OGÓLNE SFORMUŁOWANIE MES DLA ZAGADNIEŃ MECHANIKI CIAŁA STAŁEGO
W mechanice ciała stałego metoda elementów skończonych może być formułowana:
w ujęciu przemieszczeniowym,
naprężeniowym
mieszanym (hybrydowym).
Powszechnie stosowana jest MES w ujęciu przemieszczeniowym i można ją uznać za podstawę w zagadnieniach mechaniki konstrukcji.
W wersji przemieszczeniowej aproksymacji w obszarze elementu podlega pole przemieszczeń.
Niewiadome w węzłach (parametry węzłowe) : uogólnione przemieszczenia.
Pole naprężeń określane jest na podstawie obliczonego pola przemieszczeń. Równania równowagi i warunki brzegowe w naprężeniach spełnione są tylko w przybliżeniu (dla całego układu).
Dla wersji przemieszczeniowej , równania MES można uzyskać w sposób następujący:
w podejściu bezpośrednim, wykorzystując definicję macierzy sztywności w metodzie przemieszczeń
w oparciu o zasadę prac wirtualnych,
w oparciu o energię potencjalną układu i sformułowanie problemu minimalizacji funkcjonału na bazie twierdzenia Lagrange'a o minimum energii potencjalnej układu.
SFORMUŁOWANIE MES W OPARCIU O ENERGIĘ POTENCJALNĄ UKŁADU
W celu sformułowania równań rozważa się w kartezjańskim układzie współrzędnych
ciało o objętości
i brzegu
, ograniczone więzami i poddane działaniu sił masowych i powierzchniowych
Ciało trójwymiarowe poddane działaniu sił masowych i powierzchniowych
Odkształcając się pod wpływem powoli wzrastających obciążeń ciało gromadzi pewien zasób energii zwanej energią potencjalną:
|
|
gdzie:
- wektor stanu naprężenia,
- wektor stanu odkształcenia,
- wektor stanu przemieszczenia,
- wektor stanu przemieszczenia powierzchni,
- wektor sił masowych,
- wektor sił powierzchniowych.
W warunkach równowagi statycznej obszaru dla kinematycznie dopuszczalnych pól przemieszczeń funkcjonał energii potencjalnej osiąga minimum.
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcjonału jest zerowanie się wariacji funkcjonału zgodnie z zależnością:
|
|
W celu wykorzystania funkcjonału energii potencjalnej do wyprowadzenia równań MES dyskretyzuje się obszar
, dzieląc go na
nie pokrywających się elementów:
|
|
Funkcjonał energii potencjalnej jako skalar może być wówczas przedstawiony w postaci sumy odpowiednich składników:
|
|
Analogicznie można przedstawić warunek stacjonarności :
|
|
.
Odnosząc wektory występujące w funkcjonale do elementu „e”, przyjmuje się standardową aproksymację MES pola przemieszczenia w obszarze elementu:
|
|
gdzie:
oraz:
- macierz funkcji kształtu o wymiarze
,
- wektor parametrów węzłowych elementu.
Związki geometryczne i fizyczne liniowej teorii sprężystości odniesione do elementu mają postać:
|
|
gdzie
i
są macierzami odpowiednio operatorów różniczkowych i modułów sprężystości.
Uwzględniając że
otrzymuje się:
|
|
gdzie
jest macierzą odkształceń (opisuje odkształcenia w każdym punkcie elementu, spowodowane jednostkowym przemieszczeniem kolejnych stopni swobody węzłów).
Podstawiając do funkcjonału odniesionego do elementu
związki na
i
otrzymuje się:
|
|
Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcjonału prowadzi do równań:
|
|
Podstawiając za
otrzymuje się:
|
|
Przyjmując oznaczenia:
|
|
otrzymuje się:
|
SĄ TO RÓWNANIA MES RÓWNOWAGI ELEMENTU.
Warto zwrócić jeszcze uwagę na aproksymację pola przemieszczenia
Występujące w niej funkcje kształtu powinny spełniać warunek ciągłości i zupełności.
W odniesieniu do rozważanego problemu warunek ciągłości oznacza, że przemieszczenia wewnątrz elementu i na jego brzegach powinny być ciągłe.
Dotyczy to przemieszczeń uogólnionych, a więc zarówno przesuwów (translacyjne stopnie swobody) - ciągłość klasy
, jak również obrotów (rotacyjne stopnie swobody) - ciągłość klasy
(jeżeli kąty obrotu wyrażają się jako pochodne funkcji przemieszczeń).
Warunek zupełności wiąże się natomiast z wymogiem, aby funkcje przemieszczeń elementu mogły reprezentować jego ruch sztywny oraz stan stałych odkształceń.
Elementy spełniające powyższe kryteria nazywane są elementami dostosowanymi, w przeciwieństwie do elementów niedostosowanych, dla których nie jest spełniony warunek ciągłości (na przykład. niektóre elementy płytowe), a które także są z powodzeniem stosowane.