1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia był pomiar współrzędnych powierzchni swobodnej w naczyniu cylindrycznym wirującym wokół osi pionowej dla trzech różnych prędkości obrotowych oraz porównanie wartości zmierzonych z zależnością teoretyczną.

2. Wzory wyjściowe i wynikowe

Równanie równowagi płynu: Xdx + Ydy + Zdz = 0

X, Y, Z − skladowe sil masowych dzialajace w poszczegolnych kierunkach

X = ω² • x           Y = ω² • y          Z = −g

Po podstawieniu tych wartości do równania równowagi płynu:

ω² • xdx + ω² • y dy + −gdz = 0

Po scałkowaniu powyższego równania i wprowadzeniu współrzędnych walcowych otrzymamy:

$$\frac{\omega^{2} \bullet r^{2}}{2} - g \bullet z = C$$

Uwzględniając warunek brzegowy: r = 0  ; z = z₀, otrzymujemy:

C = −g • z₀

Swobodną powierzchnię cieczy opisuje równanie:

$$z = \frac{r^{2}\omega^{2}}{2g} + z_{0}$$

Stałą z₀ określamy korzystając z równania paraboloidy oraz z faktu, iż:

$$z_{0} = H - \frac{1}{2} \bullet h$$

Otrzymamy zatem:

$$z_{0} = H - \frac{1}{2} \bullet (r^{2} - \frac{1}{2}R^{2})$$

Co ostatecznie pozwoli nam ustalić wzór na kształt powierzchni swobodnej cieczy w naczyniu o promieniu R, wirującym z prędkością kątową ω wypełnionego cieczą do wysokości H

$z = H + \frac{\omega^{2}}{2g}(r^{2} - \frac{1}{2}R^{2})$

3. Przykładowe obliczenia:

Dla drugiego pomiaru przy pierwszej prędkości obrotowej:

z₁^′ = H − z₁ = 82, 73 − 19, 99 = 62, 74 mm

Prędkość kątowa wirującego naczynia:

$$\omega = \frac{2 \bullet \pi \bullet n}{60} = \frac{2 \bullet \pi \bullet 188}{60} = 19,69\ \frac{\text{rad.}}{s}$$

Teoretyczna wysokość powierzchni swobodnej cieczy:

$$z_{\text{teor}1} = H + \frac{\omega_{1}^{2}}{2g}\left( x^{2} - \frac{1}{2}R^{2} \right) = \left( \frac{82,73}{1000} + \frac{{19,69}^{2}}{2 \bullet 9,81}\left( {0,0044}^{2} - \frac{1}{2}\left( \frac{45}{1000} \right)^{2} \right) \right) \bullet 1000 = 63,11\ \text{mm}$$

4. Tabela z wynikami pomiarów oraz obliczeń

Lp.	x	z1	z1′	z1_teor′	z2	z2′	z2_teor′	z3	z3′	z3_teor′
	mm	mm	mm	mm	mm	mm	mm	mm	mm	mm
1.	0	20,33	62,40	62,73	24,55	58,18	59,18	28,95	54,33	54,33
2.	4,4	19,99	62,74	63,11	23,90	58,83	59,63	28,29	54,88	54,88
3.	8,8	18,58	64,15	64,26	22,22	60,51	60,98	26,42	56,51	56,51
4.	13,2	16,5	66,23	66,17	19,82	62,91	63,23	23,32	59,22	59,22
5.	17,6	13,75	68,98	68,85	16,28	66,45	66,38	19,88	63,02	63,02
6.	22	10,16	72,57	72,29	11,66	71,07	70,44	13,65	67,91	67,91
7.	26,4	5,35	77,38	76,50	5,95	76,78	75,39	7,18	73,88	73,88
8.	30,8	-0,25	82,98	81,47	0,46	82,27	81,24	-0,26	80,94	80,94
9.	35,2	-5,30	88,03	87,21	-7,12	89,85	88,00	-7,92	89,08	89,08
10.	39,6	-12,68	95,41	93,71	15,58	98,31	95,65	-18,35	98,31	98,31
11.	44	-20,15	102,88	100,97	-25,25	107,98	104,21	-28,50	108,63	108,63

H	n1	n2	n3
	obr/min	obr/min	obr/min
mm	188	204	224
	ω1	ω2	ω3
82,73	rad/s	rad/s	rad/s
	19,69	21,36	23,46

5. Wnioski

Z wykresu wyraźnie wynika, że najdokładniejsze i najbardziej zbliżone do wyników teoretycznych otrzymano przy pierwszej, najmniejszej prędkości obrotowej naczynia. Warto podkreślić, że charakterystyki teoretyczne wiernie oddają wysokość powierzchni swobodnej cieczy w kolejnych punktach.

Największe różnice między wartością teoretyczną dostrzegamy w punktach położonych najbliżej ścianki naczynia, co może wynikać z sił przyciągania międzycząsteczkowego, które nie były brane pod uwagę przy wyznaczaniu formuły teoretycznej. Wraz ze wzrostem prędkości obrotowej naczynia najniższy punkt obniża się, natomiast najwyższy idzie do góry.

Nie było potrzeby prowadzenia pomiarów na całej średnicy naczynia, ponieważ powstająca paraboloida obrotowa jest figurą symetryczną i rozkład wysokości byłby dokładnie taki sam.

Pomiar wysokości powierzchni swobodnej cieczy przy samej ściance nie był możliwy ze względu na to, że igła suwmiarki rysowałaby powierzchnię naczynia.