Na początek to samo, co w A7 – wylosuje się tylko jedno z pytań; myślę, że zacząć trzeba tak samo:
Wprowadzenie:
Sterowanie optymalne, zadania sterowania optymalnego:
Narzędzia i metody rozwiązywania:
Zastosowanie eksponenty macierzowej do wyznaczenia sterowania optymalnego dla liniowych układów sterowania:
Mając:
gdzie A – macierz stanu, B – macierz sterowania; (dla równania: y(t) = Cx(t), C – macierz wyjściowa)
To:
Wówczas (1):
Wówczas (2):
A wyznaczanie eksponenty macierzowej wygląda następująco:
Przykładowe rozwiązanie:
Sprowadzanie problemu optymalnego sterowania do zadania rachunku wariacyjnego:
Za Wikipedią:
Rachunek wariacyjny - dziedzina analizy matematycznej zajmująca się szukaniem ekstremów funkcjonałów określonych na przestrzeniach funkcyjnych.
Funkcjonały są to odwzorowania z przestrzeni wektorowej w liczby rzeczywiste. Rachunek wariacyjny zajmuje się więc szukaniem funkcji, dla których dany funkcjonał przyjmuje wartości ekstremalne. Najczęściej funkcjonał dany jest całką oznaczoną funkcji.
Za Wikipedią:
Równania Eulera-Lagrange'a – podstawowe równanie rachunku wariacyjnego, którego rozwiązaniami są funkcje, dla których pewne wyrażenie dane całką oznaczoną jest stacjonarne.
Dla funkcjonału:
rozwiązaniem równania Eulera-Lagrange'a:
są funkcje x(t), dla których S jest stacjonarne. To znaczy, że dla niewielkich odchyleń x(t), S zmienia się nieznacznie. Jest to warunkiem koniecznym, żeby S przyjmowało dla x(t) ekstremum.
Mnożniki funkcyjne Lagrange’a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym:
Dla każdego, kto tylko omiótł to wzrokiem – ostatnie zdanie mówi, po co to wszystko.
A ponadto warto wiedzieć:
Dla układów liniowych o rzeczywistych wartościach własnych sterowanie minimalnoczasowe jest typu przekaźnikowego (bang-bang) i może zmieniać znak nie więcej niż n-1 razy dla układu n-tego rzędu.
Pominięto zagadnienia z kursu, które na pewno były na ćwiczeniach, a które nie są związane z tematem A8:
linearyzacja nieliniowych modeli obiektów sterowania – czyli wykorzystanie wzoru Taylora,
badanie obiektu sterowania o parametrach rozłożonych – wykorzystanie m.in. dyskretyzacji zmiennej przestrzennej,
badanie stabilności nieliniowych układów sterowania – druga i pierwsza metoda Lapunowa,
metoda łączenia rozwiązań równań stanu na podprzedziałach stałości i liniowości sterowania,
badanie dominacji sterowania cyklicznego za pomocą formy macierzowej π (to może podchodzi pod temat, ale jest to tak absolutnie niezrozumiałe i niewytłumaczalne, że lepiej o tym nie wspominać),
badanie sterowalności liniowych układów sterowania (w tym sterowalności selektywnej),
badanie obserwowalności liniowych układów sterowania,
rozkład kanoniczny Kalmana liniowych układów sterowania.