1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia było sporządzenie wykresu Ancony dla szeregowego układu hydraulicznego (schematyczny rysunek układu dołączono do sprawozdania) przy określonym strumieniu przepływu qv na poziomie $205\frac{l}{h}$.
2. Wielkości charakteryzujące badany układ hydrauliczny
Tabela 1. Zestawienie wielkości charakteryzujących badany układ hydrauliczny
| Odcinek przewodu | Średnica przewodu | Stosunek$\text{\ \ }\frac{l}{d}$ |
|---|---|---|
| - | mm | - |
| 2 – 3 | 12,3 | 50 |
| 4 – 6 | 12,3 | 100 |
| 7 – 8 | 12,3 | 15 |
| 9 – 10 | 12,3 | 50 |
| 10 – 11 | 8,3 | 30 |
| 12 – 13 | 7,15 | 30 |
| 13 – 14 | 12,3 | 48,5 |
Numeracja odcinków jest zgodna ze schematem dołączonym do sprawozdania.
W celu uproszczenia dalszych obliczeń zastosuję następujące oznaczenia:
d1 |
d2 |
d2 |
|---|---|---|
| 12,3 mm | 8,3 mm | 7,15 mm |
Ponadto podczas wykonywania ćwiczenia zmierzono temperaturę wody płynącej w układzie hydraulicznym. Pomiar ten umożliwia wyznaczenie współczynnika lepkości kinematycznej wody zgodnie z formułą:
$$\nu = \frac{1}{556406,7 + 19689,27 \bullet T + 123,6096 \bullet T^{2} - 0,3783792 \bullet T^{3}}$$
Która dla T = 11, 8 przyjmuje wartość:
$$\nu = 1,242 \times 10^{- 6}\ \frac{m^{2}}{s}$$
W dalszych obliczeniach będziemy wykorzystywać liczbę Reynoldsa. Ażeby ją otrzymać musimy wyznaczyć wyrażenie pozwalające na wyznaczenie prędkości w poszczególnych odcinkach przewodu. Wykorzystam w tym celu definicję strumienia objętości:
$$q_{v} = \upsilon \bullet A = \upsilon \bullet \frac{\pi \bullet d^{2}}{4}\ \ stad\ \ \upsilon = \frac{4 \bullet q_{v}}{\pi \bullet d^{2}}$$
Możemy zatem zapisać wyrażenie na liczbę Reynoldsa jako:
$$Re = \frac{\upsilon \bullet d}{\nu} = \frac{\frac{4 \bullet q_{v}}{\pi \bullet d^{2}} \bullet d}{\nu}$$
Wyznaczenie liczby Reynoldsa dla poszczególnych fragmentów układu hydraulicznego umożliwi określenie charakteru przepływu w danym przewodzie. Jest to niezbędne aby w dalszej kolejności w prawidłowy sposób określić wartość współczynnika oporu liniowego (poprzez dobranie odpowiedniej formuły teoretycznej).
Otrzymywane przez nas wartości liczb Reynoldsa umożliwiają obliczenie współczynnika strat liniowych zgodnie z formułą Blausius’a (prawidłową dla rur hydraulicznie gładkich). Zatem:
$$\lambda = \frac{0,3164}{\sqrt[4]{\text{Re}}}$$
Dzięki współczynnikowi strat liniowych możliwe będzie wyznaczenie wysokości strat liniowych na poszczególnych odcinkach przewodu, co pozwoli na dokładne narysowanie wykresu Ancony.
Do prawidłowego narysowania wykresu będą nam także potrzebne współczynnik strat miejscowych ξ. Część z nich została od razu podana, natomiast pozostałe należy wyznaczyć.
a) nagłe zwężenie przewodu
Wysokość strat przy nagłym zwężeniu przewodu liczymy z następującego wzoru: ${h}_{s}^{m} = \xi\frac{\upsilon^{2}}{2g}$, gdzie:
- ξ – współczynnik oporu miejscowego.
W tym przypadku wyliczamy go ze wzoru: $\mathbf{\xi =}\left\lbrack \mathbf{1 -}\left( \frac{\mathbf{d}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{d}_{\mathbf{1}}} \right)^{\mathbf{2}} \right\rbrack$,
gdzie d1 – średnica większa, d2 – średnica mniejsza
b) nagłe rozszerzenie przewodu
Wysokość strat przy nagłym rozszerzeniu przewodu liczymy z następującego wzoru: ${h}_{s}^{m} = \xi\frac{v^{2}}{2g}$, gdzie:
- ξ – współczynnik oporu miejscowego.
W tym przypadku wyliczamy go ze wzoru: $\mathbf{\xi =}\left( \frac{\mathbf{d}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{d}_{\mathbf{2}}}\mathbf{- 1} \right)^{\mathbf{2}}$,
gdzie d1 – średnica większa, d2 – średnica mniejsza
Korzystając z powyższych wzorów oraz podanych wielkości możemy zestawić w tabeli obliczone wysokości strat liniowych i miejscowych na poszczególnych odcinkach układu.
Tabela 2. Zestawienie przedstawiające wysokość strat na poszczególnych odcinkach układu hydraulicznego.
| L.p. | Miejsce, w którym doszło do strat: | Straty |
|---|---|---|
Miejscowe hsm [ dm ] |
||
| 1 | Wylot ze zbiornika nr 1 (ξ=0,5) | 0,059 |
| 2 | Strata liniowa na odcinku pomiędzy punktami 2-3 |
---- |
| 3 | Kolanko między punktami 3-4 (ξ=0,24) | 0,028 |
| 4 | Strata liniowa na odcinku pomiędzy punktami 4-6 |
---- |
| 5 | Kolanko między punktami 6-7 (ξ=0,24) | 0,028 |
| 6 | Strata liniowa na odcinku pomiędzy punktami 7-8 |
---- |
| 7 | Wlot do zbiornika nr 2 ( ξ=1) | 0,12 |
| 8 | Wylot ze zbiornika nr 2 ( ξ=0,5) | 0,06 |
| 9 | Strata liniowa na odcinku pomiędzy punktami 9-10 |
---- |
| 10 | Nagłe zwężenie średnicy pomiędzy punktami 10-11 (ξ=0,54) |
0,31 |
| 11 | Strata liniowa na odcinku pomiędzy punktami 10-11 | ---- |
| 12 | Nagłe zwężenie średnicy pomiędzy punktami 11-12 (ξ=0,26) |
0,26 |
| 13 | Strata liniowa na odcinku pomiędzy punktami 12-13 |
---- |
| 14 | Nagłe rozszerzenie średnicy pomiędzy punktami 12-13 |
0,06 |
| 15 | Strata liniowa na odcinku pomiędzy punktami 13-14 |
---- |
| 16 | Wlot do zbiornika nr 3 ( ξ=1) | 0,12 |
Przykładowe obliczenia wielkości zestawionych w tabeli umieszczam poniżej.
Obliczenie wartości ξ dla odcinków z wiersza 10. i 12. wykonałem przy pomocy wzorów umieszczonych wyżej.
Współczynnik strat miejscowych dla nagłego zwężenia przewodu:
W tym przypadku wyliczamy go ze wzoru: $\mathbf{\xi =}\left\lbrack \mathbf{1 -}\left( \frac{\mathbf{d}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{d}_{\mathbf{1}}} \right)^{\mathbf{2}} \right\rbrack$,
gdzie d1 – średnica większa, d2 – średnica mniejsza
Przykładowe obliczenie dla zwężenia między punktami 11 a 12
$$\xi = \left\lbrack 1 - \left( \frac{d_{2}}{d_{1}} \right)^{2} \right\rbrack = \left\lbrack 1 - \left( \frac{7,15}{8,3} \right)^{2} \right\rbrack = 0,26$$
Współczynnik strat miejscowych dla nagłego rozszerzenia przewodu:
W tym przypadku wyliczamy go ze wzoru: $\mathbf{\xi =}\left( \frac{\mathbf{d}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{d}_{\mathbf{2}}}\mathbf{- 1} \right)^{\mathbf{2}}$,
gdzie d1 – średnica większa, d2 – średnica mniejsza
Przykładowe obliczenie dla zwężenia między punktami 10 a 11
$$\xi = \left( \frac{d_{1}}{d_{2}} - 1 \right)^{2} = \left( \frac{12,3}{8,3} - 1 \right)^{2} = 0,54$$
Przykładowe obliczenie straty liniowej dla odcinka nr 2.
Wysokość strat liniowych obliczamy z wzoru Darcy’ego Weissbacha jako:
$$h_{s_{}}^{l} = \lambda\frac{l_{1}}{d_{1}}\frac{v^{2}}{2g} = \frac{0,3164}{\sqrt[4]{\text{Re}}}\frac{l_{1}}{d_{1}}\frac{\left( \frac{4q_{v}}{\pi d_{1}^{2}} \right)^{2}}{2g} = \frac{0,3164}{\sqrt[4]{\frac{vd_{1}}{\upsilon}}}\frac{l_{1}}{d_{1}}\frac{\left( \frac{4q_{v}}{\pi d_{1}^{2}} \right)^{2}}{2g} = \frac{0,3164}{\sqrt[4]{\frac{4q_{v}}{\pi d_{1}\upsilon}}}\frac{l_{1}}{d_{1}}\frac{\left( \frac{4q_{v}}{\pi d_{1}^{2}} \right)^{2}}{2g}$$
∖n
$$h_{s_{}}^{l} = \lambda\frac{l_{1}}{d_{1}}\frac{v^{2}}{2g} = \frac{0,3164}{\sqrt[4]{\frac{4q_{v}}{\pi d_{1}\upsilon}}}\frac{l_{1}}{d_{1}}\frac{\left( \frac{4q_{v}}{\pi d_{1}^{2}} \right)^{2}}{2g} = \frac{0,3164}{\sqrt[4]{\frac{4 \bullet 5,69 \times 10^{- 5}}{\pi \bullet 0,0123 \bullet 1,242 \times 10^{- 6}}}} \bullet 50 \bullet \frac{\left( \frac{4 \bullet 5,69 \times 10^{- 5}}{\pi \bullet {0,0123}^{2}} \right)^{2}}{2 \bullet 9,81}$$
hsl = 0, 022 m = 0, 22 dm
Przykładowe obliczenie straty miejscowej dla wylotu ze zbiornika 1.
Wyliczamy je ze wzoru: ${h}_{s}^{m} = \xi\frac{v^{2}}{2g}$
$${h}_{s}^{m} = \xi\frac{v^{2}}{2g} = \xi\frac{\left( \frac{4q_{v}}{\pi d_{1}^{2}} \right)^{2}}{2g}$$
Podstawiając nasze dane otrzymujemy:
$${h}_{s}^{m} = \xi\frac{\left( \frac{4q_{v}}{\pi d_{1}^{2}} \right)^{2}}{2g} = 0,5 \bullet \frac{\left( \frac{4 \bullet 5,69 \times 10^{- 5}}{\pi \bullet {0,0123}^{2}} \right)^{2}}{2 \bullet 9,81} = 0,0059\ m = 0,059\ dm$$
Wysokości rozporządzalne
Wyliczamy je ze wzoru: $\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }H_{r} = \frac{p_{b}}{\text{ϱg}} + \frac{v^{2}}{2g} + z$
Przykładowo wysokość rozporządzalna dla pierwszego punktu pomiarowego (zbiornik)
$$H_{r} = \frac{p_{b}}{\text{ϱg}} + \frac{v^{2}}{2g} + z = 10 + 0 + \left( 0,917 + 0,16 \right) = 11,077\ m = 110,77\ dm$$
Natomiast dla punktu 2. obliczenie wysokości rozporządzalnej wygląda następująco:
$$H_{r} = \frac{p_{b}}{\text{ϱg}} + \frac{v^{2}}{2g} + z = 10 + \frac{\left( \frac{4 \bullet 5,69 \times 10^{- 5}}{\pi \bullet {0,0123}^{2}} \right)^{2}}{2 \bullet 9,81} + \left( 0,897 + 0,16 \right) = 11,069\ m = 110,69\ dm$$
Tabela 3. Zestawienie przedstawiające wysokość rozporządzalną w punktach pomiarowych.
| Punkt pomiarowy | Wysokość piezometryczna | Wysokość prędkości | Wysokość ciśnienia barometrycznego | Wysokość rozporządzalna |
|---|---|---|---|---|
| - | cm | m | m | dm |
| 1 | 1,077 | 0,000 | 10 | 110,8 |
| 2 | 1,057 | 0,012 | 110,7 | |
| 3 | 1,04 | 0,012 | 110,5 | |
| 4 | 1,028 | 0,012 | 110,4 | |
| 5 | 1,01 | 0,012 | 110,2 | |
| 6 | 0,986 | 0,012 | 110,0 | |
| 7 | 0,977 | 0,012 | 109,9 | |
| 8 | 0,97 | 0,012 | 109,8 | |
| 9 | 0,947 | 0,012 | 109,6 | |
| 10 | 0,929 | 0,012 | 109,4 | |
| 11 | 0,814 | 0,057 | 108,7 | |
| 12 | 0,722 | 0,103 | 108,2 | |
| 13 | 0,678 | 0,012 | 106,9 | |
| 14 | 0,657 | 0,000 | 106,6 |
Wysokości piezometryczne zapisane w drugiej kolumnie tabeli zostały naniesione na wykresie Ancony jako szare krzyżyki. Pozwalają one na porównanie teoretycznego wykresu wykreślonego na podstawie obliczeń z rzeczywistymi pomiarami.
3. Wnioski
Na załączonym wykresie łatwo zauważyć, że największe spadki energii były odnotowywane na przewodach o najmniejszych średnicach. Straty miejscowe najwyższe wartości osiągają na nagłych zwężeniach przewodów.
Otrzymany teoretyczny rozkład ciśnień piezometrycznych stosunkowo dobrze pokrywa się z prowadzonymi przez nas odczytami z piezometrów. Największe różnice występują na trzech ostatnich punktach pomiarowych. Różnice mogą wynikać m.in. z faktu, iż przewody hydrauliczne w naszym doświadczeniu nie były doskonale gładkie (a takie jest założenie przy formule Blausius’a).
Mimo to możemy stwierdzić, że przeprowadzone przez nas obliczenia pozwalają na dość dokładne wyznaczenie poziomów ciśnień piezometrycznych w poszczególnych fragmentach układu hydraulicznego.