Wielomiany Legendre'a

Wielomiany Legendre'a (nieunormowane) określa się wzorem (Rodriguesa)

Można je również zapisać w jawnej postaci

Funkcja generująca

Wielomiany Legendre'a są współczynnikami w rozwinięciu w szereg Maclaurina funkcji G(x,t) postaci:

G(x,t) = (1 − 2xt + t²) ^{− 1 / 2}

Zachodzi wzór:

Własności

• zależność rekurencyjna

• ortogonalność z wagą p(x) = 1 na odcinku [ − 1,1]

• , a zatem układ jest układem ortonormalnym w przedziale [-1,1].

Wielomiany Legendre'a P_n(x) dla n=0,...,5

Przykłady wielomianów Legendre'a

Poniżej wymieniono kilka początkowych wielomianów Legendre'a:

Z wielomianami Legendre'a związane są stowarzyszone funkcje Legendre'a