwartym, zalezy nie tylko od spadku dna i, przekroju poprzecznego A i szerokości koryta u, ale tez w dużym stopniu, zalezy od jego kształtu, którego miara jest promien hydrauliczny Rh=A/u. Analiza kształtu koryta jest wazna w zagadnieniach regulacji rzek. Najkorzystniejszym pod względem hydraulicznym przekrojem koryta jest taki przekrój, który przy danym polu przekroju A, Szerokości n oraz spadku dna i zapewnia największy wydatek Cieczy w ruchu jednostajnym. Ze wzoru Q=1/n*A*R^(2/3)*i^(1/2) wynika, że dla przyjętych warunków, maksymalny przepływ Q zapewnia koryto o najmniejszym obwodzie zwilżonym U. Rozpatrując możliwe przekroje kanałów o jednakowej powierzchni.: półkolisty, trójkątny, prostokątny, można wykazać, że najmniejszy obwod zwilżony ma przekroj półkolisty. W praktyce przekrój ten jest rzadko stosowany ze względów wykonzaczych. Najczęściej stosowanwe są koryta o przekrojach trapezowych . Należy wiec rozważyć, przy jakim stosunku β=b/h (szerokośc dna kanału b do głębokości h) obwod zwilzony będzie najmniejszy.[rys]

Oznaczając przez m współczynnik nachylenia skarp: m=a/h=ctgα=const, pole przekroju koryta wynosi: A=h*b+m*h²= h²*(β+m). obwod zwilżony jest rowny: U=b+2h$\sqrt{1 + m^{2}}$ = h(β+2$\sqrt{1 + m^{2}}$). Rozniczkujac obie zależności (A=const, U=min),otrzymuje się: dA=h²dβ+2(β+m)hdh=0, dV=h²dβ+2(β+2$\sqrt{1 + m^{2}}$)dh=0. Wyznaczając z równania dA=h²dβ+2(β+m)hdh=0 dβ, po podst. Do dV=h²dβ+2(β+2$\sqrt{1 + m^{2}}$)dh=0 otrzymuje się warunek na hydrauliczne najkorzystniejszy przekroj trapezowy koryta otwartego: β=b/h=2($\sqrt{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}$ -m). ze wzoru wynika, ze iloraz b/h zalezy tylko od współczynnika nachylenia skarp m. Wykorzystując zależność trygonometryczna m=ctgα =$\frac{1 - \text{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}{2\text{tg}\frac{\alpha}{2}}$ po podstawieniu do wzoru na β otrzymuje się : b/h=2tg$\frac{\alpha}{2}$. Zależność ta jest spelniona dla trapezow opisanych na polkolu.

Promien hydrauliczny najkorzystniejszego przekroju koryta dla dowolnego kata nachylenia skarp, po uwzględnieniu zależności ze wzoru na β, wynosi: R_h=A/U=$\frac{h^{2}(2\sqrt{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\ -}\mathbf{m}\mathbf{)}}{2h(2\sqrt{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\ -}\mathbf{m}\mathbf{)}} = h/2$ . w celu wyznaczenia kata α nachylenia skarp przy którym przekroj trapezowy będzie hydraulicznie najkorzystniejszy, można skorzystac z równania na obwod zwilżony zapisany w postaci: U=b+$\frac{2h}{\sin\alpha}$ . Po podstawieniu β=b/h=2$(\sqrt{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\ -}\mathbf{m}\mathbf{)}$otrzymuje się: U=2h(tg$\frac{\alpha}{2}$ + $\frac{1}{\sin\alpha}$) = 2h ($\frac{2}{\sin\alpha}$ – ctgα) , a skad wykorzystując wzor na Rh, można zapisac: U²=4A ($\frac{2}{\sin\alpha}$ – ctgα). Dla A=const, minimalny obwod U wystapi dla minimalnej wartości wyrażenia w nawiasie. Przyrównując do zera pierwsza pochodna tego wyrażenia $- \frac{2\text{cosα}}{\sin^{2}\alpha}$ + $\frac{1}{\sin^{2}\alpha} = 0$ po rozwiązaniu (cosα=0,5) , wyznacza się najkorzystniejszy kat nachylenia skarp trapezowego przekroju koryta otwartego. Kat ten wynosi α=60^o.

Dobor kształtu koryta – Należy zaprojektowac najekonomiczniejszy przekroj kanalu czyli taki który przy możliwie malym przekroju(koszt robot) zapewni zalozony przeplyw. $Q = A \bullet \frac{1}{n} \bullet R_{h}^{\frac{2}{3}} \bullet i^{\frac{1}{2}} = A \bullet \frac{1}{n}.\frac{A}{O_{z}} \bullet i^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{n} \bullet i^{\frac{1}{2}} \bullet \frac{A^{\frac{5}{3}}}{Q^{\frac{2}{3}}}\ $wobec zalozonych wielkości Q,n,i potrzebne pole przekroju jest tym mniejsze, im mniejszy jest obwod zwilżony. Długość obwodu zwilżonego zalezy od wielkości przekroju i od jego kształtu. Najmniejszy stosunkowo obwod zwilżony będzie mieć koryto o kształcie zwartym. Hydraulicznie najlepszym kształtem przekroju koryta otwartego jest wiec półkole. W praktyce przekroj ten można jedynie stosowac w przypadku malych kanalikow wykonanych z bwtonu lub blachy(rynna). Kanaly wieksze, ziemne, nie mogą mieć tak stromych scian, a ponadto wykonawstwa nastręczałoby wiele trudności. Dlatego praktycznie stosuje się w duzych kanalach niemal wyłącznie przekroje trapezowe. Dobor najwłaściwszego kształtu koryta polega na doborze proporcji geometrycznych przekroju, np. stosunku głębokości, szerokości , zapewniających warunek minimum O₂. W praktyce wiec obliczamy najpierw proporcje koryta z warunku minimum O₂ przy zalozeniu dowolnego, ale stalego A. Np. dla prostokata : A=B*h , O₂=B+2h , O₂= $\frac{A}{h} + 2h$ , $\frac{{d\text{dQ}}_{2}}{h} = - \frac{AA}{h^{2}} + 2 = 0\ $, $\sqrt{\frac{A}{2} =}\sqrt{\frac{Bh}{2}}$ stad: B=2h, A=2h² , O₂=4h. Spośród wszystkich przekrojow prostokątów koryto o stosunku $\frac{B}{h} = 2$ jest zatem hydraulicznie najkorzystniejsze.