LABORATORIUM FIZYKI I	Ćwiczenie nr: 21
Wydział:	Grupa:
WIP	A 41
Nazwisko i imię:
Dobrzyński Piotr
Temat ćwiczenia:
Wyznaczanie pracy wyjścia elektronów z metalu metodą prostej Richardsona
Prowadzący:
Mgr inż. Tomasz Drobiazg

1.Wstęp

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze zjawiskiem termoemisji elektronów oraz wyznaczenie wartości pracy wyjścia elektronu z metalu. Zjawisko termoemisji polega na wychodzeniu elektronów z rozgrzanej powierzchni ciała do otoczenia. Do wykonania ćwiczenia posłuży nam wzór na liczbę elektronów o energii z przedziału ( E ; E + dE ):

$n(E)\text{dE} = \frac{N(E)\text{dE}}{1 + e^{(E - E_{F})/\text{kT}}} = f(E)N(E)\text{dE}$

Skorzystamy również ze wzoru Richarda – Dushmana na gęstość prądu emisji

$I_{E} = AT^{2}e^{\frac{- \text{eφ}}{\text{kT}}}$

2.Układ pomiarowy

Do badania zjawiska termoemisji korzystamy z lampy próżniowej, w której w celu wywołania zjawiska emisji elektronów katoda jest ogrzewana przy pomocy odizolowanego od niej grzejnika. Za pomocą mierników mierzymy napięcie między elektrodami oraz prąd anody.

Do przeprowadzenia ćwiczenia użyliśmy:

-lampy próżniowej EZ 81.

-zasilacza DF1720SL2A jako zasilacz żarzenia

-zasilacza stabilizowanego 1502D jako zasilacza anodowego

-multimetru cyfrowego M890G jako woltomierza anody ( V₁ ):

• zakres 2 V

• C₁ = 0,5 % ; C₂ = 0,1 %

-mikroamperomierza analogowego PM-2 jako amperomierz anody ( μA )

• Zakres pomiarowy - 30 μA

• klasa dokładności- 0,2

• liczba działek - 150

-woltomierza analogowego LM-1 jako woltomierz zasilania żarzenia ( V₂ )

• Zakres pomiarowy- 15 V

• klasadokładności - 0,5

• liczba działek – 3

3.Wyniki i ich opracowanie

Wyniki pomiarów napięcia między elektrodami i prądu anody dla trzech różnych napięć żarzenia:

Dla U=4,6V Dla U=5,2V Dla U=5,8V

Ia[µA]	U[V]
30	0,398
29	0,401
28	0,404
27	0,407
26	0,411
25	0,415
24	0,418
23	0,422
22	0,425
21	0,43
20	0,434
19	0,444
18	0,445
17	0,45
16	0,456
15	0,461
14	0,467
13	0,474
12	0,481
11	0,488
10	0,497
9	0,508
8	0,518
7	0,53
6	0,544
5	0,562
4	0,581
3	0,609
2	0,647

Ia[µA]	U[V]
30	0,514
29	0,516
28	0,519
27	0,522
26	0,526
25	0,53
24	0,534
23	0,538
22	0,542
21	0,547
20	0,551
19	0,556
18	0,562
17	0,568
16	0,574
15	0,58
14	0,586
13	0,594
12	0,602
11	0,61
10	0,62
9	0,63
8	0,64
7	0,653
6	0,669
5	0,686
4	0,707
3	0,737
2	0,775

Ia[µA]	U[V]
30	0,635
29	0,639
28	0,644
27	0,647
26	0,651
25	0,656
24	0,661
23	0,666
22	0,67
21	0,675
20	0,681
19	0,687
18	0,692
17	0,699
16	0,704
15	0,71
14	0,717
13	0,724
12	0,732
11	0,741
10	0,751
9	0,762
8	0,774
7	0,787
6	0,802
5	0,821
4	0,845
3	0,875
2	0,918

Wykorzystując wzór Richarda - Dushmana przekształcając go otrzymujemy zależność liniową:

$${\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }I}_{a} = I_{e}e^{\frac{- eU_{a}}{\text{kT}}} \Rightarrow \ln(I_{a}) = ln(I_{e}) - \frac{eU_{a}}{\text{kT}}$$

gdzie:

$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }Y = ln\left( I_{a} \right);\ X = U_{a};A = ln\left( I_{e} \right);\ B = \frac{- e}{\text{kT}}$$

Wykres dla U1=4,6V

Wykres dla U2=5,2V

Wykres dla U3=5,8V

Wykorzystując informacje podane w zszywce obliczamy wartość natężenia korzystając ze wzoru:

I_e = e^intercept

I_e1 = e^{−6, 07196} ≈ 2, 31 ⋅ 10⁻³A

I_e2 = e^{−5, 13466} ≈ 5, 89 ⋅ 10⁻³A

I_e3 = e^−4, 2362 ≈ 14, 46 ⋅ 10⁻³A

W celu wyznaczenia temperatury korzystamy z wzory podanego w zszywce który wygląda następująco

$$B = \frac{- e}{\text{kT}}$$

Wartość B jest współczynnikiem kierunkowym wykresu funkcji która została utworzona w programie Origin w naszym przypadku jest to wartość kryjąca się pod zmienną slope. W celu wyznaczenia temperatury musimy przerobić wzór:

$$T = \frac{- e}{\text{kB}}$$

e = 1, 60217733  *  10¹⁹ [C]

$$\ k = 1,38064852*\ 10^{- 23\ }\lbrack\frac{J}{K}\rbrack$$

$${\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }T}_{1} = \frac{- 1,60217733\ *\ 10^{19}}{1,38064852*\ 10^{- 23\ }*( - 10,9236)} \approx 1062,34\ K$$

$${\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }T}_{2} = \frac{- 1,60217733\ *\ 10^{19}}{1,38064852*\ 10^{- 23\ }*\left( - 10,30291 \right)} \approx 1126,34\ K$$

$${\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }T}_{3} = \frac{- 1,60217733\ *\ 10^{19}}{1,38064852*\ 10^{- 23\ }*( - 9,6891)} \approx 1197,69\ K$$

W celu wyznaczenia wartości pracy wyjścia posługujemy się poniższym wzorem, dokonaliśmy obliczeń dla 3 rożnych napięć dzięki czemu wartość pracy może zostać wyznaczona trzykrotnie:

$$\mathbf{W}\mathbf{=}\mathbf{k}\frac{\mathbf{T}_{\mathbf{1}}\mathbf{T}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{T}_{\mathbf{1}}\mathbf{-}\mathbf{T}_{\mathbf{2}}}\mathbf{\ln}\mathbf{(\lbrack}\frac{\mathbf{I}_{\mathbf{e1}}}{\mathbf{I}_{\mathbf{e2}}}{\mathbf{(}\frac{\mathbf{T}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{T}_{\mathbf{1}}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{\rbrack)}$$

Obliczam poszczególne prace:

$$W_{12} = 1,38064852 \cdot 10^{- 23}\frac{1064,796 \cdot 1105,342}{1064,796 - 1105,342}\ln\left( \left\lbrack \frac{6,128 \cdot 10^{- 4}}{2,006 \cdot 10^{- 3}}\left( \frac{1105,342}{1064,796} \right)^{2} \right\rbrack \right)$$

≈2, 1169 • 10⁻¹⁹J ≈ 1, 321265 eV

$$W_{13} = 1,38064852 \cdot 10^{- 23}\frac{1064,796 \cdot 1144,401}{1064,796 - 1144,401}\ln\left( \frac{6,128 \cdot 10^{- 4}}{5,306 \cdot 10^{- 3}}\left( \frac{1144,401}{1064,796} \right)^{2} \right)$$

≈2, 02458 • 10⁻¹⁹J ≈ 1, 26364 eV

$$W_{23} = 1,38064852 \cdot 10^{- 23}\frac{1105,342 \cdot 1144,401}{1105,342 - 1144,401}\ln\left( \frac{2,006 \cdot 10^{- 3}}{5,306 \cdot 10^{- 3}}\left( \frac{1144,401}{1105,342} \right)^{2} \right)$$

≈2, 0877 • 10⁻¹⁹J ≈ 1, 303 eV

Liczymy średnią pracę wyjścia:

$$W = \frac{W_{12} + \ W_{13} + \ W_{23}}{3} = \frac{2,1169 \bullet 10^{- 19} + 2,02458 \bullet 10^{- 19} + 2,0877 \bullet 10^{- 19}}{3}$$

W = 2, 07639 • 10⁻¹⁹ J

W • 6, 241509126 • 10¹⁸ = 1, 296 eV

4.Obliczanie niepewności

Liczymy niepewności dla wartości napięć otrzymanych pomiarów:

ΔU = C₁ ⋅ U + C₂ ⋅ Zakres

$$u(U) = \sqrt{\frac{\text{ΔU}^{2}}{3}}$$

U1[V]	u(U1) [V]	U2[V]	u(U2) [V]	U3[V]	u(U3) [V]
0,398	0,003990	0,514	0,004570	0,635	0,005175
0,401	0,004005	0,516	0,004580	0,639	0,005195
0,404	0,004020	0,519	0,004595	0,644	0,005220
0,407	0,004035	0,522	0,004610	0,647	0,005235
0,411	0,004055	0,526	0,004630	0,651	0,005255
0,415	0,004075	0,53	0,004650	0,656	0,005280
0,418	0,004090	0,534	0,004670	0,661	0,005305
0,422	0,004110	0,538	0,004690	0,666	0,005330
0,425	0,004125	0,542	0,004710	0,67	0,005350
0,43	0,004150	0,547	0,004735	0,675	0,005375
0,434	0,004170	0,551	0,004755	0,681	0,005405
0,444	0,004220	0,556	0,004780	0,687	0,005435
0,445	0,004225	0,562	0,004810	0,692	0,005460
0,45	0,004250	0,568	0,004840	0,699	0,005495
0,456	0,004280	0,574	0,004870	0,704	0,005520
0,461	0,004305	0,58	0,004900	0,71	0,005550
0,467	0,004335	0,586	0,004930	0,717	0,005585
0,474	0,004370	0,594	0,004970	0,724	0,005620
0,481	0,004405	0,602	0,005010	0,732	0,005660
0,488	0,004440	0,61	0,005050	0,741	0,005705
0,497	0,004485	0,62	0,005100	0,751	0,005755
0,508	0,004540	0,63	0,005150	0,762	0,005810
0,518	0,004590	0,64	0,005200	0,774	0,005870
0,53	0,004650	0,653	0,005265	0,787	0,005935
0,544	0,004720	0,669	0,005345	0,802	0,006010
0,562	0,004810	0,686	0,005430	0,821	0,006105
0,581	0,004905	0,707	0,005535	0,845	0,006225
0,609	0,005045	0,737	0,005685	0,875	0,006375
0,647	0,005235	0,775	0,005875	0,918	0,006590

Niepewność prądu anodowego

Jako że wykresy są w skali logarytmicznej, trzeba uwzględnić niepewność logarytmu natężenia, a więc

Y = ln(I)

$$u(Y) = \sqrt{{(\frac{\partial Y}{\partial I})}^{2} \cdot u^{2}(I)} = \frac{1}{I} \cdot u(I)$$

Gdzie:

$$u(I) = \sqrt{\frac{\text{ΔI}^{2}}{3} + \frac{\text{ΔI}_{e}^{2}}{3}}$$

$$\text{ΔI} = \frac{\text{Klasa} \cdot \text{Zakres}}{100} = \frac{0,2 \cdot 30\text{μA}}{100} = 0,06\ \text{μA}$$

$$\text{ΔI}_{e} = \frac{\text{Zakres}}{2 \cdot \text{Liczba}\ \text{dzia}l\text{ek}} = \frac{30\text{μA}}{2 \cdot 150} = 0,1\ \text{μA}$$

A więc

$$\text{\ \ }u\left( I \right) = \sqrt{\frac{{0,06}^{2}}{3} + \frac{{0,1}^{2}}{3}} = 0,06733\ \text{μA}$$

Czyli dla każdego pomiaru prądu niepewność wynosi:

Ia[µA]	u(Ia) [µA]
2	0,03367
3	0,02244
4	0,01683
5	0,01347
6	0,01122
7	0,00962
8	0,00842
9	0,00748
10	0,00673
11	0,00612
12	0,00561
13	0,00518
14	0,00481
15	0,00449

16	0,00421
17	0,00396
18	0,00374
19	0,00354
20	0,00337
21	0,00321
22	0,00306
23	0,00293
24	0,00281
25	0,00269
26	0,00259
27	0,00249
28	0,00240
29	0,00232
30	0,00224

Wykresy z uwzględnionymi niepewnościami pomiarów napięć i prądu anodowego:

Niepewność temperatury katody

Korzystamy z poniższego wzoru w celu wyznaczenia temperatury

$$T = \frac{- e}{\text{kB}}$$

wartość k i e dobieramy z tablic pomijając ich niepewność natomiast B jest jest współczynnikiem nachylenia która wyznaczył program Origin

Wzór na niepewność temperatury:

$$u\left( T \right) = \sqrt{\left( \frac{\partial T}{\partial B} \right)^{2} \cdot u^{2}\left( B \right)}$$

$$u\left( T \right) = \frac{e}{\text{kB}^{2}} \cdot u(B)$$

Dla wykresu U_ż=4,6V

B=-10,9236

u(B)=0,02219

T₁=1062,34 [K]

u(T)=2,158

U(T)=4,316

Dla wykresu U_ż =5,2V

Dla B=-10,30291

u(B)=0,01763

T₂=1126,34 [K]

u(T)=1,927

U(T)=3,85

Dla wykresu U_ż =5,8V

Dla B=-9,6891

u(B)=0,0322

T₃=1197,69 [K]

u(T)=3,98

U(T)=7,961

Końcowo

T₁=(1062,34±4,32) [K]

T₂=(1126,34±3,85)[K]

T₃=(1197,69±7,96)[K]

Niepewność prądu termoemisji

Korzystamy ze wzoru

I_e = e^A

Gdzie:

A- jest to punkt przecięcia się wykresu ln(I)=f(U) z osią y.

$$u\left( I_{e} \right) = \sqrt{\left( \frac{\partial I_{e}}{\partial A} \right)^{2} \cdot u^{2}\left( A \right)}$$

u(I_e) = e^A ⋅ u(A)

Dla wykresu U_ż=4,6V

A=-6,07196

u(A)=0,0106

u(I_e) = 2, 44 * 10⁻⁵

Dla wykresu U_ż =5,2V

A=-5,13466

u(A)=0,01052

u(I_e) = 6, 1953 * 10⁻⁵

Dla wykresu U_ż =5,8V

Dla A=-4,2362

u(A)=0,0234

u(I_e) = 3, 384 * 10⁻⁵

Niepewność pracy wyjścia

Obliczamy z poniższego wzoru

$$u(W) = \sqrt{{(\frac{\partial W}{\partial T_{1}})}^{2} \cdot u^{2}(T_{1}) + {(\frac{\partial W}{\partial T_{2}})}^{2}{\cdot u}^{2}(T_{2}) + {(\frac{\partial W}{\partial I_{e1}})}^{2} \cdot u^{2}(I_{e1}) + {(\frac{\partial W}{\partial I_{e2}})}^{2} \cdot u^{2}(I_{e2})}$$

Gdzie:

Pochodna po T₁

$$\frac{\partial W}{\partial T_{1}} = \frac{- 2k \cdot T_{2}}{T_{1} - T_{2}} + ln\lbrack(\frac{I_{e1}}{I_{e2}}) \cdot (\frac{T_{2}^{2}}{T_{1}^{2}})\rbrack \cdot (\frac{k \cdot T_{2} \cdot (T_{1} - T_{2}) - k \cdot T_{1} \cdot T_{2}}{{(T_{1} - T_{2})}^{2}})$$

Pochodna po T₂

$$\frac{\partial W}{\partial T_{2}} = \frac{2k}{T_{1} - T_{2}} + ln\lbrack(\frac{I_{e1}}{I_{e2}}) \cdot (\frac{T_{2}^{2}}{T_{1}^{2}})\rbrack \cdot (\frac{k \cdot T_{1} \cdot (T_{1} - T_{2}) + k \cdot T_{1} \cdot T_{2}}{{(T_{1} - T_{2})}^{2}})$$

Pochodna po I_e1

$$\frac{\partial W}{\partial I_{e1}} = \frac{k \cdot T_{1} \cdot T_{2}}{(T_{1} - T_{2}) \cdot I_{e1}}$$

Pochodna po I_e2

$$\frac{\partial W}{\partial I_{e2}} = \frac{- k \cdot T_{1} \cdot T_{2}}{(T_{1} - T_{2}) \cdot I_{e2}}$$

Dzięki odpowiednim przekształceniom niepewności pomiaru pracy wyjścia wynoszą odpowiednio

• u₁₂(W) = 7, 21501 * 10⁻²⁰ J 

Niepewność rozszerzona:

U₁₂(W) = 2 ⋅ u₁₂(W)=14, 43002 ⋅ 10⁻²⁰J ≈ 1, 4 ⋅ 10⁻¹⁹J

• u₁₃(W) = 5, 92173 * 10⁻²⁰ J 

Niepewność rozszerzona:

U₁₃(W) = 2 ⋅ u₁₃(W)=11, 84346 ⋅ 10⁻²⁰J ≈ 1, 2 ⋅ 10⁻¹⁹J

• u₂₃(W) = 7, 28179 * 10⁻²⁰ J 

Niepewność rozszerzona:

U₂₃(W) = 2 ⋅ u₂₃(W)=14, 56358 ⋅ 10⁻²⁰J ≈ 1, 5 ⋅ 10⁻¹⁹J

Końcowy wynik pomiaru pracy wyjścia

$$W_{12} = (2,1 \pm 1,4) \cdot 10^{- 19}\frac{\text{kg} \cdot m^{2}}{s^{2}}$$

$$W_{13} = (2 \pm 1,2) \cdot 10^{- 19}\frac{\text{kg} \cdot m^{2}}{s^{2}}$$

$$W_{23} = (2,1 \pm 1,5) \cdot 10^{- 19}\frac{\text{kg} \cdot m^{2}}{s^{2}}$$

5.Wnioski

-Wykorzystując wartość pracy wyjścia elektronu, możemy oszacować materiał z jakiego została wykonana katoda.

-Ze względu na zmiany temperatury katody niepewności pracy wyjścia miały duże wartości

-Wykorzystanie prostej Richardsona pozwala na bezdotykowe i bezpieczne zmierzenie wysokiej temperatury katody.