1. Omówić metody interpolacji lokalnej pól skalarnych. Wybraną metodę pokazać na przykładzie.

Metody interpolacji lokalnej polegają na tym, że do wyznaczenia wartości w danym punkcie wybieramy punkty z najbliższego otoczenia tego punktu.

Do metod lokalnych zaliczamy:

• metodę średniej ważonej - obliczamy wartość prognozowana w danym punkcie na podstawie wzoru:

gdzie waga jest odwrotnością odległości (lub kwadratu odległości) między punktem ze znana wartością a punktem interpolowanym , k=-1 lub k=-2

• metodę najbliższego sąsiada - wartość pomierzona w jednym punkcie przypisywana jest obszarowi wokół tego punktu (metoda najczęściej stosowana w kartografii). Polega na tworzeniu pomiędzy punktami sieci trójkątów (boki łączące 2 punkty dzielimy symetralną; ich przecięcia tworzą mozaikę voronoi). Obszarowi przypisujemy wartość pola skalarnego w tym punkcie.

• metodę wielomianu ruchomego - wybieramy punkty z najbliższego otoczenia interpolowanego punktu; następnie obliczamy odległości miedzy tym punktem a punktami o znanej wartości. Aby wykorzystać tę metodę musza być min 4 punkty.

Tworzymy wielomian taki, aby płaszczyzna przechodziła przez interpolowany punkt, np.: z(x,y) = a_o + a₁x + a₂y + a₃xy…

Wyznaczamy wartości a:

a = (A^TPA)^-1 * A^TP * w , gdzie w- wartość w punktach powierzonych, P- waga - odwrotność odległości od punktu interpolowanego

Wartości x wyznaczamy na podstawie:

x = A^TPA^-1 * A^TPL

Macierz L - wektor znanych wartości z

• metodę elementów skończonych

2. Przedstawić ideę kolokacji metodą najmniejszych kwadratów (opracowane na podstawie wykładów)

W materiale obserwacyjnym można wyróżnić:

-część regularną (deterministyczną) – trend (x)

-część regularną (stochastyczną) – sygnał (s)

-część nieregularną (stochastyczną) – szum pomiarowy (n)

KOLOKACJA (łac. kolokale = połączenie, kombinacja) - uogólnienie metody najmniejszych kwadratów, w którym uwzględnia się dwa składniki błędu, tzw. szum oraz skorelowany sygnał, który charakteryzuje się przyjętą funkcją korelacji.

Kolokacja łączy w sobie:

- estymację trendu – znalezienie parametru trendu

- filtrację – oddzielenie od danych szumu pomiarowego,

- predykcję (interpolację) – określenie wartości w punktach, w których nie wykonano pomiaru.

Model kolokacji: L = Ax + (s + n) = Ax + ε, gdzie:

L - wektor obserwacji

A - prostokątna macierz zawierająca współczynniki przy niewiadomych

x - wektor niewiadomych (trend)

s – część regularna wektora losowego (sygnał)

n – część nieregularna (szum).

ε = s + n

założenie: s i n są niezależne

Metoda najmniejszych kwadratów polega na minimalizacji sumy kwadratów błędów, dlatego ε^TP ε -> min, czyli n^TCnn^-1n + s^TCss^-1s ->min. Taki warunek trzeba założyć, aby rozwiązać model kolokacji.

X=[A^T(Css+Cnn)^-1A]^-1A^T(Css+Cnn)L

W przypadku szczególnym, gdy s = 0 (czyli sygnał jest równy 0), wtedy Css = 0 i Csps = 0.

Mamy wówczas do czynienia z metodą najmniejszych kwadratów: X = (A^TCnn^-1A)^-1A^TCnn^-1L.

Kolokacja jest więc uogólnieniem metody najmniejszych kwadratów

Gdy A=0, czyli brak trendu pozostaje tylko filtracja, wówczas:

Sp=Csps^T(Cnn+Css)^-1L

3. Metoda M-estymatorów i jej związek z metodą najmniejszych kwadratów.

Budowanie modelu odbywa się poprzez wyznaczenie parametrów modelu na podstawie obserwacji. Niektóre z tych obserwacji mogą być obarczone błędami grubymi i wpływać na nieprawidłowe oszacowanie tych parametrów.

Metody odporne są wykorzystywane do eliminowania wpływu obserwacji obarczonych błędami grubymi na szacowane parametry modelu. Jedną z tych metod jest metoda M-estymatorów.

Wyznaczenie parametrów modelu i wyrównanie obserwacji odbywa się tu podobnie jak w metodzie najmniejszych kwadratów, z ta różnicą, że w metodzie najmniejszych kwadratów nie eliminuje się wpływu obserwacji obarczonych błędami grubymi na wyznaczane parametry. W metodzie M-estymatorów odbywa się to poprzez odpowiednie wagowanie tych obserwacji (wprowadza się funkcję wagową). W metodzie najmniejszych kwadratów można ewentualnie wykryć za pomocą testów statystycznych takie obserwacje, a następnie usunąć je ze zbioru danych.

Tok postępowania w metodzie M-estymatorów przebiega podobnie jak w metodzie najmniejszych kwadratów, ale w przeciwieństwie do tej drugiej przebiega iteracyjnie. Kolejne iteracje przebiegają jak wyznaczanie parametrów modelu i wyrównanie obserwacji w metodzie pośredniczącej ,ale w każdej kolejnej iteracji tworzy się nową macierz wag, w której wagi obserwacji obarczonych błędami grubymi są coraz mniejsze.

Przebieg obliczeń w metodzie M-estymatorów jest następujący:

1.Pierwsze wyznaczenie parametrów modelu :

2.Wyznaczenie poprawek v obserwacji:

k- nr iteracji

3.Obliczenie funkcji wagowej w:

w^(k)=diag (w₁^(k) w₂^(k) ... w_n^(k) )

4.Kolejne wyznaczenie parametrów x:

5.Wyznaczenie różnicy między wektorami parametrów wyznaczonymi w 2-ch kolejnych iteracjach:

ε=x^(k+1)-x^(k)

Proces iteracyjny kończy się ,gdy ε osiągnie dopuszczalną wartość.

4. W jaki sposób eliminowany jest praktycznie wpływ błędów grubych w metodzie M-estymatorów wg Hubera? Co to są obserwacje dźwigniowe oraz punkt załamania metody?

Praktyczny sposób eliminowania błędów grubych według Hubera.

Należy przeprowadzić test Hubera dla funkcji wagowej:

c = k m_v

gdzie:

w_i – waga obserwacji

v – poprawki obserwacji

k – dobrany współczynnik k > 0

m_v – błąd poprawki,

Oznacza to, że dla wartości poprawek, które się mieszczą w przedziale poprawek wagi mają wartości 1, poprawki, które nie leżą w tym przedziale, traktowane są jako błędy grube. Modyfikacja układu nadaje mniejsze wagi. Im mniejsza waga, tym mniejszy wpływ obserwacji na wynik końcowy.

Obserwacje dźwigniowe

Są to obserwacje, które leżą daleko od środka ciężkości pozostałych obserwacji (od geometrycznie uporządkowanych stałych punktów). Występujące w tych obserwacjach błędy grube są szczególnie niebezpieczne – zafałszowują wynik estymacji. Punkty dźwigniowe można określić na podstawie analizy geometrii. Można zaplanować obserwacje tak, żeby obserwacje dźwigniowe wykonać z większą dokładnością lub zwiększyć ich ilość.

Obserwacja jest obserwacją dźwigniową, jeśli wartość h_ii w macierzy projekcji jest duża, tzn. większa od wartości średniej h_śr = , gdzie m – liczba wyznaczanych parametrów, n – liczba obserwacji. Oznacza to, że duże obserwacje mają większą wartość od wartości średniej h_ii> h_śr

Macierz projekcji H = A(A^TA)^-1A^T opisuje geometrie macierzy

Punkt załamania metody

Jest to procentowy udział obserwacji obarczonych błędem grubym, przy których metoda oporna daje poprawne wyniki. Może wystąpić w przypadku występowania ukrytych obserwacji dźwigniowych, wówczas błędy grube nie są wykrywalne i dochodzi do załamania metody.

5. Metody radialnych funkcji bazowych.

Metoda radialnych funkcji bazowych należy do globalnych metod interpolacyjnych (funkcję interpolacyjną buduje się tu w oparciu o cały obszar danych).

Wartość w punkcie interpolowanym (mając jego współrzędne x i y) w tej metodzie wyznacza się wg następującego wzoru:

.

α_i,β_i-nieznane parametry

R( r_i ( x, y))-radialne funkcje wagowe (zależą od odległości poziomej –w płaszczyźnie x ,y -r).

ri2⁼(x-x_i)²+(y-y_i)²

x_i,y_i –współrzędne punktu i pomiarowego, w którym zmierzono wartość z_i

P_j (x,y)- wielomian rzędu k

Jednym z przykładów radialnych funkcji bazowych jest spline minimalnej krzywizny, dla którego radialna funkcja bazowa ma postać:

R=r_i²ln( r_i²),

a wielomian P_j: ν₀₀ +ν₁₀x +ν₀₁y.

Wzór na wartość interpolowaną w punkcie o współrzędnych x,y ma postać:

* ,

gdzie λ_i ,ν_ij –nieznane parametry( n+3 niewiadome),

n- liczba punktów pomiarowych

Równania powyższej postaci układamy dla każdego i-tego punktu pomiarowego .

Do tak utworzonego układu równań dodajemy 3 równania:

W oparciu o n równań * i 3 powyższe równania wyznaczamy parametry λ_i ,ν_ij.

Po ich wyznaczaniu możliwe będzie wyznaczenie w dowolnym punkcie o współrzędnych x, y wartości z, w oparciu o wzór *.

6. Twierdzenie o próbkowaniu i jego znaczenie praktyczne.

Twierdzenie o próbkowaniu daje odpowiedź, w których miejscach profilu terenu należy pomierzyć punkty, przy założeniu, że profil terenu odpowiada sygnałowi i że pomiar odbywa się z określonym interwałem ΔX. Jest to dyskretyzowanie z interwału ΔX, mierzone w postaci dyskretnych punktów. Musimy dobrać taki interwał, aby był mniejszy od połowy długości fali w sygnale:

ΔX≤ = = ;

gdzie:

ΔX – próbkowanie

f_max – max częstotliwość,

ω_g –częstotliwość graficzna,

ω = 2пf –częstotliwość kołowa

l_min –minimalna długość fali

Oznacza to, że na jedną próbkę (ΔX) pomierzone są dwie wartości.

Jeśli konkretna wartość jest zawarta w próbkowaniu, to możemy odtworzyć zawarte informacje uwidocznione po analizie spektralnej. Czyli analiza spektralna to przeniesienie problemu do innych dziedzin, np. pomiar w współrzędnych xy (dziedzina w przestrzeni euklidesowej) w sygnał rejestrowany w czasie (przejście w dziedzinę częstotliwości).

Jest to fundamentalne twierdzenie o przetwarzaniu sygnału, zawarta jest kompletna informacja o danym sygnale (analiza spektralna)

7. PRZEDSTAWIĆ IDEĘ KOLOKACJI METODĄ NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW (opracowane na podstawie wykładów)

W materiale obserwacyjnym można wyróżnić:

-część regularną (deterministyczną) – trend (x)

-część regularną (stochastyczną) – sygnał (s)

-część nieregularną (stochastyczną) – szum pomiarowy (n)

KOLOKACJA (łac. kolokale = połączenie, kombinacja) - uogólnienie metody najmniejszych kwadratów, w którym uwzględnia się dwa składniki błędu, tzw. szum oraz skorelowany sygnał, który charakteryzuje się przyjętą funkcją korelacji.

Kolokacja łączy w sobie:

-estymację trendu,

-filtrację – oddzielenie szumu pomiarowego,

-predykcję (interpolację) – określenie wartości w punktach, w których nie wykonano pomiaru.

Model kolokacji: L = Ax + (s + n) = Ax + ε, gdzie:

L - wektor obserwacji

A - prostokątna macierz zawierająca współczynniki przy niewiadomych

x - wektor niewiadomych (trend)

s – część regularna wektora losowego (sygnał)

n – część nieregularna (szum).

ε = s + n

założenie: s i n są niezależne

Metoda najmniejszych kwadratów polega na minimalizacji sumy kwadratów błędów, dlatego εTP ε -> min, czyli nTCnn-1n + sTCss-1s ->min. Taki warunek trzeba założyć, aby rozwiązać model kolokacji.

W przypadku szczególnym, gdy s = 0 (czyli sygnał jest równy 0), wtedy Css = 0 i Csps = 0.

Mamy wówczas do czynienia z metodą najmniejszych kwadratów: X = (ATCnn-1A)-1ATCnn-1L.

Kolokacja jest więc uogólnieniem metody najmniejszych kwadratów.

7. Etapy wyrównania sieci swobodnej.

Sieć swobodna to sieć posiadająca defekt układu odniesienia – nie jest w sposób dostateczny dowiązana do sieci zewnętrznej. Dla wyrównania takiej sieci nakłada się warunki minimalizujące stopnie swobody.

Ax=L+v

B^Tx=W

• Mając dane współrzędne pkt, odległości, błędy odległości, kąty:

Obliczamy:

• Współrzędne przybliżone

• Obserwacje przybliżone

• Układamy równania poprawek dla długości i kątów

• Ogólny układ obserwacyjny V=Ax-L

• Macierz kowariancji pierwotnych obserwacji „C”

Układamy ostateczną macierz wag P=C^(-1), ATPA

• Nakładamy warunki (na wysokość)

• Układamy macierz Kofaktorów „Q”

• Rozwiązujemy układ z charakterystyką dokładności dx=QATPL, V=Adx-L

• Błędy niewiadomych

• Wyrównujemy współrzędne, odległości, kąty

• Błędy poprawek

• Ocena dokładności wyrównania test lokalny

8. Klasyfikacja metod odpornych

Metody odporne - metody oparte na estymacji parametrów (dopasowujemy model do naszego zbioru)

1. Estymacja parametrów

   1. Pasywne – dopasowujemy model matematyczny do naszych obserwacji

      • Estymacja parametrów metodą najmniejszych kwadratów

      • + Testy statystyczne

   2. Aktywne – Potrafią same zidentyfikować obserwacje obarczoną błędem grubym i w procesie wyrównywania wyeliminować jej wpływ na wyrównanie.

      • M-estymatorów – metoda największej wiarygodności - mieszane układy prawdopodobieństwa, najpopularniejsza, ale szybciej się załamuje, można ją zrealizować za pomocą metody najmniejszych kwadratów

      • LMS – estymacja metodą kwadratów odchyleń od mediany, różny stopień czułości na błędy grube, dopuszcza największy procent błędów grubych, ale jest pracochłonna

2. Inne

9. Co to jest funkcja wpływu i jakie jest jej znaczenie?

Funkcja wpływu to pochodna funkcji straty po v.

$$\Psi\left( v \right) = \frac{\delta{st}(v)}{\text{δv}}$$

Opisuje ona mechanizm odpornościowy danej metody.

METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW

Ψ(v) = v

METODA M-ESTYMATORÓW

$$\Psi\left( v \right) = \left\{ \begin{matrix} v\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla\ |v| \leq c \\ \text{sign}\left( v \right) \bullet c\ \ \ dla\ \left| v \right| > c \\ \end{matrix} \right.\ $$

Widać, że dla poprawek |v|>c metoda M-estymatorów ogranicza ich wartość w funkcji wpływu, co w metodzie najmniejszych kwadratów nie następuje.

10. Porównać metodę kolokacji i krigingu.

Metoda kolokacji liniowej opiera się na estymowanych wynikach pomiaru, natomiast metoda Krigingu odbywa się z zastosowaniem wartości oryginalnych. Metody różnią się przy zapisie macierzy (lambda). W metodzie Krigingu występuje funkcja wariogramu, gdzie: oblicza się wartość empiryczną wariogramu, pole nie musi być polem scentrowanym i jest oszacowana z danych.