Macierze i wyznaczniki

Macierz – układ zapisanych w postaci prostokątnej tablicy danych nazywanych elementami bądź współczynnikami.

Wyznacznik – w algebrze liniowej, funkcja przyporządkowująca każdej macierzy kwadratowej M

Minor – wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z danej macierzy przez skreślenie pewnej liczby jej wierszy i kolumn. Minor główny to minor, w którym przy wykreślaniu pozostawiono wiersze i kolumny o równych indeksach, z kolei wiodący minor główny to minor główny, w którym wykreślono kolejno ostatnie wiersze i kolumny.

Rozwinięcie Laplace'a - wzór rekurencyjny określający wyznacznik n-tego stopnia macierzy kwadratowej o wymiarach . Wyznacznik detA macierzy znajduje się z następującego wzoru:

gdzie:

i jest ustalone i określa wiersz macierzy względem, którego następuje rozwinięcie

- element macierzy w i-tym wierszu i j-tej kolumnie

- dopełnienie algebraiczne elementu powstałe z przemnożenia czynnika ( − 1)^{i + j} przez minor elementu a_ij

1. Zamiana wierszy na kolumny i kolumn na wiersze nie zmienia wartości wyznacz¬nika, o ile zachowamy niezmienioną kolejność ich elementów.
2° Wyznacznik, w którym wszystkie elementy jednego wiersza (kolumny) są równe zeru, jest równy zeru.
3° Wyznacznik mnożymy przez stałą, mnożąc elementy jednego wiersza (kolumny) przez tę stałą.
4° Wyznacznik, w którym dwa wiersze (kolumny) są proporcjonalne jest równy zeru.
5° Do elementów dowolnego wiersza (kolumny) można dodać elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone przez dowolną liczbę różną od zera. Nie zmieniamy przy tym wartości wyznacznika

Twierdzenie Cramera

Układ równań liniowych U ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorami warunek gdzie detA jest wyznacznikiem macierzy układu a detAi jest wyznacznikiem macierzy otrzymanej z macierzy układu przez zastąpienie w niej j-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.

Macierz odwrotna

Niech A będzie macierzą kwadratową ustalonego stopnia. Macierz A jest odwracalna, jeśli istnieje taka macierz B, że zachodzi AB = BA = I, gdzie I jest macierzą jednostkową.

Jeżeli taka macierz B nie istnieje, to macierz A nazywamy nieodwracalną, w przeciwnym wypadku macierz B nazywa się macierzą odwrotną do macierzy A i oznacza się ją wówczas przez A ^{− 1}.

Macierz transponowana (przestawiona) macierzy to macierz , która powstaje z danej poprzez zamianę jej wierszy na kolumny i kolumn na wiersze. Operację tworzenia macierzy transponowanej nazywamy transpozycją (przestawianiem).

Dla macierzy :

.

Rząd macierzy

Rzędem macierzy A wymiaru m x n nazywamy najwyższy stopień nie zerujących się minorów uzyskanych z tej macierzy

Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Układ równań liniowych o macierzy głównej i macierzy rozszerzonej ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy , gdzie oznaczają odpowiednio rzędy macierzy A oraz U.

Wektory

Wektor- to para punktów uporządkowanych gdzie jeden jest początkiem a drugi końcem. Jeżeli chcemy określić wektor w przestrzeni to musimy podać jego długość, kierunek, zwrot.

Wersor osi- wektor jednostkowy, którego kierunek i zwrot jest zgodny z kierunkiem i zwrotem odpowiedniej osi.

Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny dwóch wektorów oraz wynosi z definicji

.

Iloczyn wektorowy

Jeżeli weźmiemy dwa wektory, tzn. i , to ich iloczyn wektorowy można wyliczyć przy pomocy następującego wzoru mnemotechnicznego (nie jest on formalnie poprawny ponieważ elementami macierzy nie mogą być jednocześnie liczby i wektory):

długość wektora wynikowego jest równa iloczynowi wartości obu wektorów wyjściowych pomnożonego przez sinus kąta między nimi zawartego:

,

Pochodną funkcji w punkcie x₀ nazywamy granicę poniższego wyrażenia (zwanego ilorazem różnicowym):

Jeżeli funkcja posiada pochodną w danym punkcie to o takiej funkcji mówi się, że jest różniczkowalna. Pochodną funkcji f(x) oznaczamy f'(x). Wartość pochodnej funkcji w punkcie x jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie.Tw. Lagrange’a

Jeśli dana funkcja jest

• ciągła w przedziale [a,b],

• różniczkowalna w przedziale (a,b),

to istnieje taki punkt , że:

.

Reguła l'Hospitala

Bezpośrednio z definicji pochodnej funkcji można wykazać następujące twierdzenie:

Jeżeli funkcje f i g są określone w przedziale otwartym zawierającym punkt a oraz

1. ,

2. ,

lub

1. ,

2. ,

oraz istnieją (skończone) pochodne i , przy czym , wówczas

.

Funkcja wypukła w zbiorze

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w przedziale (a, b) ⊂ Df, to mówimy, że funkcja f jest wypukła w przedziale

(a, b), wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x0 ∈ (a, b) styczna do wykresu tej funkcji w punkcie o odciętej x0 jest połażona pod tą krzywą.

Funkcja wklęsła w zbiorze

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w przedziale (a, b) ⊂ Df, to mówimy, że funkcja f jest wklęsła w przedziale

(a, b), wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x0 ∈ (a, b) styczna do wykresu tej funkcji w punkcie o odciętej x0 jest

połażona nad tą krzywą.

Punkt przegięcia

Jeżeli z jednej strony punktu x0 funkcja jest wypukła zaś z drugiej wklęsła, to x0 nazywamy punktem przegięcia krzywej.