ZASADA NAJMNIEJSZEGO DZIAŁANIA HAMILTONA

Układ porusza się po ekstremali działania ( minimalizuje działanie)

Mamy do czynienia z dwoma rodzajami problemów:

1. Problem izoperymetryczny ( Dydony)

pod warunkiem, że

Jeżeli problem ma rozwiązanie, to spełnia ono r Eulera-Lagranża dla Lagranżianu

1. Problem wakonomiczny

pod warunkiem, że

Jeżeli problem ma rozwiązanie, to spełnia ono r. E-L dla Lagranżianu

MECHANIKA HAMILTONOWSKA

Funkcja Hamiltona . Jest to funkcja położeń i pędów cząstek badanego układu oraz czasu, mająca wymiar energi, która służy do wyznaczenia ruchu cząstek (czasowej zależności ich położeń). Położenia cząstek sa reprezentowane przez współrzędne uogólnione q (najczęściej są to położenia kartezjańskie x,y,z wektora położenia cząstki i współrzędne sferyczne r,θ, ϕ). Pochodne współrzędnych względem czasu to prędkości uogólnione.

1. Przekształcenie Legendre’a

F(p)=p^Tv_(p)-f(v_(p))

1. Definiujemy hamiltonian (q,p)∈Rⁿ

H(q,p) = max(p^Tv-L(q,v))

1. Równania kanoniczne hamiltona:

Hamiltonian ma sens całkowitej energii układu, jest stały na trajektoriach – całka pierwsza!

STAŁE RUCHU UKŁADU HAMILTONOWSKIEGO. NAWIAS POISSONA

1. Hamiltonian jest całką pierwszą, niezmiennikiem, stałą ruchu układu.

2. Oraz F(q,p), gdy

Jest to NAWIAS POISSONA:

{F₁,F₂} =

Własności:

• {F,F}=0

• {F₁,F₂}=-{F₂,F₁}

• {F₁,{F₂,F₃}}+{F₂,{F₃,F₁}}+{F₃,{F₁,F₂}}=0 – tożsamość Jacobiego

F(q,p) jest stałą ruchu wtedy i tylko wtedy, gdy {F,H}=0

TWIERDZENIE: Jeżeli F₁(q,p),F₂(q,p) są stałymi ruchu, to {F₁,F₂}(q,p) jest także stałą ruchu.