08.03.2010r.
Piotr Kohut
Poniedziałek 15:15
Ćwiczenie nr 10
SPRAWDZANIE PRAWA HOOKE’A I WYZNACZANIE
MODUŁU YOUNGA
1. WSTĘP
Celem ćwiczenia jest sprawdzenie prawa Hooke'a i wyznaczenie modułu Young'a przez pomiar wydłużenia drutu pod wpływem znanego obciążenia.
Pod wpływem działania siły ciała sprężyste odkształcają się. W zakresie działania niewielkich naprężeń na ciało sprężyste następuje odkształcenie Ɛ, które jest proporcjonalne do działającego naprężenia σ. Zależność tą opisuje prawo Hooke’a:
$E = \ \frac{1}{E}$ σ (1)
E jest współczynnikiem sprężystości materiału, zwanym modułem Younga. Jego wartość zależy od materiału i oznacza wielkość naprężenia. Współczynnikiem proporcjonalności dla wydłużenia jest odwrotność modułu Younga. Zapisując naprężenie σ, jako stosunek siły F do pola powierzchni S, na które działa siła oraz względne odkształcenie Ɛ, jako stosunek wydłużenia Δl do długości początkowej l0, możemy zapisać zależność (1) w postaci:
$\Delta l = \ \frac{l_{0}}{E*S}F$ (2)
Inaczej formułując prawo Hooke’a, można powiedzieć, że przyrost długości ciała pod wpływem siły rozciągającej w granicach sprężystości jest wprost proporcjonalny do tej Soły i długości początkowej, a w odwrotnie proporcjonalny do pola powierzchni przekroju poprzecznego. Przy założeniu, że pole powierzchni przekroju drutu S i długości drutu l0 nie zmieniają się oraz działają na drut niewielkimi siłami, można zarejestrować zmiany wydłużenia Δl w zależności od wartości przyłożonej siły.
Następnie dokładnie zapoznałem się ze sprzętem pomiarowym wykalibrowałem go i przystąpiłem do sporządzania pomiarów, które zawarłem w protokole.
2. PROTOKÓŁ
3. OPRACOWANIA WYNIKU POMIARÓW
Tabela przedstawia pomiar średnicy drutu:
| Nr pomiaru | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| D[mm] | 1,20 | 1,20 | 1,20 | 1,20 | 1,20 | 1,20 | 1,20 | 1,20 | 1,20 |
Średnia średnic d = 1,20mm ± 0,1 mm
Długość drutu l0= 60,1 cm ± 0,1 cm (601 ± 1) mm
Tabela przedstawia wynik ważenia obciążników:
| Nr cieżarku | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Masa [g] | 773,8 | 851,7 | 830,5 | 796,1 | 825,5 | 927,1 | 823,9 |
| Ciężar [N] | 7,6 | 8,3 | 8,2 | 7,4 | 8,1 | 9,1 | 8,1 |
Przy obliczaniu ciężaru obciążników skorzystałem ze wzoru Fi = mig, gdzie g = 9,81 $\frac{m}{s^{2}}$
Tabela przedstawia przyrost długości po dodawaniu obciążników:
| Nr pomiaru | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nr obciążników | 0 | 1 | 1,2 | 1,2,3 | 1,2,3,4 | 1,2,3,4,5 | 1,2,3,4,5,6 | 1,2,3,4,5,6,7 |
| Ciężar (Δl[N]) | 0 | 7,6 | 8,3 | 8,2 | 7,4 | 8,1 | 9,1 | 8,1 |
| Przyrost długości(Δl[mm]) | 0 | 0,18 | 0,29 | 0,45 | 0,55 | 0,63 | 0,74 | 0,83 |
Następnie na podstawie pomiarów zamieszczonych w Tabeli 2 wykreślono wykres zależności przyrostu długości od siły przyłożonej do drutu:
4. OBLICZENIA WYNIKÓW POMIARU
Następnie korzystając ze wzoru poniżej wyliczam wartość modułu Younga dla stali oraz jego niepewność :
$$E = \ \frac{4l_{0}}{\text{aπ}d^{2}}$$
l0 – długość drutu (bez obciążenia) a – współczynnik kierunkowy prostej który obliczamy ze wzoru: $\mathbf{a} = \ \frac{\sum_{}^{}{\Delta l_{i}F_{i}}}{\sum_{}^{}F_{i}^{2}}$ π – stała matematyczna d – średnica drutu
(a = (0,002796 ± 0,000500) $\frac{\text{mm}}{N}$)
E = $\frac{4*601}{0,0027996*\pi*{(1,2)}^{2}}$ = 190057,46462849526465804153112955 MPa
ΔE = E (|$\frac{\Delta l_{0}}{l_{0}}$|+|$\frac{\text{Δa}}{a}$|+2|$\frac{\Delta d}{d}$|) = 65979,865865312851602505852003216 MPa
5. WYNIKI KOŃCOWE
E = (1900 ± 660)10-2 MPa
6. WNIOSKI
Spoglądając na nasz wykres zauważamy, że punkty nie układają się w lini prostej co oznacza, że wynik nie jest dokładny i widać w tym miejscu błędy pomiarów. Gdy jednak bierzemy pod uwagę niepewność to nasz wynik mieści się w normach podawanych przez książki (2050 do 2100 MPa). Nasze pomiary mogły być niedokładne, ponieważ w pomieszczeniu w którym odbywały się pomiary panowała wyższa temperatura niż optymalna do tego typu badań.