POLITECHNIKA WROCŁAWSKA	KAMIL RYBAK 165338	Wydział: Elektryczny Rok Akademicki : 2011/2012 Specjalizacja: ASE Termin: Wtorek, godz.13.15-15.00
Metody Numeryczne - laboratorium
Data wykonania ćwiczenia: 03.04.2012	Temat: Metoda Newtona – Raphsona rozwiązywania układów równań
Data oddania sprawozdania: 29.05.2012
Prowadzący: Dr Piotr Pierz

1. Cel ćwiczenia:

Zapoznanie się z metodą Newtona – Raphson’a, rozwiązywania układów równań nieliniowych i określenie ich skuteczności działania.

Celem ćwiczenia jest rozwiązanie następującego układu równani:

f()=

Rysunek nr 1 wykres funkcji f()

2. Algorytm postępowania metody Newtona – Raphsona:

1. określamy wartości początkowe funkcji

2. przekształcamy funkcję do postaci , gdzie

3. obliczamy Jakobian, gdzie

4. obliczamy

5. dokonujemy podstawienia

6. wynik otrzymamy gdy zostanie osiągnięty warunek

M-plik programu:

%metoda Newtona-Raphsona

clear all

close all

LLI=18;

LLN=-2;

a=0:0.01:2*pi;

x2=0:0.01:0.78;

x1=0.5-LLN*x2.^2;

plot(sqrt(LLI)*cos(a),sqrt(LLI)*sin(a)) %wykres okręgu x1^2+x2^2=LLI

hold on

plot(x2,x1)

grid on

%główny program

x=[0;1];

eps=1e-6;

delta=1;

while abs(delta)>eps

f=[x(1).^2+x(2).^2-LLI;x(1)-LLN*x(2).^2-0.5];

J=[2*x(1) 2*x(2);1 -2*LLN*x(2)];

z=inv(J)*f;

x=x-z;

delta=[x(1).^2+x(2).^2-LLI;x(1)-LLN*x(2).^2-0.5];

end

disp('rozwiązanie równania: ')

disp(x)

rozwiązanie równania:

-3.9705

1.4951

3. Wnioski:

• Jak widać metoda Newtona-Raphsona jest skuteczna o czym świadczy rozwiązanie, które jest z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

• Algorytm rozwiązywania możne być stosowany do rozwiązywania dowolnych dwóch funkcji nie liniowych, które można zapisać w postaci analitycznej.

• Wadą programu jest konieczność policzenia jakobianu funkcji, którego wyznacznik musi być większy od zera. W innym przypadku nie będzie możliwe wyznaczenie odwrotnej jakobianu, który jest częścią algorytmu, a więc program nie będzie działał.