2. MA OD WIĘZÓW DO RÓWNAŃ LAGRANGE'A II

Więzy, współrzędne uogólnione, prędkości

1. Jednorodna kula o promieniu a toczy się po wewnętrznej powierzchni walca o promieniu b. Napisać równania wyrażające żądanie, by kula toczyła się bez poślizgu.
   
   

2. Dane jest podwójne wahadło fizyczne o wymuszonym ruchu punktu zawieszenia D. Wahadło nr 2 powieszone jest na osi E, która może przesuwać się wzdłuż osi pierwszego wahadła.
   a)Wyznaczyć liczbę stopni swobody układu,
   b)Wprowadzić współrzędne uogólnione dogodne do opisu położenia układu.
   c)Wyznaczyć prędkość punktu B w funkcji współrzędnych i prędkości uogólnionych.
   
   
   
   
   
   

Zasada prac przygotowanych

3. 
   Przekładnia planetarna składa się z trzech kół 1,
   2, 3 i łącznika OA, na który działa moment M₀. Dane są promienie r₁ i r₃ kół 1 i 3. Pominąwszy tarcie wyznaczyć momenty M₁ i M₃, które należy przyłożyć do kół zębatych 1 i 3, aby zrównoważyć przekładnię. Wyznaczyć siły uogólnione przy założeniu działania momentów M₀, M₁ i M₃.

4. Mechanizm przedstawiony na rysunku składa się z koła zębatego 1 współpracującego z zębatką 2, korby 3 i korbowodu 4, których długości są jednakowe i wynoszą l.
   Mechanizm położony jest w płaszczyźnie poziomej i pozostaje w równowadze w
   położeniu określonym przez kąt  pod działaniem momentu M przyłożonego do korby
   oraz siły sprężystej pochodzącej od sprężyny liniowej 5. Wyznacz siłę sprężystą F_spr. W zadanym położeniu mechanizmu.
   
   

5. Układ przedstawiony na rysunku składa się z dwóch krążków 1 i 2 o promieniach r każdy o stałych osiach obrotu i krążka 3, którego ciężar jest Q. Do środka krążka 3 podwieszony jest ciężar G. Krążki połączone są nieważką i nierozciągliwą linką, której koniec D przymocowany jest do sprężyny o sztywności k. Do krążka 1 przyłożona jest para sił o momencie M. Przy jakiej wartości M układ pozostanie w równowadze? Ile wynosi wtedy wydłużenie sprężyny?

6. 
   Na podstawie zasady prac przygotowanych obliczyć
   napięcie w pręcie AB kratownicy zbudowanej na bazie dwóch trójkątów równobocznych
   
   
   Równania Lagrange'a II rodzaju

7. Człon OA manipulatora wykonuje równocześnie dwa ruchy obrotowe: wokół osi Oz i w płaszczyźnie Oxz. Można założyć, że człon jest prętem jednorodnym o masie m
   i długości l. Wyznaczyć momenty napędowe M₁ i M₂.
   
   

8. Przekładnia zębata przedstawiona na rys. składa się z nieruchomego koła o uzębieniu
   wewnętrznym, korby o masie m_k i długości l oraz satelity o masie m_s i promieniu r.
   Na korbę działa moment napędzający o wartości M. Mechanizm położony jest w płaszczyźnie poziomej. Obliczyć przyspieszenie kątowe korby oraz siłę styczną na obwodzie satelity.
   
   

9. Dla układu pokazanego na rysunku ułożyć równanie ruchu metodą Lagrange'a.
   
   
   

10. Wózek o masie M porusza się po płaszczyźnie idealnie gładkiej. Przymocowany jest za pomocą dwóch jednakowych sprężyn o sztywności c, nienapiętych gdy zajmuje on położenie symetryczne. W wydrążeniu wózka o kształcie półokręgu o promieniu R porusza się krążek o promieniu r i masie m. Stosując formalizm Lagrange'a ułożyć równania ruchu układu we współrzędnych uogólnionych x i .

---