PROJEKT B – MODEL LINIOWY

z co najmniej trzema zmiennymi objaśniającymi

(4-7 potencjalnych zmiennych objaśniających + dobór zmiennych)

Nazwisko i imię studenta 1: Krzysztof Ochab

Kierunek i rok studiów studenta 1: Ekonomia I ROK II-go stopnia

Numer grupy studenta 1: III

Nazwisko i imię studenta : MATYSIAK ANNA

Kierunek i rok studiów studenta: Ekonomia I ROK II-go stopnia

Numer grupy studenta 2: 03

1. Zebrać z Roczników Statystycznych co najmniej 12 obserwacji na zmiennej objaśnianej i dwóch zmiennych objaśniających (dane w postaci szeregów przekrojowych).

Dane przekrojowe (wg województw Polski w roku 2007-2010)

y– wskaźnik zagrożenia ubóstwem (na podstawie wyników badań wyników badań budżetowych gospodarstw domowych)

x₁– dochody do dyspozycji brutto w sektorze gospodarstw domowych województwa,

x₂– stopa bezrobocia rejestrowanego w województwie w %.

x₃– przeciętne miesięczne wynagrodzenie województwa,

Źródło: dane dotyczące produktu krajowego brutto są z Rocznika statystycznego województw 2007, pozostałe z Rocznika statystycznego województw 2010.

1. wprowadzić dane statystyczne do programu EXCEL w następującym układzie:

Plik: Zagrozenie_ubostwem.xls

1. zapisać dane w formacie csv na dysku

plik: zagrozenie_ubostwem.csv

2. Wykorzystując w programie R procedurę Reg_wieloraka_model_liniowy_plaszczyzna_2010.r:

a) oszacować metodą najmniejszych kwadratów parametry strukturalne modelu zmiennej y w zależności od zmiennych x1 i x4. Zapisać postać modelu z oszacowanymi parametrami poda-jąc w nawiasach pod ocenami estymatorów parametrów ich błędy. Podać interpretację para-metrów strukturalnych oraz błędów estymatorów parametrów strukturalnych,

b) zinterpretować obliczone parametry struktury stochastycznej (standardowy błąd oceny, współ-czynnik determinacji, skorygowany współczynnik determinacji),

c) za pomocą testów t i F sprawdzić istotność współczynników regresji,

d) przedstawić wykres płaszczyzny regresji,

e) wyznaczyć i zinterpretować przedziały ufności dla parametrów strukturalnych,

f) wykorzystując test Shapiro-Wilka sprawdzić czy składnik losowy ma rozkład normalny,

g) sprawdzić za pomocą VIF czy w modelu nie występuje problem przybliżonej współliniowo-ści,

h) wykorzystując test Goldfelda-Quandta sprawdzić czy nie występuje niejednorodność warian-cji składników losowych,

i) za pomocą testów Durbina-Watsona oraz Breuscha-Godfreya zbadać czy w modelu nie wy-stępuje autokorelacja pierwszego stopnia,

j) sprawdzić czy w zbiorze danych występują obserwacje nietypowe,

k) sprawdzić, które obserwacje są wpływowe, a które nie są wpływowe.

ODPOWIEDZI Z WYKORZYSTANIEM obliczeń w programie R

a) oszacować metodą najmniejszych kwadratów parametry strukturalne modelu zmiennej y w zależności od zmiennych x1 (zm1) i x2 (zm2)

[1] Wyniki estymacji MNK

Call:

lm(formula = y ~ zm1 + zm2, data = d, x = TRUE, y = TRUE)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-32004 -9208 -2993 6781 53614

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 25584,96 27816,58 0,920 0,3744

zm1 366,85 36,28 10,112 1,58e-07 ***

zm2 -1225,66 689,53 -1,778 0,0989 .

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0,001 ‘**’ 0,01 ‘*’ 0,05 ‘.’ 0,1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 21270 on 13 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.8893, Adjusted R-squared: 0.8722

F-statistic: 52.2 on 2 and 13 DF, p-value: 6,137e-07

1. zapisać postać modelu z oszacowanymi parametrami podając w nawiasach pod ocenami estymatorów parametrów ich błędy

y(t)= 25584,96 + 366,85x₁ - 1225,66x₂

1. Podać interpretację parametrów strukturalnych oraz błędów estymatorów parametrów strukturalnych

b(t)₁ = 366,85 - wzrost (spadek) wartości dochodów do dyspozycji brutto w sektorze gospodarstw domowych województwa (wartości zmiennej objaśniającej x₁) o 1 mln zł spowoduje wzrost (spadek) wskaźnik zagrożenia ubóstwem województwa (zmienna objaśniana y) średnio o 366,85 jednostek(ceteris paribus);

b(t)₂ = - 1225,66 spadek(wzrost) stopy bezrobocia rejestrowanego w województwie w % (wartości zmiennej objaśniającej x₂) o 1 mln zł spowoduje wzrost (spadek) wskaźnik zagrożenia ubóstwem województwa (zmienna objaśniana y) średnio o 1225,66 jednostek(ceteris paribus);

b(t)₀ = 25584,96 - (wyraz wolny) – brak w tym przypadku interpretacji ekonomicznej.

S(b₀) = 27816,58 - szacując parametr b₀ , gdybyśmy mogli wiele razy pobrać próbę z tej samej populacji generalnej, mylimy się średnio in plus i in minus o 27816,58 (25584,96+/- 27816,58),

S(b₁) = 36,28 - szacując parametr b₂, gdybyśmy mogli wiele razy pobrać próbę z tej samej populacji generalnej, mylimy się średnio in plus i in minus o 36,28 (366,85+/- 36,28),

S(b₃) = 689,53- szacując parametr b₃, gdybyśmy mogli wiele razy pobrać próbę z tej samej populacji generalnej, mylimy się średnio in plus i in minus o 689,53 (- 1225,66x +/- 689,53),

1. zinterpretować obliczone parametry struktury stochastycznej (standardowy błąd oceny, współczynnik determinacji, skorygowany współczynnik determinacji),

standardowy błąd oceny (Residual standard error: 21270) – wartości empiryczne zmiennej objaśnianej (produkt krajowy brutto województwa) odchylają się od wartości teore-tycznych przeciętnie o 3619 mln zł.

współczynnik determinacji (Multiple R-Squared: 0.889) – 88,9% zmienności zmiennej objaśnianej (produkt krajowy brutto województwa) zostało wyjaśnionych przez zbudowany model.

skorygowany współczynnik determinacji (Adjusted R-squared: 0.8722) – 87,2% wariancji zmiennej objaśnianej (produkt krajowy brutto województwa) zostało wyjaśnionych przez zbudowany model.

1. za pomocą testów t i F sprawdzić istotność współczynników regresji

test t

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 25584,96 27816,58 0,920 0,3744

zm1 366,85 36,28 10,112 1,58e-07 ***

zm2 -1225,66 689,53 -1,778 0,0989 .

Z uwagi na to, że dla b₀ Alfa = 0,05 < 0,3744 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Oznacza to, że parametr b nieistotnie różni się od zera.

Z uwagi na to, że dla b₁ Alfa = 0,05 > 1,58e-07 hipotezę zerową odrzucamy. Oznacza to, że parametr b istotnie różni się od zera. Zmienna objaśniająca x1 ma istotny wpływ na zmienną objaśnianą y.

Z uwagi na to, że dla b₂ Alfa = 0,05 < 0,0989 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Oznacza to, że parametr b nieistotnie różni się od zera. Zmienna objaśniająca x2 ma istotny wpływ na zmienną objaśnianą y.

Test F

F-statistic: 52.2 on 2 and 13 DF, p-value: 6,137e-07

Z uwagi na to, że Alfa = 0,05 > 6,137e-07. Oznacza to, że regresja jako całość jest istotna.

1. przedstawić wykres płaszczyzny regresji

1. wyznaczyć i zinterpretować przedziały ufności dla parametrów strukturalnych

[1] Przedziały ufności dla parametrów

2,5 % 97,5 %

(Intercept) -34509,1102 85679,0398

zm1 288,4749 445,2231

zm2 -2715,2932 263,9820

Z prawdopodobieństwem 0,95 przedział [-34509,1102;85679,0398] pokryje nieznaną wartość parametru b₀ z modelu y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + &

Z prawdopodobieństwem 0,95 przedział [288,4749; 445,2231] pokryje nieznaną wartość parametru b₁ z modelu y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + &

Z prawdopodobieństwem 0,95 przedział [-2715,2932; 263,9820] pokryje nieznaną wartość parametru b₁ z modelu y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + &

1. wykorzystując test Shapiro-Wilka sprawdzić czy składnik losowy ma rozkład normalny

[1] Wyniki testu Shapiro-Wilka

Shapiro-Wilk normality test

data: reg$residuals

W = 0,9272, p-value = 0,2202

Z uwagi na to, że Alfa = 0,05 <= p-value = 0,2202 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o normalności rozkładu składnika losowego.

1. sprawdzić za pomocą VIF czy w modelu nie występuje problem przybliżonej współliniowości

[1] VIF - czynnik inflacji wariancji

zm1 zm2

1,000978 1,000978

Wartości VIF_j >1 informują ile razy wariancja estymatora parametru jest większa od wariancji prawdziwej (tzn. nie zakłóconej współliniowością statystyczną). Wartości VIF_j>20 wskazują na problemy związane ze współliniowością. W analizowanym modelu w zasadzie nie występuje pro-blem związany ze współliniowością zmiennych objaśniających.

1. wykorzystując test Goldfelda-Quandta sprawdzić czy nie występuje niejednorodność wariancji składników losowych

[1] Wyniki testu Goldfelda-Quandta

Goldfeld-Quandt test

data: reg

GQ = 0,2722, df1 = 4, df2 = 3, p-value = 0,8795

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że składnik losowy jest homoskedastyczny (Alfa = 0,05 <= p-value = 0,8795.

1. za pomocą testów Durbina-Watsona oraz Breuscha-Godfreya zbadać czy w modelu nie występuje autokorelacja pierwszego stopnia

[1] Wyniki testów Durbina-Watsona oraz Breuscha-Godfreya na autokorelację pierwszego stopnia

lag Autocorrelation D-W Statistic p-value

1 -0,1439365 2,276647 0,288

Alternative hypothesis: rho < 0

Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 1

data: reg

LM test = 0,5713, df = 1, p-value = 0,4497

Oba testy potwierdzają brak w modelu autokorelacji reszt pierwszego stopnia, z uwagi na to, że Alfa <= p-value (0,288 oraz 0,4497)

1. sprawdzić czy w zbiorze danych występują obserwacje nietypowe (rys. z lewej strony)

Obserwacje nietypowe (outliers) charakteryzują się dużą resztą. Tego typu obserwacje wpływają na pogorszenie dopasowania modelu do danych. Dla szacowanego modelu y= b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + & jest jedna reszta nietypowa (woj. mazowieckie). W przypadku wystąpienia reszt nietypowych model należy oszacować i zweryfikować powtórnie z pominięciem obserwacji nietypowych.

1. sprawdzić, które obserwacje są wpływowe, a które nie są wpływowe (rys. z prawej strony)

Obserwacje wpływowe (influential observations) silnie oddziałują na oszacowane parametry strukturalne. Włączenie do zbioru danych tych obserwacji powoduje, że znacznie zmieniają się oszacowane parametry modelu. Dla szacowanego modelu y= b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + & obserwacje dotyczące woj. mazowieckiego i śląskiego są wpływowe. Należy więc oszacować i zweryfikować po-wtórnie model z pominięciem tych dwóch województw.