OGÓLNE SFORMUŁOWANIE MES DLA ZAGADNIEŃ MECHANIKI CIAŁA STAŁEGO, Budownictwo, Semestr V, Budownictwo komunikacyjne 1, most5


OGÓLNE SFORMUŁOWANIE MES DLA ZAGADNIEŃ MECHANIKI CIAŁA STAŁEGO

W mechanice ciała stałego metoda elementów skończonych może być formułowana:

Powszechnie stosowana jest MES w ujęciu przemieszczeniowym i można ją uznać za podstawę w zagadnieniach mechaniki konstrukcji.

W wersji przemieszczeniowej aproksymacji w obszarze elementu podlega pole przemieszczeń.

Niewiadome w węzłach (parametry węzłowe) : uogólnione przemieszczenia.

Pole naprężeń określane jest na podstawie obliczonego pola przemieszczeń. Równania równowagi i warunki brzegowe w naprężeniach spełnione są tylko w przybliżeniu (dla całego układu).

Dla wersji przemieszczeniowej , równania MES można uzyskać w sposób następujący:

SFORMUŁOWANIE MES W OPARCIU O ENERGIĘ POTENCJALNĄ UKŁADU

W celu sformułowania równań rozważa się w kartezjańskim układzie współrzędnych 0x01 graphic
ciało o objętości 0x01 graphic
i brzegu 0x01 graphic
, ograniczone więzami i poddane działaniu sił masowych i powierzchniowych

0x01 graphic

Ciało trójwymiarowe poddane działaniu sił masowych i powierzchniowych

Odkształcając się pod wpływem powoli wzrastających obciążeń ciało gromadzi pewien zasób energii zwanej energią potencjalną:

0x01 graphic
,

gdzie: 0x01 graphic
- wektor stanu naprężenia,

0x01 graphic
- wektor stanu odkształcenia,

0x01 graphic
- wektor stanu przemieszczenia,

0x01 graphic
- wektor stanu przemieszczenia powierzchni,

0x01 graphic
- wektor sił masowych,

0x01 graphic
- wektor sił powierzchniowych.

W warunkach równowagi statycznej obszaru dla kinematycznie dopuszczalnych pól przemieszczeń funkcjonał energii potencjalnej osiąga minimum.

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcjonału jest zerowanie się wariacji funkcjonału zgodnie z zależnością:

0x01 graphic

W celu wykorzystania funkcjonału energii potencjalnej do wyprowadzenia równań MES dyskretyzuje się obszar 0x01 graphic
, dzieląc go na 0x01 graphic
nie pokrywających się elementów:

0x01 graphic

Funkcjonał energii potencjalnej jako skalar może być wówczas przedstawiony w postaci sumy odpowiednich składników:

0x01 graphic

Analogicznie można przedstawić warunek stacjonarności :

0x01 graphic

.

Odnosząc wektory występujące w funkcjonale do elementu „e”, przyjmuje się standardową aproksymację MES pola przemieszczenia w obszarze elementu:

0x01 graphic
,

gdzie: 0x01 graphic
oraz:

0x01 graphic
- macierz funkcji kształtu o wymiarze 0x01 graphic
, 0x01 graphic
- wektor parametrów węzłowych elementu.

Związki geometryczne i fizyczne liniowej teorii sprężystości odniesione do elementu mają postać:

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
i 0x01 graphic
są macierzami odpowiednio operatorów różniczkowych i modułów sprężystości.

Uwzględniając że 0x01 graphic
otrzymuje się:

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
jest macierzą odkształceń (opisuje odkształcenia w każdym punkcie elementu, spowodowane jednostkowym przemieszczeniem kolejnych stopni swobody węzłów).

Podstawiając do funkcjonału odniesionego do elementu 0x01 graphic
związki na 0x01 graphic
i 0x01 graphic
otrzymuje się:

0x01 graphic

Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcjonału prowadzi do równań:

0x01 graphic

Podstawiając za 0x01 graphic
otrzymuje się:

0x01 graphic

Przyjmując oznaczenia:

0x01 graphic
- macierz sztywności elementu

0x01 graphic
- wektor równoważnych sił węzłowych od obciążeń masowych i powierzchniowych elementu,

otrzymuje się:

0x01 graphic

SĄ TO RÓWNANIA MES RÓWNOWAGI ELEMENTU.

Warto zwrócić jeszcze uwagę na aproksymację pola przemieszczenia 0x01 graphic

Występujące w niej funkcje kształtu powinny spełniać warunek ciągłości i zupełności.

W odniesieniu do rozważanego problemu warunek ciągłości oznacza, że przemieszczenia wewnątrz elementu i na jego brzegach powinny być ciągłe.

Dotyczy to przemieszczeń uogólnionych, a więc zarówno przesuwów (translacyjne stopnie swobody) - ciągłość klasy 0x01 graphic
, jak również obrotów (rotacyjne stopnie swobody) - ciągłość klasy 0x01 graphic
(jeżeli kąty obrotu wyrażają się jako pochodne funkcji przemieszczeń).

Warunek zupełności wiąże się natomiast z wymogiem, aby funkcje przemieszczeń elementu mogły reprezentować jego ruch sztywny oraz stan stałych odkształceń.

Elementy spełniające powyższe kryteria nazywane są elementami dostosowanymi, w przeciwieństwie do elementów niedostosowanych, dla których nie jest spełniony warunek ciągłości (na przykład. niektóre elementy płytowe), a które także są z powodzeniem stosowane.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Fizyka ciała stałego, STUDIA, SEMESTR I, Mechanika, Mechanika Wyklady, Mechanika net
Zagadnienia- mechanika, Politechnika Wrocławska Energetyka, 3 semestr, Mechanika i wytrzymałość mate
wyklad Mes funkcje ksztaltu, Budownictwo, Semestr V, Budownictwo komunikacyjne 1, most5
notatka, POLITECHNIKA ŚLĄSKA Wydział Mechaniczny-Technologiczny - MiBM POLSL, Semestr 2, StudiaII cz
fzyka ciala stalego, POLITECHNIKA ŚLĄSKA Wydział Mechaniczny-Technologiczny - MiBM POLSL, Inżyniersk
Same zagadnienia na egz, Rok 2, Sem 4, Fizykochemia ciała stałego
WYKAZ ZAGADNIEŃ DO EGZAMINU Z PKM I i PKM II DLA KIERUNKU MECHANIKA I BUDOWA MASZYN, Wykaz norm, pkm
28 Zjawiska towarzyszące bombardowaniu ciała stałego elektro
II 14 Fizyka ciala stalego
Ciżman, fizyka ciała stałego L, sprawozdanie dwójłomność spontaniczna
bryja, fizyka ciała stałego, Równanie kp
5 Teoria pasmowa ciala stalego Nieznany (2)
bryja, fizyka ciała stałego, Model ciasnego wiązania
4 Budowa ciala stalego id 3714 Nieznany
Sprawozdanie-Chromatografia1, Rok 3, Semestr 5, Elektrochemia ciała stałego
Zagadnienia z mechaniki 2 opracowanie
fizyka ciala stalego
TEORIA PASMOWA CIAŁA STAŁEGO, Fizyka
LABORATORIUM FIZYKI CIAŁA STAŁEGO

więcej podobnych podstron