1.Prawo Hooke’a, moduł Younga, statyczna próba na rozciąganie (ściskanie)
Wydłużenie pręta Δl pod działaniem siły osiowej P jest wprost proporcjonalne do wartości P i długości początkowej l₀, zaś odwrotnie proporcjonalne do pola powierzchni poprzecznego przekroju pręta

, Δl= l - l₀

Współczynnikiem proporcjonalności jest wielkość (odwrotność modułu sprężystości liniowej E – moduł Younga).

Moduł E jest podstawową fizyczną charakterystyką materiału, opisującą jego własności mechaniczne.

Względne wydłużenie pręta oraz naprężenia normalne tworzą następującą postać prawa Hooke’a:
=>
Podstawowe jednostki siły[N],długości[m] i pola pow.[m²]

Jednostka naprężenia jest :

,

moduł Younga wyraża się w takich samych jednostkach co naprężenie [Pa]
Statyczna próba rozciągania- to próba mająca na celu ustalenie mechanicznych własności materiału. Badanie to odbywa się w warunkach laboratoryjnych na urządzeniach wytrzymałościowych (maszyny lub testery),gdzie rozciąga się walcowe pręty proste, najczęściej o kołowych przekrojach poprzecznych. Wielkościami mierzonymi w czasie rozciągania próbki są siła osiowa i wydłużenia próbki. Zauważyć można dwa rodzaje wydłużenia się pręta:

-wydłużenie sprężyste to takie, które ustępuje po usunięciu siły obciążającej wywołującej je.

-wydłużenie plastyczne to takie, które nie ustępuje po ustąpieniu siły wywołującej je.

2.Skręcanie pręta kołowo symetrycznego (litego, rurowego), kąt skręcania i naprężenia styczne przy skręcaniu, moduł Kirchhoffa

Podczas skręcania pręta o przekroju kołowym nie dochodzi do miejscowego odkształcenia jego przekrojów. Pręt skręca się równomiernie, czyli kąt skręcania jest proporcjonalny do odległości tego przekroju od końca pręta. Każda linia prosta równoległa do osi pręta, leżąca wewnątrz pręta przechodzi w linię spiralną podczas skręcania pręta. Jej pochylenie określa kąt γ

Parametrami opisującymi geometrie skręcania pręta o długości l są: skręcanie pręta ф oraz kąt γ_max pochylenia. Wzór na obwodowe przemieszczenie punktów konturu przekroju:
Kąt skręcania pręta wynosi wobec tego :

Kąty skręcania przekrojów pręta są liniowymi funkcjami odległości od końca prętów:

,stąd
Moduł Kirchhoffa(G)

Inaczej moduł odkształcalności postaciowej albo moduł sprężystości poprzecznej) - współczynnik uzależniający odkształcenie postaciowe materiału od naprężenia, jakie w nim występuje.

Moduł ten określa proporcje pomiędzy naprężeniem tnącym, a odkształceniem postaciowy.

Jednostką modułu Kirchhoffa jest paskal [Pa]. Jest to wielkość określająca sprężystość materiału.

Kąt skręcania i naprężenia styczne przy skręcaniu

3.Skręcanie prętów cienkościennych, założenia teorii technicznej podstawowe wzory (pręt o przekroju otwartym/zamkniętym)

4.Momenty bezwładności figur płaskich definicje podstawowe związki, twierdzenie Steiner, momenty i osie główne i centralne

5.Różniczkowe równanie osi zginanej belki, szkic jego rozwiązania

6.Różniczkowe zależności między momentami gnącymi siłą tnącą i obciążeniem ciągłym tzw. różniczkowe równania równowagi

7.Istota hipotez wytężeniowych, szczegółowy opis jeden z trzech: σ_max, τ_max, lub hipoteza Hubera

8.Szczegółowa teoria koła natężeń Mohra dla płaskiego stanu naprężeń ogólne omówienie dla dowolnego przykładu

9.Naprężenia tnące przy zginaniu belek wzór Żurawskiego

Część rozciągana jest dłuższa od części ściskanej. Na granicy dwóch plastrów powstaje poślizg. Naprężenia tnące redukują ten poślizg.
Siły tnące w wytrzymałości materiału wyznacza się z warunków równowagi. Dualizm wytrzymałości materiałowej wg wzoru Żurawskiego :

T_z – siła tnąca

Ŝ_y – moment statyczny wydzielonej części przekroju wzgl.osi obojętnej

I_z – moment bezwładności

δ – grubość ścianki

10.Naprężenia tnące przy zginaniu teownika

11.Twierdzenia Castigliano Menabre’a przykłady zastosowania

Twierdzenie Castigliano: stosuje się do obliczania statycznie wyznaczalnych ram i belek.

I. Pochodna energii sprężystej układu Clapeyrona względem siły zewnętrznej równa się składowej przemieszczenia punktu przyłożonego do tej siły w kierunku działania siły.

δ_i = $\frac{\ \text{Ep}}{\ \text{Pi}}$ = $\frac{1}{\text{EI}}\ \int_{}^{}{M\ \frac{\ M}{\ \text{Pi}}}\ \text{dx}$ ( gdzie : po wykonaniu rachunku P_i = 0 )

II. Twierdzenie można rozszerzyć na momenty:

Pochodna energii sprężystej względem siły zew. jest równa kątowi obrotu dookoła osi wyznaczonej przez moment fragmentu materiału w rejonie przyłożenia momentu.

δ_A = $\frac{\ \text{Ep}}{\ Q}\ $ = $\frac{1}{\text{EI}}\ \int_{}^{}{M\ \frac{\ M}{\ Q}}\ \text{dx}$ ( gdzie: po wykonaniu rachunku Q = 0 )

• W Tw. Castigliano w miejsce energii potencjalnej można wziąć pracę sił zewnętrznych i wewnętrznych.

(dod. Clapeyrona układ, układ mech., w którym występujące odkształcenia są proporcjonalne do odpowiadających im sił.)

Twierdzenie Menabre ’a stosuje się do obliczania statycznie niewyznaczalnych ram i belek.

Pochodna energii odkształcenia sprężystego względem wielkości hiperstatycznej (wielkości niewyznaczalnej) równa się 0.

a) do wyliczenia reakcji w punkcie założenie mówi że przemieszczenie jest zerowe:

δ_i = 0 = $\frac{1}{\text{EI}}\ \int_{}^{}{M\ \frac{\ M}{\ \text{Pi}}}\ \text{dx}$ , P_i – szukana reakcja

b) do wyliczenia momentu w punkcie założenie mówi że kąt obrotu jest zerowy:

δ_A = 0 = $\frac{1}{\text{EI}}\ \int_{}^{}{M\ \frac{\ M}{\ Q}}\ \text{dx}$ , Q – szukany moment

12.Opisać metodę sił lub metodę Maxwella Mohra

Metoda sił

W metodach sił przemieszczenia układu opisuje się za pomocą sił. Metody sił nazywa się też metodami podatności. W przypadku statycznie niewyznaczalnym budujemy układ równań rozwiązujących, w którym niewiadome są siły. Np. układ który jest statycznie nie wyznaczalny i obciążony siłami (P_1,..P_k,..P_n). Przemieszczenie punktu przyłożenia wielkości reakcji nieodkształcalnej podpory w kierunku jej działania wyznaczamy następująco:

Istota metody opiera się na pozbawieniu rozpatrywanego, obciążonego układu nadliczbowych więzów, dbając jednak przy tym o to, aby pozostał on geometrycznie niezmienny. W miejsce myślowo usuniętych więzów wstawiamy niewiadome siły. Następnie, aby zachować kinematyczną identyczność układu rzeczywistego z nowym, nazywanym dalej układem podstawowym w metodzie sił, określamy sumaryczne przemieszczenia po kierunkach działania tych sił. Ponieważ w rzeczywistości w tych miejscach istniały więzy,

przemieszczenia te są równe zero. Układając te warunki w równania otrzymujemy wyznaczalny układ, a zatem możemy obliczyć wartości nadliczbowych niewiadomych .

Układ podstawowy, który na ogół jest układem statycznie wyznaczalnym, musi spełniać również trzy warunki odpowiedniości:

– identyczność geometryczna (zgodność wymiarów),

– identyczność kinematyczna (zgodność przemieszczeń – równania kanoniczne),

– identyczność statyczna (zgodność obciążeń).

Metoda Maxwella Mohra

Jest to metoda powstała na podstawie modyfikacji metody Castigliano.

Metoda M-M ma zastosowanie przy wyznaczaniu przemieszczeń w konstrukcjach statycznie wyznaczalnych oraz do wyznaczania reakcji w układach statycznie niewyznaczalnych.

Cechą charakterystyczną metody M-M jest obciążanie rozpatrywanej konstrukcji jednostkową siłą uogólnioną (siła punktowa lub moment punktowy) działającą na kierunku poszukiwanego przemieszczenia.

W przypadku wyznaczania ugięć (przesunięć) przykładamy siłę „1” do punktu konstrukcji, którego ugięcie obliczamy. Jeżeli wyznaczamy kąt ugięcia (kąt obrotu przekroju) przykładamy moment „1” w punkcie przekroju, którego kąt ugięcia obliczamy.

a. obliczenia z całki: f_A = $\frac{1}{\text{EI}}\ \int_{}^{}{M\ \ m}\ \text{dx}$ gdzie m – moment wewnętrzny dla belki po przyłożeniu siły/momentu jednostkowego

b. metoda Wereszczagina: f_A = $\frac{1}{\text{EI}}\ \int_{}^{}{M\ \ m}\ \text{dx}$ = $\frac{1}{\text{EI}}$ [ Ω_M ⋅ y_m ]

Postępowanie:

I. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych M od obciążenia układu siłami czynnymi (rzeczywiście działającymi na konstrukcje)

II. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych m od obciążenia układu siłą jednostkową przyłożoną w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia.

III. Obliczyć powierzchnię Ω i wyznaczyć środki ciężkości x_c pól wykresu M odpowiadających odcinkom prostym m

IV. Wyznaczyć rzędne (wartości funkcji) ϖ=m(x_c) odpowiadające położeniom środków ciężkości pół wykresu M

13.Hipoteza wytężeniowa Hubera wielkości kryterialne, naprężenia

Jest to hipoteza energii odkształcenia postaciowego , zakłada że ciało jest doskonale sprężyste i że praca naprężenia zredukowanego równa jest sumie prac wszystkich naprężeń składowych.

- Dla przestrzennego stanu naprężeń:

σ_red =$\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sqrt{\left(_{1} - \ _{2} \right) + \left(_{2} - \ _{3} \right) + \left(_{3} - \ _{1} \right)\ }$

- Dla płaskiego stanu naprężeń:

σ_red = $\sqrt{_{x}^{2} + \ _{y}^{2} -_{x}_{y} + 3_{\text{xy}}^{2}}$

σ_red = $\sqrt{_{1}^{2} + \ _{2}^{2} -_{1}_{2}}$

14.Naprężenia w zbiornikach cienkościennych (walcowych i kulistych) naprężenia zredukowane wg hipotezy Hubera lub Treski dla tych zbiorników

Powłoki cienkościenne – to ciało albo ustrój, gdzie materia ciała jest położona blisko przestrzennej powierzchni która nazywamy powierzchnią środkową. Prostopadle do tej powierzchni mierzymy grubość (g). W praktyce za cienkościenne przyjmuje się te zbiorniki, dla których g < $\frac{1}{20}$ D , gdzie D-średnica zbiornika.

Element podlega rozciąganiu w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach: w kierunku osiowym – wskutek naprężeń σ₁ , w kierunku stycznym do obwodu – wskutek naprężeń σ₂.

Naprężenia osiowe wynosi: σ₁ = $\frac{F_{1}}{S_{1}} = \ \frac{D\ \ p}{4g}$ , gdzie: S – przekrój , p – ciśnienie wewnętrzne

Naprężenia obwodowe: σ₂ = $\frac{F_{1}}{S_{1}} = \ \frac{D\ \ p}{2g}$

15.Teoria Eulera stateczności prętów ściskanych

Wyboczenie pręta ściskanego osiowo jest jednym z przykładów utraty stateczności. W przypadku wyboczenia zniszczenie pręta następuje nie poprzez przekroczenie wytrzymałości na ściskanie lecz poprzez zmianę jego kształtu i związanej z tym zmiany charakteru stanu naprężenia w pręcie.

Rozróżniamy trzy rodzaje stanu równowagi układów mechanicznych:

A)równowaga obojętna B) równowaga trwała C)równowaga chwiejna: (położenie równowagi i położenie niestateczne)

Nagłą zmianę równowagi nazywa się wyboczeniem pręta. Jeżeli oś pręta ulegnie zakrzywieniu to dla danej siły ściskającej ustali się pewna równowaga trwała czyli przemieszczenia pręta nie będą rosnąć. W punkcie w którym nastąpi zmiana równowagi wystąpi siła krytyczna P_kryt.

Siłę krytyczną wyznacza się ze wzoru nazywanego wzorem Eulera, który dla dowolnego typu pręta ściskanego osiowo ma postać: P_kryt = $\frac{\ ^{2}\ E\ \ J_{\min}}{L_{w}^{2}}$

Gdzie: L_w – długość wyboczeniowa pręta, L_w = L ⋅ α

J_min – minimalny moment bezwładności

- współczynnik zależny od warunków przegubowych zamocowania pręta

W punkcie gdzie wystąpi siła krytyczna wystąpią także naprężenia krytyczne, przy czym: σ_kryt= $\frac{P_{\text{kryt}}}{A}$ , gdzie: A – pole przekroju pręta

σ_kryt = $\frac{^{2}\ \ E}{^{2}}$ , gdzie: λ - smukłość pręta, λ = $\frac{L_{w}}{i}$

i – promień bezwładności, i = $\sqrt{\frac{J_{\min}}{A}}$