Zadania ze statystyki

ZESTAW A

Zadanie 1

-2	-2	-2	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2

$\overset{\overline{}}{x}$ = 0,46

Me₂₅ = 1

Mo = Do= 1

$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{}^{}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})}^{2}}{n - 1}} = \sqrt{1,440409163} = 1,2$

Zadanie 2

N(σ, μ)

σ = 1, 2

$$\overset{\overline{}}{x} = 0,46$$

n=50

1. P(-1) = ($\frac{50}{- 1}$)*

P(0) =

Sukces (-1;2) czyli

P = $\frac{35}{50}*100$= 70%=0,7

U_d = $\frac{- 1 - 0,46}{1,2} = 1,22$ ---0,88877

U_g = $\frac{2 - 0,46}{1,2} = 1,28$ -- 0,1003

0, 88877 − 0, 1003 = 0, 7885 = 78, 85%

Zadanie 3.

H₀: µ=0 1-α=0,99

H₁: µ≠0 σ = 1,2

n = 50 $\overset{\overline{}}{x}$ = 0,46

Buduje 99% przedział ufności dla średniej

1-0,99=0,01>0.01/2=0,005

$$\overset{\overline{}}{x} \pm u_{\frac{\propto}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 0,46 \pm 2,57\frac{1,2}{\sqrt{50}} = 0,46 \pm 0,4361$$

[0,0239 ; 0,8961]

Średnia nie wynosi 0 –>0 nie mieści się w przedziale. Jest to podstawą do odrzucenia hipotezy H₀

Zadanie 4.

Wadliwość 1% = 0,01

n=50

u = n * p = 50 * 0, 01 = 0, 5

1 − [P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)]=

$$P\left( X = 0 \right) = \frac{{0,5}^{0}*e^{- 0,5}}{0!} = 0,6065$$

$$P\left( X = 1 \right) = \frac{{0,5}^{1}*e^{- 0,5}}{1!} = 0,3033$$

$$P\left( X = 2 \right) = \frac{{0,5}^{2}*e^{- 0,5}}{2!} = 0,0758$$

$$P\left( X = 3 \right) = \frac{{0,5}^{3}*e^{- 0,5}}{3!} = 0,04722$$

?? …..

Zadanie 5.

Czy dystrybuanty dla zmiennej losowej A o rozkładzie normalnym prawdopodobieństwa w punktach ${u +}_{\frac{\propto}{2}}$ oraz ${u -}_{\frac{\propto}{2}}$ są (zaznacz prawidłową odpowiedź znakiem X):

• Równe

• Pierwsza mniejsza od drugiej

• Druga mniejsza od pierwszej

• Nie można sformułować odpowiedzi

Zadanie 6.

Czym różni się regresja liniowa od korelacji?

Regresja dotyczy kształtu zależności pomiędzy cechami, a korelacja dotyczy siły badanej współzależności.

Zadanie 7.

Z prawdopodobieństwem 0,95 wartość średnia populacji leży w przedziale [100,102]

ZESTAW B

Zadanie 1.

-2	1	0	-1	1	0	1	1	2	1
-1	1	1	0	-2	3	0	0	0	-2
0	-1	-1	0	-3	1	-1	1	0	4
3	-1	0	1	0	0	0	2	-2	1
-2	1	0	-1	1	0	1	1	2	1

-3	-2	-2	-2	-2	-2
-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	2	2	3	3	4

$\overset{\overline{}}{x}$ = 0,24

Me₂₅ = 0

Mo = Do = 1

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{}^{}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})}^{2}}{n - 1}} = \sqrt{\frac{110,48}{49}} = 1,5$$

Zadanie 2.

N(σ, μ)

σ = 1, 5

$$\overset{\overline{}}{x} = 0,24$$

n=50

1. Sukces (-1;2) czyli

P = $\frac{43}{50}*100$= 86%=0,86

U_d = $\frac{- 2 - 0,24}{1,5} = - 1,49$ ---1-0,0681=0,9319

U_g = $\frac{1 - 0,24}{1,5} = 0,51$ -- 0,3050

0,9319-0,3050=0,6269> 62,69%

1. Brak tylko jeśli poza zakresem -3 do 3, czyli jeśli wystąpi 4

P = $\frac{1}{50}*100$= 2%=0,02

$$P\left( 4 \right) = \begin{pmatrix} 50 \\ 4 \\ \end{pmatrix} \bullet {0,02}^{4} \bullet {0,98}^{46} = 0,39 = 39\%$$

Zadanie 3.

1-α=0,99

σ = 1,5

n = 50

$\overset{\overline{}}{x}$ = 0,24

1. Buduje 99% przedział ufności dla średniej.

1-0,99=0,01, 0,01/2=0,005

$$\overset{\overline{}}{x} \pm u_{\frac{\propto}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 0,24 \pm 2,57\frac{1,5}{\sqrt{50}} = 0,24 \pm 0,55$$

[-0,31 ; 0,79]

b) α = 0, 02

H₀: σ =0 1-α=0,98

H₁: σ ≠0 σ = 1,5

n = 50 $\overset{\overline{}}{x}$ = 0,24

wariancja:

 σ² =  2, 25

Buduje 98% przedział ufności dla wariancji.

$$\chi^{2} = \frac{n \bullet s^{2}}{\sigma^{2}}.$$

1-0,98=0,02>0,01

??

Zadanie 4.

Sukces

q = 0,02

p=1-0,02=0,98

n=40

1. $P\left( X = 0 \right) = \begin{pmatrix} 40 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \bullet {0,02}^{0} \bullet {0,98}^{40} = 0,4457 = 44,57\%$

u = n * p = 40 * 0, 02 = 0, 8

Zadanie 5.

Dystrybuanta dla zmiennej losowej ciągłej określana jest jako prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa przyjmie wartości mniejsze lub równe x_i

( 3 )

Dystrybuanta dla zmiennej losowej ciągłej jest całką z określoną górną granicą x , zapisaną w sposób następujący :

( 4 )

Zadanie 6.

Średnia w populacji znajdzie się poza przedziałem ufnosci

Zadanie 7.

prawostronny