Celem ćwiczenia jest rozwiązanie zadania z mechaniki analitycznej z wykorzystaniem Równania Lagrange'a drugiego rodzaju.

Równanie Lagrange'a drugiego rodzaju:

$$\frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{\partial L}{\partial\dot{q_{i}}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} + \frac{\partial R}{\partial\dot{q_{i}}} = Q_{i}$$

L – potencjał Lagrange'a

L = E_K − E_P

q_i → wspolrzedna uogolniona

$$\dot{\dot{q} \rightarrow predkosc\ uogulniona}$$

Q_i → sila czynna dzialajaca na uklad

R → energia rozproszenia

∂ → pochodna czastkowa (badz rozniczka)

$$\frac{d}{\text{dt}} \rightarrow pochodna\ calego\ czlonu\ po\ czasie$$

Dla zadania:

$$\frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{\partial L}{\partial q} \right) - \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{\partial R}{\partial q} = Q_{i}$$

x₁ = φ₂(r₂−r₁)

x₁ = φ₁r₁

$$\varphi_{2} = \frac{x_{1}}{r_{2} - r_{1}}$$

$$\varphi_{1} = \frac{x_{1}}{r_{1}}$$

$$E_{K} = \frac{1}{2}I_{1}{{\dot{\varphi}}_{1}}^{2} + \frac{1}{2}m_{1}{x_{1}}^{2} + \frac{1}{2}I_{2}\dot{\varphi_{2}^{2}}$$

$$E_{K} = \frac{1}{2}I_{1}\frac{{\dot{x}}_{1}^{2}}{r_{1}} + \frac{1}{2}m_{1}{x_{1}}^{2} + \frac{1}{2}I_{2}\frac{\dot{x_{1}^{2}}}{\left( r_{2} - r_{1} \right)^{2}}$$

$$E_{K} = m_{2}g\frac{1}{2}\left( r_{2} - r_{1} \right)\sin\varphi_{1} + m_{1}g\frac{1}{2}\left( r_{2} - r_{1} \right)\sin\varphi_{2}$$

$$E_{K} = \frac{1}{2}I_{1}\dot{\varphi_{1}^{2}} + \frac{1}{2}m_{1}\varphi_{1}^{2} + \frac{1}{2}I_{2}\dot{\varphi_{1}^{2}}\frac{r_{1}^{2}}{\left( r_{2} - r_{1} \right)^{2}}$$

$$\frac{\partial L}{\partial\varphi_{1}} = \ I_{1}\dot{\varphi_{1}} + m_{1}\dot{\varphi}1r_{1}^{2} + I_{2}\dot{\varphi_{1}}\frac{r_{1}^{2}}{\left( r_{2} - r_{1} \right)^{2}}$$

$$\frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{\partial L}{\partial\varphi_{1}} \right) = I_{1}\ddot{\varphi_{1}} + m_{1}\ddot{\varphi_{1}}r_{1}^{2} + I_{2}\dot{\varphi_{1}}\frac{r_{1}^{2}}{\left( r_{2} - r_{1} \right)^{2}}$$

$$\frac{\partial L}{\partial\varphi_{1}} - m_{2}g\frac{1}{2}\left( r_{2} - r_{1} \right)\cos\varphi_{1}lm_{1}g\left( r_{2} - r_{1} \right)\cos\varphi_{1}$$

$$I_{1}{\ddot{\varphi}}_{1}m_{1}{\ddot{\varphi}}_{1}r_{1}^{2} + I_{2}{\ddot{\varphi}}_{1}\frac{r_{1}^{2}}{\left( r_{2} - r_{1} \right)^{2}} + cos\varphi_{1}\left( r_{2} - r_{1} \right)g\left( \frac{1}{2}m_{2} + m_{1} \right) = 0$$

Budowa modelu w programie WORKING MODEL 2D

Zamodelowany układ:

Do przeprowadzenia symulacji przyjęto:

Wyniki przeprowadzonej symulacji

1. Wykres pozycji osi x, y oraz z w funkcji czasu.

2. Wykres prędkości Vx, Vy, Vz w funkcji czasu.

3. Wykres przyśpieszenia w funkcji czasu.

4. Rotacja pozycji, przyśpieszenie i prędkości w funkcji czasu.