ZADANIA Z TEORII STEROWANIA
Ciało o masie m może poruszać się ruchem postępowym pozostając na uwięzi w postaci sprężyny o sztywności k i poruszając się w ośrodku stawiającym opór proporcjonalny do prędkości (współczynnik proporcjonalności wynosi b). Napisać funkcję Hamiltona - Pontriagina oraz równania sprzężone dla następującego zagadnienia sterowania: doprowadzić to ciało w minimalnym czasie do stanu zerowego za pomocą siły zewnętrznej ograniczonej co do modułu.
Statek płynie w płaszczyźnie xy przez obszar z silnymi prądami. Prąd ma składowe prędkości u(x, y) w kierunku x oraz v(x,y) w kierunku y. Prędkość statku względem wody ma stałą wartość w, zaś kierunek prędkości względnej zadany jest przez kąt φ między wektorem tej prędkości i osią x (rys.). Traktując statek jako punkt materialny, a kąt φ jako sterowanie, sformułować warunki potrzebne do wyznaczenia takiego prawa sterowania, aby czas przepływu z punktu A do punktu B (z góry danych) był minimalny. Następnie przy założeniu, że składowe prędkości nie zależą od współrzędnej y, wyznaczyć konkretne prawo sterowania statkiem.
Wskazówki:
1. w zadaniu tym równanie stanu można uzyskać wyłącznie na podstawie relacji kinematycznych.
2. zastosować ZMP w wersji bez ograniczenia na sterowanie; wówczas dla sterowania optymalnego można przyjąć, że
.
Samolot pionowego startu o masie m zaczyna manewr lądowania na wysokości hA gdzie ma prędkość vA (pionowo w dół), a kończy manewr na zadanej wysokości hB gdzie ma mieć prędkość vB. Zakładając, że:
- opór aerodynamiczy wynosi
, c = const >0
- ciąg silnika hamującego nie zależy od
i ρ przy czym 0≤ F ≤Fmax
Na podstawie ZMP sformułować model matematyczny potrzebny do zaprojektowania manewru w taki sposób aby odbył się on w minimalnym czasie.
Uwaga: Model matematyczny tzn. równania stanu, wskaźniki jakości, hamiltonian itd.
4. Dla pewnego układu, którego równanie stanu ma postać
, wyznaczyć sterowanie minimalizujące wskaźnik jakości
i przeprowadzające układ z położenia
do
w czasie
.
5. Wyznaczyć strategię sterowania, które przeprowadzi układ opisany równaniem
ze stanu x(0) = x0 do stanu x(1) = 0 i zminimalizuje przy tym wskaźnik jakości
6. Ruch pewnego obiektu opisany jest równaniami
,
Obiekt ten ma tak przejść w zadanym czasie T ze stanu zerowego do dowolnego stanu końcowego, aby zminimalizować całkę
Zbudować algorytm wyznaczenia tego sterowania.