Mechanika analityczna – wprowadzenie

1. Wi˛ezy i współrz˛edne uogólnione

Je´sli rozwa˙zamy ruch układów nieswobodnych, nale˙zy okre´sli´c ograniczenia nało˙zone na ruch, czyli

tzw. wi˛ezy. Gdy układ n punktów jest ograniczony wi˛ezami, wówczas współrz˛edne prostok ˛

atne tych

punktów nie s ˛

a od siebie niezale˙zne i musz ˛

a spełnia´c pewn ˛

a ilo´s´c równa ´n wi˛ezów:

f

ν

(x

1

, y

1

, z

1

, . . . , x

n

, y

n

, z

n

,t) ><= 0 ,

ν = 1, 2, . . . , k

Klasyfikacja wi˛ezów:
•

skleronomiczne

–

reonomiczne

•

geometryczne

–

kinematyczne

•

jednostronne

–

dwustronne

•

holonomiczne

–

nieholonomiczne

•

idealne
Liczba wszystkich współrz˛ednych punktów jest równa 3n, ogranicze´n jest k, wi˛ec liczba nieza-

le˙znych współrz˛ednych wynosi

s

= 3n − k

– liczba stopni swobody

Układ liniowo niezale˙znych od siebie współrz˛ednych (parametrów) wystarczaj ˛

acych do opisu ruchu

nazywamy współrz˛ednymi uogólnionymi q

1

, . . . , q

s

. W zwi ˛

azku z tym wszystkie współrz˛edne pros-

tok ˛

atne układu n punktów mo˙zemy przedstawi´c w postaci

x

i

= x

i

(q

1

, . . . , q

s

) ,

y

i

= y

i

(q

1

, . . . , q

s

) ,

z

i

= z

i

(q

1

, . . . , q

s

)

2. Przesuni˛ecia przygotowane

Rozwa˙zmy nieswobodny punkt A, który musi pozostawa´c na pewnej nieruchomej powierzchni.

Załó˙zmy pewne pomy´slane przesuni˛ecie elementarne tego punktu po powierzchni zgodnie z wi˛ezami,
oczywi´scie w płaszczy´znie stycznej do tej powierzchni. Przesuni˛ecie to nie jest rzeczywiste, wi˛ec nie
mo˙zemy go oznaczy´c dr. Oznaczamy je przez δ r. Przesuni˛ecie takie nazywamy przesuni˛eciem przy-
gotowanym.

W układzie kartezja´nskim

δ r = δ x i + δ y j + δ z k ,

1

gdzie δ x, δ y, δ z to wariacje współrz˛ednych. Wielko´sci te nie s ˛

a od siebie niezale˙zne. Niech równanie

wi˛ezów ma posta´c

f

(x, y, z) = 0 .

Po przesuni˛eciu przygotowanym punkt b˛edzie miał współrz˛edne

x

+ δ x, y + δ y, z + δ z

Poniewa˙z z zało˙zenia przesuni˛ecie to jest zgodne z wi˛ezami (punkt nie opuszcza powierzchni), to musz ˛

a

by´c spełnione równania

f

(x + δ x, y + δ y, z + δ z) = 0

oraz

f

(x + δ x, y + δ y, z + δ z) − f (x, y, z) = 0 .

Ostatnie wyra˙zenie to δ f , czyli

δ f =

∂ f

∂ x

δ x +

∂ f

∂ y

δ y +

∂ f

∂ z

δ z = 0

lub

grad f · δ r = 0 .

Równanie to oznacza, ˙ze δ r jest zawsze styczne do powierzchni.

Dla układu n punktów mamy

f

ν

(x

1

, y

1

, z

1

, . . . , x

n

, y

n

, z

n

) = 0 ,

ν = 1, 2, . . . , k

δ r

i

= [δ x

i

, δ y

i

, δ z

i

]

i

= 1, 2, . . . , n

n

∑

i

=1



∂ f

ν

∂ x

i

δ x

i

+

∂ f

ν

∂ y

i

δ y

i

+

∂ f

ν

∂ z

i

δ z

i



= 0

lub

n

∑

i

=1

grad f

ν

· δ r

i

= 0 .

Je˙zeli teraz poło˙zenie układu rozpatrywa´c b˛edziemy we wspórz˛ednych uogólnionych, to zgodnie z

x

i

= x

i

(q

1

, . . . , q

s

) ,

y

i

= y

i

(q

1

, . . . , q

s

) ,

z

i

= z

i

(q

1

, . . . , q

s

)

r

i

= r

i

(q

1

, . . . , q

s

)

mamy s przesuni˛e´c przygotowanych δ q

1

, . . . , δ q

s

, a wzory transformacyjne przyjmuj ˛

a nast˛epuj ˛

ac ˛

a posta´c:

δ x

i

=

s

∑

j

=1

∂ x

i

∂ q

j

δ q

j

,

δ y

i

=

s

∑

j

=1

∂ y

i

∂ q

j

δ q

j

,

δ z

i

=

s

∑

j

=1

∂ z

i

∂ q

j

δ q

j

lub

δ r

i

=

s

∑

j

=1

∂ r

i

∂ q

j

δ q

j

.

2

3. Praca przygotowana

Załó˙zmy, ˙ze punktowi, na który działa siła P udzielamy przesuni˛ecia δ r. Wówczas prac˛e tej siły na

tym przesuni˛eciu

δ L = P· δ r

nazywamy prac ˛

a przygotowan ˛

a

δ L = Pδ s cos α ,

δ s = |δ r|

Dla układu n punktów i n sił mamy

δ L =

n

∑

i

=1

δ L

i

=

n

∑

i

=1

P

i

· δ r

i

=

n

∑

i

=1

(P

ix

δ x

i

+ P

iy

δ y

i

+ P

iz

δ z

i

)

Dla układu punktów nieswobodnych dochodzi praca reakcji wi˛ezów

n

∑

i

=1

R

i

· δ r

i

Je´sli wi˛ezy s ˛

a idealne, to

n

∑

i

=1

R

i

· δ r

i

= 0

(R

i

⊥ δ r

i

)

Załó˙zmy teraz, ˙ze układ punktów znajduje si˛e w równowadze.

Dla i-tego punktu mamy

P

i

+ R

i

= 0 .

St ˛

ad

P

i

· δ r

i

+ R

i

· δ r

i

= 0 ,

a dla układu

n

∑

i

=1

P

i

· δ r

i

+

n

∑

i

=1

R

i

· δ r

i

= 0 .

Twierdzenie 1. Warunkiem koniecznym i wystarczaj ˛

acym istnienia równowagi w układzie jest, by suma

prac przygotowanych sił czynnych i reakcji wi˛ezów na przesuni˛eciach przygotowanych była równa zeru.

Dla wi˛ezów idealnych mamy

n

∑

i

=1

P

i

· δ r

i

= 0

Przykład

P

1

δ s

1

− P

2

δ s

2

= 0

δ s

1

= aδ ϕ ,

δ s

2

= bδ ϕ

3

St ˛

ad:

(P

1

a

− P

2

b

)δ ϕ = 0

Przy dowolnym δ ϕ 6= 0 mamy

P

1

a

− P

2

b

= 0 ,

czyli

P

1

P

2

=

b

a

Mo˙zna wykaza´c, ˙ze zasada prac przygotowanych jest równowa˙zna statycznym warunkom równowagi.

Załó˙zmy, ˙ze przemieszczenie dowolnego punktu bryły ma posta´c

δ r = δ r

0

+ δ ϕ

ϕ

ϕ × r

i

n

∑

i

=1

P

i

· δ r

i

=

n

∑

i

=1

P

i

· (δ r

0

+ δ ϕ

ϕ

ϕ × r

i

) = δ r

0

n

∑

i

=1

P

i

+

n

∑

i

=1

P

i

· (δ ϕ

ϕ

ϕ × r

i

) = 0 ,

czyli

δ r

0

n

∑

i

=1

P

i

+ δ ϕ

ϕ

ϕ ·

n

∑

i

=1

(r

i

× P

i

) = 0

Poniewa˙z r

i

i ϕ

ϕ

ϕ s ˛

a dowolne, to

n

∑

i

=1

P

i

= 0

oraz

n

∑

i

=1

(r

i

× P

i

) = 0

4. Siły uogólnione

Praca przygotowana sił P

1

, P

2

, . . . , P

n

:

δ L =

n

∑

i

=1

(P

ix

δ x

i

+ P

iy

δ y

i

+ P

iz

δ z

i

) =

n

∑

i

=1

P

ix

s

∑

j

=1

∂ x

i

∂ q

j

δ q

j

+ P

iy

s

∑

j

=1

∂ y

i

∂ q

j

δ q

j

+ P

iz

s

∑

j

=1

∂ z

i

∂ q

j

δ q

j

!

Zmieniaj ˛

ac kolejno´s´c sumowania, mamy:

δ L =

s

∑

j

=1

"

n

∑

i

=1



P

ix

∂ x

i

∂ q

j

+ P

iy

∂ y

i

∂ q

j

+ P

iz

∂ z

i

∂ q

j



#

|

{z

}

Q

j

– siła uogólniona

δ q

j

δ L =

s

∑

j

=1

Q

j

δ q

j

Przykład: Wahadło fizyczne

δ L = P· δ r

A

= −Pl sin ϕδ ϕ

δ L = Q

ϕ

δ ϕ

Q

ϕ

= −Pl sin ϕ = −M

z

Siła uogólniona jest w tym przypadku momentem siły P wzgl˛edem osi obrotu.

4

5. Równowaga w zachowawczym polu sił

Układ poddany wi˛ezom idealnym znajduje si˛e w zachowawczym polu sił

P

ix

= −

∂V

∂ x

i

,

P

iy

= −

∂V

∂ y

i

,

P

iz

= −

∂V

∂ z

i

.

We współrz˛ednych uogólnionych

Q

j

= −

n

∑

i

=1



∂V

∂ x

i

∂ x

i

∂ q

j

+

∂V

∂ y

i

∂ y

i

∂ q

j

+

∂V

∂ z

i

∂ z

i

∂ q

j



,

czyli

Q

j

= −

∂V

∂ q

j

,

przy czym

V

= V (q

1

, q

2

, . . . , q

s

)

Je˙zeli układ ma znajdowa´c si˛e w poło˙zeniu równowagi, to

∂V

∂ q

1

= 0 ,

∂V

∂ q

2

= 0 ,

. . . ,

∂V

∂ q

s

= 0 .

Twierdzenie 2. W poło˙zeniu równowagi układu materialnego poddanego wi˛ezom idealnym i znajdu-
j ˛

acego si˛e w zachowawczym polu sił energia potencjalna tego układu spełnia warunki konieczne do ist-

nienia ekstremum.

6. Ogólne równanie dynamiki analitycznej

Opieraj ˛

ac sie na zasadzie d’Alemberta mo˙zemy ka˙zde zadanie z mechaniki sprowadzi´c do równowagi

sił czynnych i bezwładno´sci. Korzystaj ˛

ac z tego i zasady prac przygotowanych, mamy

n

∑

i

=1

(P

i

− m

i

a

i

)· δ r

i

= 0 ,

czyli

n

∑

i

=1

(P

i

− m

i

¨r

i

)· δ r

i

= 0 .

W przypadku nieswoobodnego układu materialnego o wi˛ezach idealnych suma prac przygotowanych sił
czynnych i sił bezwładno´sci na dowolnym przemieszczeniu przygotowanym tego układu równa si˛e zeru.
Ogólne równanie dynamiki analitycznej przyjmuje posta´c:

n

∑

i

=1

h

(P

ix

− m

i

¨

x

i

)δ x

i

+ (P

iy

− m

i

¨

y

i

)δ y

i

+ (P

iz

− m

i

¨z

i

)δ z

i

i

= 0

5

Przykład

Wyznaczy´c przyspieszenia a

1

i a

2

.

Poniewa˙z ni´c jest nierozci ˛

agliwa, to

a

1

= a

2

= a .

Ogólne równanie dynamiki:

(m

1

g − m

1

a

1

)· δ r

1

+ (m

2

g − m

2

a

2

)· δ r

2

= 0

Oznaczmy

|δ r

1

| = |δ r

2

| = δ s

m

1

g· δ r

1

= m

1

gδ s sin α

m

2

g· δ r

2

= −m

2

gδ s sin β

m

1

a

1

· δ r

1

= m

1

aδ s

m

2

a

2

· δ r

2

= m

2

aδ s

St ˛

ad

[(m

1

sin α − m

2

sin β )g − a(m

1

+ m

2

)] δ s = 0 ,

(m

1

sin α − m

2

sin β )g − a(m

1

+ m

2

) = 0 ,

czyli

a

= a

1

= a

2

= g

m

1

sin α − m

2

sin β

m

1

+ m

2

.

7. Równania Lagrange’a I rodzaju

Ogólne równanie dynamiki analitycznej razem z równaniami wi˛ezów pozwala opisa´c ruch układu

nieswobodnego, to znaczy































n

∑

i

=1

(P

i

− m

i

¨r

i

)· δ r

i

= 0

f

ν

(r

i

,t) = 0

n

∑

i

=1

grad f

ν

· δ r

i

= 0

Po wymno˙zeniu ostatniego równania przez λ

ν

i dodaniu do pierwszego

n

∑

i

=1

(P

i

− m

i

¨r

i

+ λ

ν

grad f

ν

)· δ r

i

= 0

Poniewa˙z δ r

i

s ˛

a dowolne, to

m

i

¨r

i

= P

i

+ λ

ν

grad f

ν

f

ν

(r

i

,t) = 0

λ

ν

to tzw. nieoznaczone mno˙zniki Lagrange’a.

6

8. Równania Lagrange’a II rodzaju

Ogólne równanie dynamiki analitycznej

n

∑

i

=1

(P

i

− m

i

¨r

i

)· δ r

i

= 0

jest spełnione dla wi˛ezów idealnych

δ r

i

=

s

∑

j

=1

∂ r

i

∂ q

j

δ q

j

.

Pami˛etamy, ˙ze

r

i

= r

i

(q

1

, . . . , q

s

,t)

oraz

q

j

= q

j

(t) .

Poniewa˙z δ q

j

s ˛

a dowolne, mo˙zna zało˙zy´c, ˙ze tylko jedna wariacja δ q

j

6= 0. Wówczas

δ r

i

=

∂ r

i

∂ q

j

δ q

j

.

i ogólne równanie b˛edzie

"

n

∑

i

=1

(P

i

− m

i

¨r

i

)·

∂ r

i

∂ q

j

#

δ q

j

= 0 .

Wobec dowolno´sci δ q

j

n

∑

i

=1

(P

i

− m

i

¨r

i

)·

∂ r

i

∂ q

j

= 0 ,

czyli

n

∑

i

=1

m

i

¨r

i

·

∂ r

i

∂ q

j

=

n

∑

i

=1

P

i

·

∂ r

i

∂ q

j

Oczywi´scie równa´n tych mo˙zemy uło˙zyc tyle, ile jest współrz˛ednych uogólnionych. Rozpisuj ˛

ac praw ˛

a

stron˛e, mamy

n

∑

i

=1

P

i

·

∂ r

i

∂ q

j

=

n

∑

i

=1



P

ix

∂ x

i

∂ q

j

+ P

iy

∂ y

i

∂ q

j

+ P

iz

∂ z

i

∂ q

j



= Q

j

.

St ˛

ad

n

∑

i

=1

m

i

¨r

i

·

∂ r

i

∂ q

j

= Q

j

W tym miejscu wprowadzimy dwie to˙zsamo´sci niezb˛edne do przekształcenia lewej strony równania.

Bior ˛

ac pod uwag˛e, ˙ze

r

i

= r

i

(q

1

, . . . , q

s

,t) ,

mamy

˙r

i

= v

i

=

∂ r

i

∂ q

1

˙

q

1

+ . . . +

∂ r

i

∂ q

s

˙

q

s

+

∂ r

i

∂ t

Wielko´sci ˙

q

j

nazywamy pr˛edko´sciami uogólnionymi. Ró˙zniczkuj ˛

ac powy˙zsz ˛

a równo´s´c wzgl˛edem konkret-

nego ˙

q

j

, otrzymujemy pierwsz ˛

a z to˙zsamo´sci:

∂ ˙

r

i

∂ ˙

q

j

=

∂ r

i

∂ q

j

7

Drug ˛

a to˙zsamo´s´c otrzymamy ró˙zniczkuj ˛

ac

∂ r

i

∂ q

j

wzgl˛edem czasu:

d

dt



∂ r

i

∂ q

j



=

∂

2

r

i

∂ q

1

∂ q

j

˙

q

1

+ . . . +

∂

2

r

i

∂ q

s

∂ q

j

˙

q

s

+

∂

2

r

i

∂ t∂ q

j

Z drugiej strony ró˙zniczkuj ˛

ac wzgl˛edem q

j

wyra˙zenie na ˙r

i

, mamy

∂ ˙

r

i

∂ q

j

=

∂

2

r

i

∂ q

j

∂ q

1

˙

q

1

+ . . . +

∂

2

r

i

∂ q

j

∂ q

s

˙

q

s

+

∂

2

r

i

∂ q

j

∂ t

St ˛

ad

d

dt



∂ r

i

∂ q

j



=

∂ ˙

r

i

∂ q

j

Wykorzystuj ˛

ac otrzymane to˙zsamo´sci, mamy:

m

i

¨r

i

·

∂ r

i

∂ q

j

=

d

dt



m

i

˙r

i

·

∂ r

i

∂ q

j



− m

i

˙r

i

·

d

dt



∂ r

i

∂ q

j



m

i

¨r

i

·

∂ r

i

∂ q

j

=

d

dt



m

i

˙r

i

·

∂ ˙

r

i

∂ ˙

q

j



− m

i

˙r

i

·

∂ ˙

r

i

∂ q

j

=

=

d

dt



∂

∂ ˙

q

j

 m

i

˙r

2

i

2



−

∂

∂ q

j

 m

i

˙r

2

i

2



.

Czyli dla całego układu

n

∑

i

=1

m

i

¨r

i

·

∂ r

i

∂ q

j

=

n

∑

i

=1

 d

dt



∂

∂ ˙

q

j

 m

i

v

2

i

2



−

∂

∂ q

j

 m

i

v

2

i

2



=

=

d

dt

"

∂

∂ ˙

q

j

n

∑

i

=1

m

i

v

2

i

2

!#

−

∂

∂ q

j

n

∑

i

=1

m

i

v

2

i

2

!

.

Tak wi˛ec

n

∑

i

=1

m

i

¨r

i

·

∂ r

i

∂ q

j

=

d

dt



∂ T

∂ ˙

q

j



−

∂ T

∂ q

j

oraz

d

dt



∂ T

∂ ˙

q

j



−

∂ T

∂ q

j

= Q

j

Energia kinetyczna w ogólno´sci jest zatem funkcj ˛

a

T

= T (q

1

, . . . , q

s

, ˙

q

1

, . . . , ˙

q

s

,t) .

W przypadku ruchu układu w potencjalnym polu sił mamy

Q

j

= −

∂V

∂ q

j

,

czyli

d

dt



∂ T

∂ ˙

q

j



−

∂ T

∂ q

j

= −

∂V

∂ q

j

Wprowadzaj ˛

ac funkcj˛e

L

= T −V ,

gdzie

T

= T ( ˙

q

1

, . . . , ˙

q

s

) ,

V

= V (q

1

, . . . , q

s

) ,

8

mamy

d

dt



∂ (T − V )

∂ ˙

q

j



−

∂ (T − V )

∂ q

j

= 0 ,

czyli

d

dt



∂ L

∂ ˙

q

j



−

∂ L

∂ q

j

= 0

Przykład 1: Wahadło matematyczne

s

= 1

q

1

= ϕ

Ogólna posta´c równania ruchu:

d

dt



∂ T

∂ ˙

ϕ



−

∂ T

∂ ϕ

= −

∂V

∂ ϕ

Energia kinetyczna:

T

=

1

2

mv

2

=

1

2

ml

2

˙

ϕ

2

St ˛

ad

∂ T

∂ ˙

ϕ

= ml

2

˙

ϕ ,

∂ T

∂ ϕ

= 0 ,

d

dt



∂ T

∂ ˙

ϕ



= ml

2

¨

ϕ

Je˙zeli przyjmiemy, ˙ze w poło˙zeniu równowagi ϕ = 0, to

V

= mgl(1 − cos ϕ)

oraz

∂V

∂ ϕ

= mgl sin ϕ

Mo˙zemy te˙z rozwa˙zy´c prac˛e przygotowan ˛

a siły ci˛e˙zko´sci:

δ L = mgδ r cos



π

2

+ ϕ



,

δ r = lδ ϕ .

St ˛

ad

δ L = mglδ ϕ sin ϕ ,

9

δ L = Qδ q = mgl sin ϕ δ ϕ ,

czyli

Q

= mgl sin ϕ = −

∂V

∂ ϕ

Podstawiaj ˛

ac do ogólnej postaci równania Lagrange’a II rodzaju, mamy:

ml

2

¨

ϕ = −mgl sin ϕ ,

co ostatecznie zapisujemy w postaci

¨

ϕ +

g

l

sin ϕ = 0

Przykład 2

s

= 2

q

1

= ϕ ,

q

2

= ξ

Poło˙zenie i pr˛edko´s´c punktu A w kartezja´nskim układzie współrz˛ednych:

x

= ξ + l sin ϕ ,

˙

x

= ˙

ξ + l ˙

ϕ cos ϕ

y

= l cos ϕ ,

˙

y

= −l ˙

ϕ sin ϕ

Energia kinetyczna i potencjalna:

T

=

1

2

m

( ˙

x

2

+ ˙

y

2

) =

=

1

2

m



l

2

˙

ϕ

2

+ ˙

ξ

2

+ 2l ˙

ϕ ˙

ξ cos ϕ



V

= −mgy +

1

2

cξ

2

= −mgl cos ϕ +

1

2

cξ

2

Równania Lagrange’a II rodzaju dla omawianego układu:

d

dt



∂ T

∂ ˙

ϕ



−

∂ T

∂ ϕ

= −

∂V

∂ ϕ

d

dt



∂ T

∂ ˙

ξ



−

∂ T

∂ ξ

= −

∂V

∂ ξ

Po obliczeniu poszczególnych pochodnych funkcji T i V otrzymujemy:

(

ml

2

¨

ϕ + ml ¨

ξ cos ϕ + mgl sin ϕ = 0

m ¨

ξ + ml ¨

ϕ cos ϕ − ml ˙

ϕ

2

sin ϕ + cξ = 0

10

Dla małego wychylenia ϕ mamy cos ϕ ≈ 1, sin ϕ ≈ ϕ, a równania ruchu przyjmuj ˛

a posta´c











¨

ϕ +

1

l

¨

ξ +

g

l

ϕ = 0

¨

ξ + l ¨

ϕ +

c

m

ξ = 0

9. Ogólna posta´c wyrazenia na energi˛e kinetyczn ˛

a układu materialnego

Je´sli chcemy stosowa´c równania Lagrange’a, energi˛e kinetyczn ˛

a musimy formułowa´c w wielko´sci-

ach uogólnionych. We współrz˛ednych prostok ˛

atnych, przy zastosowaniu konwencji sumacyjnej, energia

kinetyczna ma posta´c

T

=

1

2

m

i

˙

x

2
i

+ ˙

y

2
i

+ ˙z

2
i

,

i

= 1, . . . , n

Współrz˛edne kartezja´nskie s ˛

a funkcjami q

j

i t. St ˛

ad ró˙zniczkuj ˛

ac x

i

, y

i

, z

i

wzgl˛edem t mamy

˙

x

i

=

∂ x

i

∂ q

1

˙

q

1

+

∂ x

i

∂ q

2

˙

q

2

+ . . . +

∂ x

i

∂ q

s

˙

q

s

+

∂ x

i

∂ t

=

∂ x

i

∂ q

j

˙

q

j

+

∂ x

i

∂ t

,

˙

y

i

=

∂ y

i

∂ q

1

˙

q

1

+

∂ y

i

∂ q

2

˙

q

2

+ . . . +

∂ y

i

∂ q

s

˙

q

s

+

∂ y

i

∂ t

=

∂ y

i

∂ q

j

˙

q

j

+

∂ y

i

∂ t

,

j

= 1, . . . , s

˙z

i

=

∂ z

i

∂ q

1

˙

q

1

+

∂ z

i

∂ q

2

˙

q

2

+ . . . +

∂ z

i

∂ q

s

˙

q

s

+

∂ z

i

∂ t

=

∂ z

i

∂ q

j

˙

q

j

+

∂ z

i

∂ t

.

Wstawiaj ˛

ac uzyskane składowe pr˛edko´sci do energii, otrzymujemy

T

=

1

2

a

kl

˙

q

k

˙

q

l

+ b

k

˙

q

k

+

1

2

c

0

gdzie:

a

kl

=

a

lk

= m

i



∂ x

i

∂ q

k

∂ x

i

∂ q

l

+

∂ y

i

∂ q

k

∂ y

i

∂ q

l

+

∂ z

i

∂ q

k

∂ z

i

∂ q

l



,

b

k

=

m

i



∂ x

i

∂ q

k

∂ x

i

∂ t

+

∂ y

i

∂ q

k

∂ y

i

∂ t

+

∂ z

i

∂ q

k

∂ z

i

∂ t



,

c

0

=

m

i

"



∂ x

i

∂ t



2

+



∂ y

i

∂ t



2

+



∂ z

i

∂ t



2

#

,

k

, l = 1, . . . , s

Z powy˙zszych wzorów wynika, ˙ze

a

kl

= a

kl

(q

j

,t) ,

b

k

= b

k

(q

j

,t) ,

c

0

= c

0

(q

j

,t) .

Gdy wi˛ezy, którym podlega układ, s ˛

a skleronomiczne, wówczas x

i

, y

i

, z

i

nie zale˙z ˛

a bezpo´srednio od

czasu:

∂ x

i

∂ t

=

∂ y

i

∂ t

=

∂ z

i

∂ t

= 0

oraz b

k

= 0, c

0

= 0. W takim przypadku

T

=

1

2

a

kl

˙

q

k

˙

q

l

to znaczy energia kinetyczna jest jednorodn ˛

a form ˛

a kwadratow ˛

a pr˛edko´sci uogólnionych ˙

q

j

.

11