Politechnika Świętokrzyska w Kielcach Wydział Elektrotechniki Automatyki i Informatyki

Laboratorium – Metody Obliczeniowe Katedra Zastosowań Informatyki

Sprawozdanie z zajęć laboratoryjnych nr 6 Różniczkowanie numeryczne

MICHAŁ MAZUR DOMINIK KUSA Grupa: ID313B

1. Różniczkowanie numeryczne i błędy obliczeń

1. 1 Wstęp

Różniczkowaniem numerycznym nazywamy wyznaczanie przybliżonych wartości pochodnych funkcji dyskretnej jednej lub wielu zmiennych w zadanych punktach obszaru. Operację taką można wykonać dwuetapowo:

• wyprowadzając stosowne wzory różnicowe pozwalające na wyrażenie pożądanej pochodnej w określonym punkcie obszaru jako kombinacji liniowej wartości funkcji w punktach sąsiednich – węzłach (tzw. schematy różnicowe),

• stosując wyznaczone wzory różnicowe do obliczania pochodnych w wybranych punktach

obszaru.

Postępowanie takie jest wyjątkowo skuteczne i efektywne w przypadku, gdy węzły są rozmieszczone równomiernie, gdyż wówczas wystarczy jednokrotne wyprowadzenie schematu różnicowego na każdą niezbędną pochodną.

Metody generacji wzorów różnicowych możemy podzielić na trzy kategorie:

• przez interpolację,

• nieoznaczonych współczynników,

• ścisłe dla wielomianów możliwie najwyższego stopnia,

1. 2 Wyprowadzanie wzorów i szacowanie dokładności z użyciem szeregu Taylora

Na podstawie rozwinięcia Taylora funkcji:

możemy szacować dokładność przybliżeń numerycznych w funkcji rzędu pochodnej i kroku h. Przykład:
rozwinięcie Taylora ograniczone do pierwszego nie skracającego się czynnika:

Oszacowanie pochodnej ilorazem różnicowym centralnym:

Wnioski: wzór jest dokładny dla wielomianów do 2 stopnia, błąd jest proporcjonalny do h².

1. 3 Wrażliwość przybliżeń różnicowych na błędy reprezentacji i zakłócenia w danych

Stwierdzenie, że błąd jest zależny z określoną potęgą od kroku h sugeruje, że zmniejszanie kroku wyrażenia różnicowego może tylko poprawić jakość wyniku (dokładność pochodnej). W tej analizie nie uwzględniono jednak błędu reprezentacji maszynowej wartości funkcji. Dodatkowo silny wpływ na błędy wyznaczanej pochodnej mogą mieć zakłócenia pomiaru wartości funkcji (np. szumy addytywne w próbkowaniu sygnału). Przeanalizujmy własności dwóch podstawowych wyrażeń różnicowych pod kątem zaburzenia danych.

Przyjmując zaburzenie danych (szum lub błąd reprezentacji) na poziomie ε i ograniczenie odpowiedniej pochodnej przez liczbę M uzyskujemy wyrażenia na łączny błąd:

Minimalny błąd uzyskamy dla optymalnego kroku h (step-size dilemma):

Wnioski:
wyższy rząd → większy krok → mniejsze wzmocnienie błędu reprezentacji

znaczne zakłócenia w danych → lepiej korzystać z wielomianu aproksymującego

2. Implementacja różniczkowania metodą Taylor’a

Przykład z zajęć (Implementacja w MatLab):

y = [6.3 5 4.45 3 0.75];

tmp = [0 0 0 0];

h=0.5;

for j=1:4,

for i=1:5-j,

y(i)=y(i)-y(i+1);

end

i=1;

tmp(j)=y(i);

end

wynik=(1/h)*(tmp(1)+((1/2)*tmp(2))+((1/3)*tmp(3))+((1/4)*tmp(4)));

disp('Wynik: ');

disp(wynik);

blad=abs(1-wynik);

disp('Blad: ');

disp(blad);

ZADANIE nr: R149

Przykład zadany (Implementacja w Python):

y = [-1.339279, -1.361837, -0.908666, -0.138072, 0.680755, 1.261774]

tmp = [0, 0, 0, 0, 0]

h=0.2

for j in range(6):

for i in range(5-j):

y[i]=y[i]-y[i+1]

tmp[j]=y[i]

wynik=(1/h)*(tmp[0]+((1/2)*tmp[1])+((1/3)*tmp[2])+((1/4)*tmp[3])+((1/5)*tmp[4]))

print('Wynik: ',wynik)

blad=abs(1-wynik)

print('Blad: ', blad)

import time

time.sleep(10)

3. Bibliografia

• http://galaxy.uci.agh.edu.pl/~ttward/numer/Ca%B3kowanie%20i%20r%F3%BFniczkowanie%20numeryczne.pdf

• http://www.l5.pk.edu.pl/~michal/pdfy/Metody19.pdf

• Instrukcja laboratoryjna z zajęć MObl13_L07A.diff_.pdf