Pędem punktu materialnego poruszającego się z prędkością V nazywamy (p_)który jest iloczynem masy i prędkości V
Krętem nazywamy moment wektora pędu m * V względem dowolnego punktu O
Wektor krętu (K_) jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektor pędu i biegun. W układzie izolowanym kręt układu mechanicznego jest stały.
Zasad równowartości energii kinetycznej i pracy: Przyrost energii kinetycznej punktu materialnego w skończonym przedziale czasu jest równy sumie prac, które wykonały w ty6m czasie wszystkie siły działające na ten punkt.
Jeżeli na punkt materialny poruszający się po dowolnym torze działa siła F to praca elementarna wykonana przez siłę na drodze (przesunięciu) d(s_) jest równa iloczynowi skalarnemu tej siły elementami drogi
Ruchem postępowym Ciała sztywnego nazywamy taki ruch w czasie którego dowolna linia prosta łącząca 2 pkt. tego ciała porusza się do siebie równolegle.
Dynamika swobodne punktu materialnego Podstawowe równanie dynamiki zwane dynamicznym wektorowym równaniem różniczkowym ruchu swobodnego punktu materialnego ma postać:
Równanie ruchu punktu materialnego możemy zapisać w postaci wyrażenia wskazującego na zmienność siły
- wektor wodzący, określający -wektor prędkości - czas w którym porusza się punkt materialny
pierwsze zadanie dynamiki W pierwszym zadaniu mechaniki należy wyznaczyć wartość i kierunek wypadkowej sił działających na punkt Pracą elementarną nazywamy iloczyn skalarny siły F działającej na pkt materialny M który przemieszcza się w dowolny sposób po torze od pkt A do B
- wartość siły ds. - przemieszczenie, przyrost współrzędnej łukowej -kąt miedzy kierunkiem siły f i wektorem stycznym do toru
Praca w polu sił: Polem sił nazywamy przestrzeń na której znajduje się pkt mater pod działaniem ściśle określonej siły zależnej tylko od położenia punktu
Praca pktu mater M zależy od toru po którym się porusza przechodząc z położenia A do B
Polem sił możemy nazwać linie charakteryzujące się tym że są styczne w każdym punkcie do wektora siły
Pole potencjalne to przestrzeń w której działa siła niezależna od toru, lecz od położenia początkowego i końcowego. Potencjałem siły f jest funkcja trzech zmiennych, które określają wartość pracy zależnie od położenia początkowego i końcowego. Tw Steinera. Moment bezwładności ciała sztywnego wzgl dowolnej osi równy jest sumie momentów bezwł wzgl osi przechodzącej przez śr masy ora iloczynu masy ciała i kwadratu odległości miedzy tymi dwoma osiami. Tw younga. Ek w ruchu płaskim płaskim bryły sztywnej równa jest sumie E kinetycznych brył sztywnych w ruchu postępowym środka masy i energii kinetycznych w ruchu obrotowym wokół osi przechodzącej przez srodek masy i prostopadłej do płaszczyzny kierującej ruchu płaskiego. Ek w ruchu kulistym bryły sztywnej:
W ruchu dowolnym
|
materialny znając mase punktu i jego równania ruchu. Trzeba więc wyznaczyć przyspieszenie, różniczkując względem czasu równania ruchu. Jeżeli ruch punktu jest opisany wektorem, promieniem wodzącym wówczas przyspieszenie
Wg drugiego Newtona siła działająca na omawiany pkt jest równa
W przypadku gdy ruch punktu jest opisany we współrzędnych prostokątnych za pomocą równania skalarnego
To rzuty wypadkowej F wszystkich sił działających na pkt mater. wynoszą
Ze wzorów:
Obliczamy wartość i kierunek wypadkowej
Drugie zadnie dynamiki Polega na wyznaczeniu równań ruchu punktu materialnego znając masę i działające siły. Zadanie to sprowadza się do całkowania równań różniczkowych ruchu. Jeżeli w chwili początkowej znane będzie położenie punktu i rzuty prędkości tego punktu to wtedy Warunki początkowe dla t = t0 Są następujące
Siła może być funkcją czasu t i położenia i prędkości co możemy zapisać:
Zasad d'Alemberta dla punktu materialnego zgodnie z drugim prawem Newtona możemy sprowadzić do postaci
Parzyste równanie możemy rozpatrywać jako warunek równowagi siły przyłożonej do punktu materialnego M i wektora będącego siłą fikcyjną. Siłą bezwładności lub siłą d'Alemberta nazywamy fikcyjną siłę - równą co do wartości iloczynowi masy i przyspieszenia punktu materialnego lecz przeciwnie do tego przyspieszenia skierowaną.
|
.
Zasada d'Alemberta: Na pkt materialny M działają siły rzeczywiste które w każdej chwili równoważą się z siłą bezwładności tego punktu
Bezwładnościowy układ odniesienia (układ Galileusza, inercyjny, absolutny) Jest to układ w którym obowiązują prawa Newtona. Parametry ruchu ciała tj. prędkość i przyspieszenie. Zaletą od układu odniesienia względem, którego będzie dany ruch obserwowany. W dynamice bezwładnościowym układem odniesienia jest układ sztywno związany z Ziemią. Ponieważ wartość przyspieszenia związanego z ruchem Obr. Kuli ziemskiej jest bardzo małe porównaniu z wartością przyspieszenia grawitacyjnego.
Przypadek rzutu ukośnego:
Równania ruchu w układzie xy przyjmą postać
Całkując je dwukrotnie otrzymujemy:
Stałe całkowania C1 i C2 wyznaczamy z warunków początkowych na prędkości ciało dla t=0 Mamy zatem
Możemy zapisać, że
Stałe całkowania C3 i C4 wyznaczamy z warunków początkowych dla t =0 x=0 Znajdujemy więc C3= 0 i C4= 0 Równanie ruchu ciała
Równanie toru otrzymujemy po usunięciu z powyższych dwóch równań ruchu parametr t, a więc
|
Torem ciała o masie m wyrzuconego pod kątem α do poziomu z prędkością jest parabola o osi pionowej, zwrócona wypukłością w górę. Na podstawie równania toru znajdujemy zasięg rzutu, odległość l na jaka spadnie ciało od miejsca z którego został wyrzucony.
Największa wysokość rzutu h na którą wzniesie się ciało określamy ze wzoru:
- jednostka pędu Dynamiczne równanie ruchu Newtona F= ma może przyjąć nieco inną postać Przyspieszenie punktu materialnego jest równe:
Więc:
Masa jest stała tzn. niezależna od czasu, zatem zgodnie z drugim prawem Newtona pochodna pędu wynosi
Zasada pędu pktu mater: Geometryczny przyrost pędu w określonym przedziale równa się pędowi sił działających w tym czasie
Zasada zachowania pędu punktu materialnego: Jeżeli na pkt mater działa układ sił pozostających pozostających równowadze to pęd pktu jest wektorem stałym czyli jeżeli to
Zasad krętu pktu materialnego
Pochodna względem czasu krętu pktu mater, obliczonego wzglądem nieruchomego bieguna O jest równa momentowi wypadkowej sił działających na badany pkt materialnmy względem tego bieguna. Wzór:
Zasada zachowania krętu pktu materialnego: Jeżeli na pkt materialny względem dowolnego bieguna O jest równy zero to kręt pktu mater względem tego bieguna jest stały czyli:
|