Notatki fizyka

Siła

- Nadaje ciałom przyśpieszenie.

- Oddziaływania dzielimy na:

a.) Oddziaływania kontaktowe (zgniatanie sprężynki)

b.) Oddziaływania poprzez pola (grawitacja )

- Siła ma charakter wektorowy. .

- Niezrównoważona siła przyłożona do ciała powoduje, że ono przyspiesza.

Pierwsze prawo (zasada dynamiki) Newtona:

• Jeżeli wypadkowa siła sił działających na ciało jest równa zeru, to nie może zmienić się jego prędkość, czyli nie może ono przyśpieszyć.

• Ciało na które nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej.

Układy inercjalne

- Układ odniesieniam w którym obowiązuje pierwsze prawo Newtona nazywa się układem inercjalnym.

- Przykłady układów nieinercjalnych:

a.) przyspieszający samochód;

b.) samochód wchodzący w zakręt;

c.) powierzchnia Ziemi;

Drugie prawo (zasada dynamiki) Newtona

Siła wypadkowa działająca na ciało jest równa iloczynowi jego masy i przyśpieszenia.

$$\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a}\text{\ \ \ }\left\lbrack N \right\rbrack = \lbrack\frac{kg \bullet m}{s^{2}}\rbrack$$

- Siła ma charakter wektorowy – ma taki sam kierunek i zwrot co przyśpieszenie (m > 0).

- Ruchy względem różnych osi są niezależne od siebie (wektor).

- Masa jest miarą bezwładności ciała – im większa tym większej siły potrzeba, żeby nadać ciału dane przyspieszenie.

Siła dośrodkowa

$$\overrightarrow{F} = - \frac{mv^{2}}{r}\hat{r}$$

Trzecie prawo (zasada dynamiki) Newtona

Gdy dwa ciała oddziałują ze sobą, siły, z jakimi działają one na siebie mają taką samą wartość bezwzględną i przeciwne kierunki.

$$\overrightarrow{F_{\text{AB}}} = - \overrightarrow{F_{\text{BA}}}\text{\ \ }$$

Siły te nie równoważą się – są przyłożone do różnych ciał.

Siła grawitacji (blisko powierzchni Ziemi) F_g=mg

- Ciężar W jest równy wartości bezwzględnej siły ciężkości działającej na to ciało.

- Ciężar nie jest tym samym co masa.

Siła normalna

- Utrzymuje ciało na danej powierzchni.

Naprężenie

- Siła działająca na nić skierowana wzdłuż nici.

Tarcie

- Jest to siła działająca wzdłuż powierzchni styku przeciwnie do kierunku, w którym ma zachodzić ruch.

- Wynika z chropowatości (na poziomie mikroskopowym) stykających się warstw.

- Dwa rodzaje tarcia:

a.) statyczne - równoważy przyłożoną siłę do ciała gdy ono pozostaje jeszcze w spoczynku; ma wartość maksymalną przy której ciało zaczyna się poruszać;

b.) kinetyczne - jest w przybliżeniu stałe; występuje podczas ruchu;

- Moduły rodzaje tarcia zależą od modułu siły normalnej.

f_s= µ_sN f_k= µ_kN

µ -współczynniki tarcia (s – statycznego, k – kinetycznego).

Opory aero- i hydrodynamiczne

$$D = \frac{1}{2}\text{CρS}v^{2}$$

C – współczynniki oporu aerodynamicznego

S – pole przekroju poprzecznego ciała prostopadłego do kierunku prędkości

v – prędkość ciała

ρ – gęstość ośrodka

Jeżeli spadek trwa wystarczająco długo to po pewnym czasie ustala się równowago pomiędzy siłą oporów a siłą grawitacji.

Podstawowe siły (dwa protony w bezpośrednim kontakcie)

- Grawitacyjne 10^-39

- Elektromagnetyczne 10 ^-2

- Silne 1

- Słabe 10 ^-7

-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-

Praca

$W = \int_{A}^{B}{\overrightarrow{F}d\overrightarrow{r}}$ $\left\lbrack J \right\rbrack = kg\frac{m^{2}}{s^{2}}$

- Praca jest całką krzywoliniową z wektora siły wzdłuż danej drogi.

- Pracę wykonuje tylko składowa siły równoległa do przemieszczenia.

- Praca jest polem pod wykresem składowej siły równoległej do toru i przemieszczenia wzdłuż tej krzywej.

Praca dla stałej siły

F=const → W = F • s • cosα

Energia kinetyczna

Z definicji siły: $\overrightarrow{F} = \frac{d\overrightarrow{v}}{\text{dt}}$

Praca związana z rozpędzaniem ciała na odcinku czasu od t_A do t_B to:

$$W_{\text{AB}} = \frac{m{v_{B}}^{2}}{2} - \frac{m{v_{A}}^{2}}{2}$$

Praca jest różnicą dwóch wielkości, które zależą od prędkości początkowej i końcowej ciała

Energia kinetyczna ciała o masie m poruszającego się z prędkością v wynosi:

$E_{k} = \frac{mv^{2}}{2}$ [J]

- Energia kinetyczna związana jest ze stanem ruchu ciała. Im szybciej ciało się porusza tym większą ma energię kinetyczną.

- Jeżeli ciało zmienia prędkość, to zmienia się również jego energia kinetyczna. (zmiana prędkości – działanie siły – wykonanie pracy przez siłę)

- Gdy ciało spoczywa to jego energia kinetyczna (względem danego układu wsp. ) jest zerowa.

Praca a energia kinetyczna

E_k = E_k kons − E_{k pocz} = W ∖ nE_k konc =  E_{k pocz} +  W

Praca W jest to energia przekazana ciału lub od niego odebrana na drodze działania na ciało siłą. Gdy energia jest przekazana ciału, praca jest dodatnia, gdy energia jest odebrana ciału, praca jest ujemna.

Praca sił ciężkości

W_g=±mgd

+ ciało jest podnoszone

- ciało spada

Prawo Hooke'a :

$$\overrightarrow{F} = - k\overrightarrow{d}\text{\ \ }$$

k – stała sprężystości (stała siłowa)

Praca sił sprężystości

$$W_{\text{AB}} = \frac{1}{2}k{x_{A}}^{2} - \frac{1}{2}k{x_{B}}^{2}$$

Praca jest dodatnia, gdy położenie końcowe klocka jest bliższe końca sprężyny nieodkształconej (x=0) niż położenie początkowe. W przeciwnym przypadku jest ona ujemna. Gdy odległość początkowa i końcowa są równe to praca jest zerowa.

Siły zachowawcze

W_1AB+W_2AB =0

W_1AB=-W_2BA

W_1AB =W_2AB

- Siła jest zachowawcza jeżeli jej praca wykonana nad ciałem poruszającym się po drodze zamkniętej jest równa zeru.

- Praca wykonana przez siłę zachowawczą nad cząstką przemieszczającą się między dwoma punktami nie zależy od drogi, po jakiej porusza się cząstka.

Przykłady

- Siły zachowawcze:

a.)siła grawitacji

b.) siła sprężystości

- Siły niezachowawcze:

a.) tarcie

Energia potencjalna

- Istnieją przypadki w których siła potencjalna wykonała pracę, a nie zmieniła się energia kinetyczna (podniesienie ciała na wysokość h w polu grawitacyjnym)

- W takich przypadkach układ ciał ( Ziemia cząstka ) zyskuje dodatkową „zdolność” do wykonania pracy, której nie może opisać energia kinetyczna.

- W takich przypadkach wprowadza się energię potencjalną.

ΔEp=-W

- Zmiana energii potencjalnej jest równa minus pracy wykonanej nad ciałem przez siłę potencjalną.

- Energia potencjalna dotyczy układów ciał !

Energia potencjalna sprężystości

$$E_{p} = \frac{1}{2}kx^{2}$$

Zasada zachowania energii mechanicznej

ΔE_mech=E_k+E_p=0

- W układzie izolowanym, w którym zmiana energii pochodzi jedynie od sił zachowawczych energia kinetyczna i energia potencjalna mogą się zmieniać, lecz ich suma czyli energia mechaniczna E_mech nie może ulec zmianie.

- Całkowita energia układu izolowanego nie może się zmieniać.

- Układ izolowany od otoczenia to taki który nie wymienia energii z otoczeniem.

- Dla układu izolowanego możemy powiązać całkowitą energię w pewnej chwili czasu z energią całkowitą w innej chwili czasu bez znajomości energii w chwilach pośrednich.

Zasada zachowania energii mechanicznej

Obecność tarcia

F=T∙cos()

F_d-f_kd=ΔE_k

ΔE_term=f_kd

W=ΔE_mech+ΔE_term

Moc

$P_{sr} = \frac{W}{t}$ $P = \frac{\text{dW}}{\text{dt}}$ $P = \overrightarrow{F}\overrightarrow{v}$ $\left\lbrack W \right\rbrack = \lbrack\frac{J}{s}\rbrack$

Praca wykonana jest polem pod wykresem zależności mocy od czasu (całka z mocy po czasie).

D.Halliday, R.Resnick, J.Walker „Podstawy

fizyki” tom 1, rozdziały 9-10 + zadania

Środek masy

Rozpatrzmy ruch kilku cząstek przy pomocy II prawa Newtona.

Załóżmy, że ruch układu możemy reprezentować przy pomocy pewnego szczególnego punktu (zwanego środkiem masy), na który działają jedynie siły zewnętrzne (suma sił wewnętrznych znika na mocy III prawa Newtona).

Łatwo sprawdzić (poprzez dwukrotne różniczkowanie), że środek masy jest z definiowany następująco:

$$\overrightarrow{r_{s}} = \frac{\sum_{i}^{}{m_{i}\overrightarrow{r_{i}}}}{\sum_{i}^{}m_{i}}$$

Prędkość środka masy

Zróżniczkowanie definicji środka masy daje:

$\overrightarrow{v_{s}} = \frac{\sum_{i}^{}{m_{i}\overrightarrow{v_{i}}}}{\sum_{i}^{}m_{i}}$ $\overrightarrow{v_{s}} = \frac{d\overrightarrow{r_{s}}}{\text{dt}}$ $\overrightarrow{v_{i}} = \frac{d\overrightarrow{r_{i}}}{\text{dt}}$

Środek masy – rozkłady ciągłe

$\overrightarrow{r_{s}} = \frac{1}{M}\int_{}^{}{\overrightarrow{r}\text{dm}}$ M = ∫dm

Warto wykorzystać definicję gęstości (objętościowej, powierzchniowej, liniowej):

$$\rho = \frac{\text{dm}}{\text{dV}},\ \ \ \ \mu = \frac{\text{dm}}{\text{dS}},\ \ \ \ \lambda = \frac{\text{dm}}{\text{dx}}$$

Pęd

$\overrightarrow{p} = m\overrightarrow{v}\ \ \ \ \lbrack kg \bullet \frac{m}{s}\rbrack$

- Pęd cząstki jest iloczynem jej masy i prędkości,

- Jest to wielkość wektorowa.

Jednostką pędu jest kg * m/s.

Pęd i II zasada dynamiki

$$\frac{d\overrightarrow{p}}{\text{dt}} = \overrightarrow{F_{\text{wyp}}}$$

ponieważ: $\overrightarrow{F_{\text{wyp}}} = \frac{d\overrightarrow{p}}{\text{dt}} = \frac{d}{\text{dt}}\left( m\overrightarrow{v} \right) = \left\{ stala\ masa \right\} = m\frac{d\overrightarrow{v}}{\text{dt}} = m\overrightarrow{a}$

Pęd układu cząstek

$$\overrightarrow{P} = \sum_{i}^{}{\overrightarrow{p_{i}} =}\sum_{i}^{}\overrightarrow{mv_{i}}$$

Z definicji prędkości środka masy układu otrzymujemy:

$$\overrightarrow{P} = (\sum_{i}^{}m_{i})\overrightarrow{v_{i}}$$

Więc dla układu cząstek o niezmiennej masie II prawo Newtona to

gdyż zachodzi:

$$\frac{d\overrightarrow{P}}{\text{dt}} = \overrightarrow{F_{\text{wyp}}}$$

Zasada zachowania pędu

- Jeżeli na układ nie działają siły zewnętrzne lub ich wypadkowa jest równa zeru to całkowity pęd układu nie ulega zmianie.

- Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych wzdłuż pewnego kierunku znika to pęd wzdłuż tego kierunku jest zachowany ( pęd jest wektorem).

- Gdy zdarzenie zachodzi szybko to czasami pęd można w przybliżeniu uznać za zachowany (tylko na małym odcinku czasu).

- Układ izolowany – układ w którym wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ cząstek równa jest zeru.

$\frac{d\overrightarrow{P}}{\text{dt}} = 0 \Longrightarrow \overrightarrow{P} = const$, czyli ${\overrightarrow{P}}_{\text{pocz}} = {\overrightarrow{P}}_{konc}$

- Jak zawsze jest to układ trzech równań na składowe !

- Zasada zachowania pędu często jest stosowana z zasadą zachowania energii.

Układy o zmiennej masie - rakieta

W układzie środka masy zachodzi :

m dv − u dm = 0 ∖ ndm = −dM ∖ nM dv = −u dM

Całkując otrzymamy:

$$\int_{\text{V\ pocz}}^{\text{V\ konc}}{dv = - u\ \int_{\text{M\ pocz}}^{\text{M\ konc}}\frac{\text{dM}}{M}}$$

Otrzymujemy wzór Ciołkowskiego:

$$v_{\text{konc}} - v_{\text{pocz}} = u\ ln\frac{M_{\text{pocz}}}{M_{\text{konc}}}\backslash n$$

M dv = −u dM

$$M\frac{\text{dv}}{\text{dt}} = - u\frac{\text{dM}}{\text{dt}}$$

$R: = - u\frac{\text{dM}}{\text{dt}}$ szybkość z jaką rakieta spala paliwo

T : =Ru = Ma ciąg rakiety

Przy powierzchni Ziemi działa przyśpieszenie i równanie modyfikuje się :

$$\frac{\text{dv}}{\text{dt}} = - \frac{1}{M}\frac{\text{dM}}{\text{dt}}u - g$$

Zderzenia

- Zderzenie zachodzi wtedy, gdy dwa lub więcej ciał (partnerów zderzenia) działa na siebie stosunkowo dużymi siłami w stosunkowo krótkim przedziale czasu.

Pęd i popęd siły

Z II zasady dynamiki Newtona

$$d\overrightarrow{p} = \overrightarrow{F}\left( t \right)\text{dt}$$

co po scałkowaniu daje

$$\int_{\overrightarrow{\text{p\ }}p\text{ocz}}^{\overrightarrow{p}\text{\ konc}}{d\overrightarrow{p} =}\int_{\text{t\ pocz}}^{\text{t\ konc}}{\overrightarrow{F}\left( t \right)\text{dt}}$$

${\overrightarrow{p}}_{\text{konc}} - {\overrightarrow{p}}_{\text{pocz}} = \overrightarrow{J}$, $\overrightarrow{J} \int_{\text{t\ pocz}}^{\text{t\ konc}}{\overrightarrow{F}\left( t \right)\text{dt}}$ popęd siły ( kg x m/s - jednostka pędu)

$$\overrightarrow{\left| J \right|} = F_{sr}t$$

- Popęd siły informuje nas jak zmienił się wektor pędu.

- Jest to wielkość wektorowa.

Gdy cząstka po odbiciu:

- zatrzyma się:

-zmieni zwrot prędkości (efektywniejsze):

Energia i pęd w zderzeniach

- Układ zamknięty to taki w którym masa nie ulega zmianie.

- Układ izolowany to taki w którym wypadkowa sił zewnętrznych działających na ciała w układzie znika.

- Zderzenia sprężyste zachodzi, gdy zachowana jest całkowita energia kinetyczna układu. W przeciwnym wypadku jest to zderzenie niesprężyste.

- Zderzenia całkowicie niesprężyste zachodzą, gdy tracone jest najwięcej energii kinetycznej, na które pozwala zasada zachowania pędu.

- Jeżeli zderzenie zachodzi w układzie zamkniętym i izolowanym to pędy zderzających się ciał mogą się zmieniać, lecz całkowity pęd układu nie może ulec zmianie, niezależnie od tego, czy zderzenie jest sprężyste, czy niesprężyste.

Zderzenia idealnie sprężyste

- Spełniona jest zasada zachowania energii.

- Spełniona jest zasada zachowania pędu.

Kąty pomiędzy cząstkami najłatwiej obliczać podnosząc zasadę zachowania pędu (po przekształceniach) do kwadratu i zastosować wzór:

Przypadki szczególne zderzeń 1D

Ciała o jednakowych masach

Tarcza o bardzo dużej masie

Pocisk o bardzo dużej masie

Zderzenia niesprężyste

- Spełniona jest zasada zachowania pędu.

- Bilans energii kinetycznej NIE jest zachowany – część energii ( energia wzbudzenia ) wydziela się w postaci ciepła, dźwięku lub powiększa energię wewnętrzną ciała itp.

Zderzenia całkowicie niesprężyste w jednym wymiarze

Zderzenia całkowicie niesprężyste

Zderzenia w dwóch wymiarach

-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-

Ruch obrotowy

- Ciało sztywne to ciało którego odległość dwóch dowolnych punktów od siebie pozostaje stała.

- Ruch obrotowy to ruch wokół stałej osi zwanej osią obrotu.

Przemieszczenie kątowe

$$\theta = \frac{s}{r},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \theta = \theta_{2} - \theta_{1}$$

Wielkości te wyrażamy w radianach.

Prędkość kątowa

Średnia prędkość kątowa:

$$\omega_{sr} = \frac{\theta_{2} - \theta_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{\theta}{t}$$

Prędkość kątowa (chwilowa):

$$\omega = \operatorname{}\frac{\theta}{\omega} = \frac{\text{dθ}}{\text{dt}}$$

- Jest to „wektor” (pseudowektor), którego kierunek wyznaczony jest przez oś obrotu, a zwrot Jest zgodny z regułą prawej dłoni.

- Prędkość kątowa mierzona jest w rad/s.

Związek między prędkością liniowa i kątową

Różniczkując po czasie: s = θr

otrzymamy: $\frac{\text{ds}}{\text{dt}} = \frac{\text{dθ}}{\text{dt}}r$

czyli: v = ωr

Ogólnie: $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{r}$

Okres obiegu przy stałej prędkości: $T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi}{\omega}$

Przyśpieszenie kątowe

$$\alpha_{sr} = \frac{\omega_{2} - \omega_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{\omega}{t}$$

$$\alpha = \operatorname{}\frac{\omega}{t} = \frac{\text{dω}}{\text{dt}}$$

Jest to również „wektor” o kierunku zgodnym z osią obrotu i zwrotem:

- zgodnym z prędkością kątową - prędkość kątowa się zwiększa;

- przeciwnym do prędkości kątowej – prędkość kątowa się zmniejsza;

Jednostka przyśpieszenia kątowego to rad/s^2.

Przyśpieszenia w ruch po obrotowym

- Wyobraźmy sobie okrąg ( r=const ) po którym porusza się wybrany punk ciała P w czasie obrotu dookoła pewnej osi.

- Położenie tego punktu w dowolnej chwili czasu opisuje wektor wodzący.

$$a_{\text{stopniach}} = r\alpha,\ \ \ a_{\text{rad}} = r\omega^{2} = \frac{v^{2}}{r}\ $$

Energia kinetyczna w ruchu obrotowym

$$E_{k} = \frac{1}{2}\sum_{i}^{}{m_{i}{v_{i}}^{2}}$$

$$E_{k} = \frac{1}{2}\sum_{i}^{}{m_{i}{(\omega r_{i})}^{2}} = \frac{1}{2}\left( \sum_{i}^{}{m_{i}{r_{i}}^{2}} \right)\omega^{2}$$

$I \sum_{i}^{}{m_{i}{r_{i}}^{2},\ \ \ \ \text{\ \ \ \ \ }\ I \int_{}^{}r^{2}\text{dm}}$ Moment bezwładności [kg • m²]

Twierdzenie Steinera

I = I_cm + md²

Moment siły

- Moment siły mówi jak siła wpływa na ruch obrotowy ciała (składowa styczna).

Ogólnie zachodzi:

Jednostką momentu siły jest N * m.

Druga zasada dynamiki ruchu obrotowego

Dla wielu sił otrzymujemy:

Praca i moc w ruchu obrotowym

Elementarna praca wykonana nad ciałem sztywnym to

Zatem całkowita praca jest „sumą” (całką) prac elementarnych:

Moc z definicji wynosi:

Jeżeli moment siły jest stały to praca wynosi:

Jest ona równa różnicy energii kinetycznej pomiędzy stanem 2 i 1:

Toczenie się ciała

- Toczenie jest złożeniem ruchu obrotowego i ruchu prostoliniowego.

- Warunek braku poślizgu ma postać:

Różniczkując po czasie otrzymamy związek między przyśpieszaniami:

Energia kinetyczna dla ruchu tocznego

- Jest to energia ruchu obrotowego, jednak oś obrotu przechodzi przez punkt P styku koła   podłożem.

Z twierdzenia Steinera otrzymujemy:

Energia kinetyczna przy toczeniu jest równa sumie energii ruchu obrotowego i energii ruchu postępowego środka masy.

Walec na równi - toczenie

Toczenie bez poślizgu:

Rozwiązanie to

Moment pędu

Jednostką momentu pędu jest kg*m^2/s.

Uwaga:

II zasada dynamiki Newtona ruchu obrotowego

Pomnóżmy wektorowo z prawej strony przez wektor położenia:

II zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego:

Układy wielu cząstek

Wzór ogólniejszy to:

Lecz tutaj I jest macierzą zwaną tensorem bezwładności ciała.

Zasada zachowania momentu pędu

- Jeżeli działający na układ wypadkowy moment sił znika, to całkowitymoment pędu układu nie zmienia się niezależnie od tego, jakim zmianom podlega układ.

- Jeżeli wypadkowy zewnętrzny moment siły, działający na układ, ma składową wzdłuż pewnej osi równą zeru, to składowa całkowitego momentu pędu układu wzdłuż tej osi się nie zmienia, niezależnie od tego, jakim zmianom podlega układ.

Precesja

-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-

Siły zachowawcze

- Minimum – równowaga trwała;

- Maksimum – równowaga nietrwała;

Odcinek stały (brak zależności od położenia) – równowaga obojętna;

Ekstrema - siła

W położeniu równowagi wypadkowa sił znika.

Moment siły

W położeniu równowagi wypadkowy moment sił znika.

Warunki równowagi

a.) Warunki równowagi

- Suma wektorowa wszystkich sił zewnętrznych działających na ciało musi być równa zero.

- Suma wektorowa wszystkich działających na ciało momentów musi być równa zero.

b.) Warunki równowagi statycznej:

- Spełnione są warunki równowagi, a dodatkowo

- Pęd ciała musi być równy zero.

Układ równoważny

- Układ równoważny(sił i momentów sił), to taki, który spowoduje lub spowodowałby taki sam ruch. Układ ten ma taką sama wypadkową sił i taką samą sumę momentów sił.

- Siły możemy przesuwać wzdłuż linii ich działania.

- W dowolnym punkcie możemy przyłożyć o wypadkowej równej zeru.

- Momenty sił możemy przesuwać w dowolny punkt.

Układ równoważny - momenty

Środek ciężkości

- Środek ciężkości to efektywny punkt w którym przyłożona jest siła ciężkości działająca na to ciało.

- Jeżeli dla wszystkich punktów ciała przyśpieszenie jest takie samo (kierunek, zwrot i wartość) to środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy.

Uwagi

- Często otrzymuje się układy równań, w których jest więcej niewiadomych niż równań – układy nieoznaczone.

- Aby analizować takie układy należy wykorzystać teorię sprężystości.

Sprężystość

Naprężenie

- Naprężenie jest siłą przypadającą na jednostkę powierzchni odkształcanego ciała.

- W reżimie liniowym zachodzi prosta zależność (liniowa):

naprężenie = (moduł sprężystości) (odkształcenie)

Jednostką naprężenia jest N/m^2 = Pa (paskal)

Naprężenie rozciągające (zależność liniowa)

E – moduł Younga [Pa]

Naprężenie ścinające (zależność liniowa)

G – moduł ścinania (moduł Kirchhoffa) [Pa]

Naprężenie objętościowe (zależność liniowa)

K – moduł ściśliwości/sprężystości objętościowej [Pa]

Tensometr

- element służący do wyznaczania wydłużeń względnych Δl/l występujących w elementach konstrukcji

-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-

Grawitacja

Stała grawitacyjna: G=6,67×10-11 m3 /.kg×s2.

Superpozycja sił

- Przyciąganie mas ma charakter wektorowy, więc obowiązują zasady rachunku wektorowego, w tym możemy obliczyć wektor wypadkowy sił.

Grawitacja w pobliżu powierzchni Ziemi

W ogólności należy uwzględnić siłę odśrodkową.

Prawo Gaussa

- Przyśpieszenie grawitacyjne jest przyśpieszeniem jakie ma ciało próbne (o znikomej masie) w polu grawitacyjnym.

- Suma (całka) iloczynu skalarnego przyśpieszenia grawitacyjnego i normalnej do powierzchni po całej powierzchni jest proporcjonalna do masy zawartej w objętości, której brzegiem jest dana

powierzchnia.

- Prawo Gaussa jest przydatne jeżeli dodatkowo wykorzystamy symetrię, np. przewidujemy, że na pewnej powierzchni siła ma stałą wartość i kierunek względem wektora normalnego do powierzchni.

- Prawo Gaussa jest twierdzeniem matematycznym.

Pole we wnętrzu Ziemi

- We wnętrzu siła/przyspieszenie rośnie liniowo z odległością.

- Wkład do siły daje tylko ta masa, która znajduje się wewnątrz sfery o promieniu r – można ją uważać za skupioną w środku sfery.

- Siła rośnie wraz z odległością jak dla sprężyny.

- Na zewnątrz siła/przyśpieszenie maleje jak 1/r^2.

- Możemy skupić całą masę w r=0.

Wnioski z prawa Gaussa

- Ciało w kształcie jednorodnej powłoki kulistej przyciąga cząstkę tak, jak gdyby cała masa powłoki skupiona była w jej środku.

- Wypadkowa sił grawitacyjnych, jaką ciało w kształcie jednorodnej powłoki kulistej działa na cząstkę znajdującą się wewnątrz powłoki, jest równa zeru ( w środku powłoki nie ma masy ).

Grawitacyjna energia potencjalna

Pole grawitacyjne jest polem zachowawczym – praca nie zależy od drogi- więc ma sens definicja energii potencjalnej.

Proszę sprawdzić, że pochodna energii potencjalnej po promieniu daje siłę.

Prędkości kosmiczne

Pierwsza p.k. - prędkość z jaką porusza się satelita tuż przy powierzchni Ziemi:

Druga p.k. - prędkość jaką należy nadać ciału, aby w nieskończoności spoczywało:

Prawa Keplera

I: Wszystkie planety poruszają się po orbitach w kształcie elipsy, w której ognisku znajduje się Słońce. ( W polu grawitacyjnym ciała poruszają się po krzywych stożkowych)

II: Linia łącząca planetę ze Słońcem zakreśla w jednakowych odstępach czasu jednakowe pola powierzchni w płaszczyźnie orbity; inaczej mówiąc wielkość dS/dt, przy czym S jest polem powierzchni zakreślonym przez tą linię, jest stała.

III: Kwadrat okresu ruchu każdej planety na orbicie wokół Słońca jest proporcjonalny do sześcianu półosi wielkiej orbity.

Orbity kołowe

Dla orbit eliptycznych wzór również jest prawdziwy po zastąpieniu r (promień okręgu) przez a 

( duża półoś elipsy).

Ogólna Teoria Względności (Einsteina)

- Krzywizna = Energia

- Jest to równanie na metrykę – funkcję która zadaje iloczyn skalarny wektorów (ich długość i kąty).

- Ciało swobodne porusza sił wzdłuż geodetyk (dla płaskiej przestrzeni są to linie proste, w ogólnym przypadku nie).

-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-

Ruch okresowy

Jednostką częstości jest Hertz: 1Hz = 1/s (1 pełne drganie na sekundę)

- Ruch okresowy to ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu.

- Okres ruchu T jest czasem w jakim wykonywane jest jedno pełne drganie.

- Częstość . jest liczbą pełnych drgań (cykli) podzieloną przez czas w którym te drgania zaszły.

Ruch harmoniczny

Xm - amplituda

- faza

- faza początkowa

-– częstość kątowa (kołowa)

Okres to czas w którym faza zwiększy się o 2. (proszę sprawdzić):

- Ruch harmoniczny jest szczególnym przypadkiem ruchu okresowego.

- Siła jest proporcjonalna do wychylenia !!!

Energia w ruchu harmonicznym

Trochę matematyki – uniwersalność ruchu drgającego

x(t) – może być dowolną funkcją opisującą wychylenie, ciśnienie, kąt, ładunek.

Jeżeli jest dla niej spełnione powyższe równanie to zachodzi ruch harmoniczny dla wielkości opisywanej zmienną x(t).

Rozwiązanie ogólne powyższego równania (proszę sprawdzić przez podstawienie) to:

Liniowy oscylator harmoniczny

Siła grawitacji nie wpływa na ruch - jest równoważona przez początkowe rozciągnięcie sprężyny:

Należy przesunąć początek układu do położenia równowagi:

Wahadło torsyjne

II zasada dynamiki ruchu obrotowego:

Wahadło fizyczne

Dla małych wychyleń:

II zasada dynamiki ruchu obrotowego:

Okres drgań „wahadła matematycznego” znał Galileusz – doprowadziło do powstania

pierwszego zegara wahadłowego.

Wahadło nie drga, gdy punkt zaczepienia znajduje się w środku masy.

Każdemu wahadłu fizycznemu odpowiada wahadło matematyczne o takim samym okresie;

Taka długość wahadła matematycznego nazywa się długością zredukowaną.

Ruch jednostajny po okręgu a ruch

- Położenie w ruchu harmonicznym jest rzutem ruchu po odpowiednim okręgu na oś x (lub y).

- Prędkość w r.h. jest rzutem prędkości stycznej na wybraną oś.

- Przyśpieszenie w r.h. jest rzutem przyśpieszenia dośrodkowego na wybraną oś.

Drgania tłumione

Siła oporu (b – stała tłumienia [kg/s]) :

II prawo Newtona ( równanie różniczkowe na x(t) ):

Rozwiązanie:

ruch pełzający

(Przykłady: tłumiki drgań, prawidłowo zaprojektowane mosty)

Logarytmiczny dekrement tłumienia:

Energia:

Energia jest tracona i układ w końcu przestanie drgać.

Drgania wymuszone

Harmoniczna siła wymuszająca :

II prawo Newtona:

Rozwiązanie:

Amplituda zależy od częstości kątowych, tłumienia i amplitudy siły wymuszającej.

- Im mniejsze tłumienie tym większa amplituda drgań....

- W pewnym momencie następuje wyjście z reżimu liniowego...

- Może nastąpić zniszczenie ciała przy małym tłumieniu...

Drgania harmoniczne 2D

Złożenie dwóch niezależnych drgań wzdłuż prostopadłych kierunków:

daje figury Lissajousa.

Fala

fala harmoniczna (= sinusoidalna)

v – prędkość fali

Fale - rodzaje

- Fale mechaniczne – jest to zaburzenie rozchodzące się w ośrodku sprężystym i przenoszące energię bez przenoszenia masy; podlegają zasadom Newtona, występują w ośrodku (fale na wodzie)

- Fale elektromagnetyczne – drgania pola elektromagnetycznego przenoszące energię i nie przenoszące ładunków ani masy (światło, fale radiowe)

- Fale materii – fale prawdopodobieństwa znalezienia cząstki (elektronu, protonu); o tym odrobinę później...

Podział

- Fala poprzeczna – wychylenie jest prostopadłe do kierunku ruchu fali (fala elektromagnetyczna)

- Fala podłużna – wychylenie jest równoległe do kierunku ruchu (fala dźwiękowa)

Opis fali

amplituda

liczba falowa ( jednowymiarowy wektor falowy) [1/m]

częstość kołowa [rad/s]

długość fali [m] (odległość przestrzenna między punktami o tym samym wychyleniu przy ustalonym czasie)

T okres [s] (odległość czasowa między punktami o tym samym wychyleniu przy ustalonym położeniu)

częstość fali [Hz = 1/s] liczba drgań wykonanych w jednostce czasu

Prędkość fali

Wybieramy dowolny punkt na fali, dla którego faza ma określoną wartość:

pochodna po czasie daje:

Superpozycja fal

- Zasada superpozycji: Nakładające się fale dodają się algebraicznie, tworząc falę wypadkową.

- Nakładające się fale w żaden sposób nie wpływają na siebie.

- UWAGA: Zasada superpozycji wynika z faktu, że równanie falowe jest liniowe (kombinacja liniowa fal jest również rozwiązaniem równania).

Interferencja fal

- Interferencją nazywamy nakładanie się co najmniej dwóch fal o takiej samej amplitudzie i częstości. (różnice faz mogą być różne).

- W zależności od różnicy faz mogą zachodzić dwa skrajne przypadki:

*Interferencja konstruktywna – fale się maksymalnie wzmacniają;

*Interferencja destruktywna – fale się maksymalnie wygaszają;

*oraz przypadki pośrednie...

Interferencja „ekstremalna”

Interferencja konstruktywna Interferencja destruktywna

Interferencja ogólnie

Interferencja destruktywna

Interferencja konstruktywna

Wskazy

- Ruch harmoniczny danego punktu x możemy uważać za rzut ruchu jednostajnego po okręgu wyimaginowanej cząstki.

- Każdej z fal przyporządkowujemy wektor (wskaz) obracający się z prędkością kątową równą częstości kątowej fali (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara).

- Kąt początkowy danego wskazu jest równy wartości fazy początkowej fali, którą opisuje.

- Wówczas wychylenie w danym punkcie w danej chwili czasu t jest rzutem sumy (wektorowej) wskazów na dany kierunek.

Fala stojąca

Fala stojąca powstaje podczas interferencji dwóch fal sinusoidalnych biegnących w przeciwnych kierunkach.

Amplituda zmienia się z położeniem x.

Węzły to punkty w których amplituda znika:

Strzałki to punkty w których amplituda jest maksymalna:

Fala stojąca – inny opis

Fala musi znikać na końcach:

Częstości fal (częstości rezonansowe) :

Zbiór wszystkich możliwych drgań własnych nazywamy szeregiem harmonicznym o liczbie harmonicznej n.

Fale stojące w 2D – figury Chladniego

Dudnienie

Ustalmy punkt x, wówczas suma fal to:

Dudnienia to nakładanie dwóch fal o zbliżonych częstościach.

Umowna amplituda zadana czynnikiem wolnozmiennym zmienia się od +1 do -1.

Ten cykl powtarza się 2x w ciągu okresu zmian amplitudy.

Częstość dudnień definiujemy jako:

Fale w 3D

W szczególności:

Fala kuliste to fala, której czoła (punkty o stałej fazie) to koncentryczne sfery:

Promienie to linie prostopadłe do czoła fali.

Interferencja w 3D

Różnica dróg:

Różnica faz związana z różnicą dróg:

Interferencja konstruktywna zachodzi dla

Interferencja destruktywna zachodzi dla

Fale dźwiękowe

Fala dźwiękowa jest falą mechaniczną rozchodząca się w ośrodku (ciecz, gaz, ciało stałe, plazma, ...). Jest to fala podłużna. Wychylenie z położenia równowagi są zmianami ciśnienia.

Fale dźwiękowe - prędkość

Fale dźwiękowe - amplituda

Fala dźwiękowa - energia

Fala dźwiękowa - natężenie

Natężenie jest określona jako szybkość przenoszonej energii przez falę (moc) podzieloną prze powierzchnię odbierającą dźwięk:

Jednostka: W/m^2 S

Zakładając, że:

mamy:

Fala dźwiękowa - głośność

Prawo psychofizyczne Webera – Fechnera mówi:

„Jeśli porównywane są wielkości bodźców, na naszą percepcję oddziałuje nie arytmetyczna różnica pomiędzy nimi, lecz stosunek porównywanych wielkości”

Definiujemy głośność:

próg słyszalności dla którego

Jednostką głośności są decybele dB.

Jest zależność logarytmiczna, nie liniowa !!!

Efekt Dopplera

v - prędkość dźwięku w danym ośrodku;

vo – prędkość odbiornika względem ośrodka; dodatnia, gdy odbiornik porusza się do źródła;

vz – prędkość źródła względem ośrodka; dodatni, gdy źródło porusza się od odbiornika;

Efekt Dopplera jest zmianą odbieranej częstości fali w stosunku do fali emitowanej na wskutek względnego ruchu źródła i odbiornika.

Efekt Dopplera – ruchomy odbiornik

Podczas ruchu obserwatora liczba napotkanych oscylacji jest większa.

Efekt Dopplera – ruchome źródło

Łącząc obydwa wzory otrzymujemy wzór ogólny w którym detektor i źródło się poruszają.

Fale uderzeniowe

kąt Macha

Efekty dla fal elektromagnetycznych

- Dla fal elektromagnetycznych również występuje efekt Dopplera:

*przesunięcie ku czerwieni, gdy obiekt się zbliża

*przesunięcie ku fioletowi, gdy obiekt się oddala

- „Fale uderzeniowe” występują, gdy cząstka porusza się szybciej od światła (w danym ośrodku, np. krysztale). Jest to promieniowanie Czerenkowa(niebieska poświata w reaktorach jądrowych).