WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

Wykład 1. Wnioskowanie statystyczne 02.10.2012 r.

Wnioskowanie statystyczne jest to dział statystyki zajmujący się wnioskowaniem o zbiorowości generalnej (ogólnej) na podstawie informacji uzyskanych z próby statystycznej.

Wyróżnić można dwa działy wnioskowania statystycznego:

- estymację – procedury wyznaczania nieznanych parametrów populacji generalnej na podstawie próby;

- weryfikację hipotez – sprawdzanie przypuszczeń dotyczących danego rozkładu lub parametrów.

Rachunek prawdopodobieństwa – jest działem matematyki służącym do wykrywania prawidłowości w zakresie zdarzeń losowych (Fisz 1969).

Doświadczenie losowe – jest to czynność, która może zakończyć się kilkoma nieprzewidywalnymi wynikami, np. rzut kostką do gry.

Zdarzenie elementarne – wynik doświadczenia losowego.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych – jest zbiorem wszystkich możliwych wyników eksperymentu losowego.

Podstawowe własności prawdopodobieństwa:

1. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe zero:

P ( Ø ) = 0

1. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe jedności:

P ( Ω ) = 1

Przestrzeń zdarzeń elementarnych dzieli się na:

- zbiór skończony

- zbiór nieskończony

ZMIENNA LOSOWA I JEJ RODZAJE

Zmienna losowa X jest funkcją, która przyporządkowuje każdemu zdarzeniu ze zbioru zdarzeń elementarnych liczbę rzeczywistą. Suma prawdopodobieństw wszystkich wartości zmiennej losowej musi być równa jedności.

Zmienne losowe oznaczamy dużymi literami: X, Y, Z.

Ze względu na liczebności zbioru wartości przyjmowanych przez zmienne losowe, zmienne losowe dzielimy na:

- skokowe (dyskretne) – zbiór wartości zmiennej jest skończony lub nieskończony, ale przeliczany, np. liczba dzieci w rodzinie;

- ciągłe – zbiór wartości zmiennej losowej jest nieskończony (jest przedziałem lub suma przedziałów), np. wzrost, wiek, waga, czas.

Przyporządkowanie wszystkim możliwym wartościom zmiennej losowej X odpowiadających ich (sumujących się do jedności) prawdopodobieństw nazywamy funkcją rozkładu prawdopodobieństwa lub rozkładem prawdopodobieństwa.

Dla zmiennej losowej skokowej:

P (X = Xi) = Pi (i=1,2,…,n)

Jeżeli zmienna losowa X przyjmuje wartości z przedziału nieskończonego (- ∞ , + ∞) lub skończonego (a, b) to funkcja gęstości jest funkcją spełniającą warunki:

b

f (x) ≥ 0 , ∫f (xi dx = 1 lub ∫f (xi dx = 1

a

PARAMETRY ROZKŁADU ZMIENNEJ LOSOWEJ

n

- skokowej E(X) = ∑ xi pi

i = 1

- ciągła E(X) = ∫ xf (x) dx

WARIANCJA:

D² (X) = E(X²) – [E(X)]²

_n

m₂ = ∑ xi * pi – jest to moment zwykły II rzędu

^{i = 1}

_n

m₁ = ∑ xi * pi = E(X) – jest to moment zwykły I rzędu

i = 1

D² (X) = m₂ - m₁²

ODCHYLENIE STANDARDOWE:

D(X) = $\sqrt{D\text{\ \ }\left( X \right)}$

W celu scharakteryzowania rozkładu prawdopodobieństwa używana jest funkcja zwana dystrybuantą.

Dystrybuantę oznaczamy symbolem F(X) i jest to funkcja określająca prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmuje wartości mniejsze od ustalonego X, czyli:

F(X) = P (X < x), x € R

Dystrybuantę można zapisać również jako:

F(X) 0 dla x ≤ x

p₁ dla x₁ < x ≤ x₂

p ₁+ p₂ dla x₂ < x ≤ x₃

… … …

p₁+ p₂ + … + p_n = 1 dla x > x_n

Wartości dystrybuanty:

1. 0 ≤ F (x) ≤ 1

2. Jest funkcją niemalejącą i przedziałami stałą.

3. Jest funkcją lewostronnie ciągłą.

4. F (- ∞) = 0, F (+∞) = 1

5. * P (a ≤ X < b) = F (b) – F (a)

Rozkład zmiennej losowej skokowej charakteryzuje:

• Rozkład prawdopodobieństwa

• Dystrybuanta

• Parametry rozkładu

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej:

xi	x1	x2	…	xk
Pi = p (xi)	p1	p2	…	pk

_k

∑ Pi = 1

^{i = 1}

ROZKŁAD DWUMIAROWY (BERNOULLIEGO)

Eksperyment Bernoulliego – polega na przeprowadzeniu n (min. 2) niezależnych doświadczeń ( to znaczy wynik poprzedniego nie ma wpływu na wynik następnego), którego rezultatem może być sukces (prawdopodobieństwo P) lub porażka (prawdopodobieństwo q = 1 – p).

Zakłada się przy tym, że prawdopodobieństwo sukcesu jest takie samo w kolejnych doświadczeniach.

P(X = k) = (ⁿ_k ) p ^k (1 – p) ^{n – k}

Gdzie:

(ⁿ_k) = $\frac{n!}{k!\left( n - k \right)\ !}$ , a n! = 1,2,3…

k – liczba sukcesów

n – liczba doświadczeń

p – prawdopodobieństwo sukcesu

F(X) : np

D² (X) = n_pq

ROZKŁAD POISSONA

Rozkład wykorzystujemy, gdy prawdopodobieństwo sukcesu jest małe (p < 0,2), n > 100 oraz gdy iloczyn ƛ = np. jest wielkością stałą.

Ze względu na małe prawdopodobieństwo sukcesu rozkład ten nazywa się rozkładem rzadkich zdarzeń.

P (X = k) = $\frac{l\text{\ \ \ }}{k!}$ e ^{– k} , k = 0,1,2,…

E (X) = D² (X) = np. = ƛ

ROZKŁAD ZEROJEDYNKOWY

Zmienna losowa X ma rozkład zerojedynkowy (dwupunktowy) jeżeli jej funkcja rozkładu określona jest wzorem:

P (X = 1) = p

P (X = 0) = 1 – p = q przy czym p + q = 1

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa jest następująca:

xi	0	1
pi	1 – p = q	p

Wartość oczekiwana i wariancja jest równa:

E (X) = p , D²(X) = pq

Wykład 2. 16.10.2012

PARAMETRY ROZKŁADU ZMIENNEJ LOSOWEJ CIĄGŁEJ

Zmienna losowa ciągła

E(x) =∫_−∞^+∞xf(x)dx

D² =  ∫_−∞^+∞[x − E(x)]² f(x) = ∫x²f(x) − [E(x)]²

f- funkcja gęstości

Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej

-rozkład jednostajny

-rozkład normalny

-rozkład t-Studenta

-rozkład chi-kwadrat

-rozkład F

Rozkład normalny (krzywa Gaussa –Laplace’a)

Mówimy że zmienna losowa ciągła X ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej m i odchyleniu standardowym σ

X ~ N (m, σ)

Funkcja gęstości w rozkładzie normalnym o postaci:

f(x) = $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e(\frac{\left( x - \mu \right)^{2}}{2\sigma})$

Określona została dla wszystkich rzeczywistych wartości zmiennej X.

Własności rozkładu normalnego:

-jest symetryczny względem prostej x = m

-w punkcie x = m osiąga wartość maksymalną

-ramiona funkcji mają punkty przegięcia dla x = m - σ oraz x = m + σ

- kształt funkcji gęstości zależy od wartości parametrów µ i m. Parametr m decyduje o przesunięciu krzywej natomiast parametr σ decyduje i smukłości krzywej.

Standaryzacja polega na sprowadzeniu dowolnego rozkładu normalnego o danych parametrach m i σ do rozkładu standaryzowanego (modelowego) o wartości oczekiwanej m = 0 i odchyleniu standardowym σ = 1.

Zmienną losową X zastępujemy zmienną standaryzowaną U, która ma rozkład N(0,1)

U =$\ \frac{x - m}{\sigma}$

Własności dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego:

P(U ≤ u) = Fu (u)

P(U ≤ -u) = Fu (-u) = 1- Fu (u)

P(U > u) = 1-P (U ≤ u) = 1- Fu (u)

P(U > -u) = Fu (u)

P(u₁≤ U ≤ u₂) = Fu (u₂) – Fu (u₁)

X=$\sum_{n = 1}^{k}U_{i}^{2}$

Prawo wielkich liczb („złote twierdzenie Bernouliego”)

Przy dostatecznie dużej liczbie powtórzeń eksperymentu losowego, z których każdy może zakończyć się sukcesem lub porażką, częstość wystąpienia sukcesu będzie bardzo mało różniła się od jego prawdopodobieństwa i że zachodzić to będzie z prawdopodobieństwem bliskim jedności.

(im więcej prób prawdopodobieństwo sukcesu wzrasta)

Statystyką nazywamy zmienną losową będącą funkcją zaobserwowanej łącznie zmiennej losowej

$$\overset{\overline{}}{x} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$$

Statystykami są następujące funkcje:

$s^{2} = \frac{1}{n}$ $\sum_{i = 1}^{n}{{(x}_{i} -}\overset{\overline{}}{x})^{2}$

${\hat{s}}^{2} = \frac{1}{n - 1}$ $\sum_{i = 1}^{n}{{(x}_{i} -}\overset{\overline{}}{x})^{2}$

Estymacja dzieli się na estymację punktową i przedziałową.

Estymacja przedziałowa

Polega na budowie przedziału zwanego przedziałem ufności, który z określonym prawdopodobieństwem będzie zawierał nieznaną wartość szacowanego parametru

P{g₁ < Tn < g₂}=1 − a

Gdzie:

Tn- nieznany parametr populacji generalnej

g1,g2- końce przedziałów (dolna i górna granica przedziału)

I-u współczynnik ufności- z prawdopodobieństwem (1- ) przedział ufności pokrywa nieznaną wartość szacowanego parametru populacji generalnej.

UWAGA!

Im krótsza przedział (różnica między górną i dolną granicą przedziału) tym bardziej precyzyjna jest estymacja przedziałowa. Im wyższa jest wartość współczynnik ufności tym większa jest długość przedziału.

Przedział ufności dla średniej w populacji o rozkładzie normalnym ze znanym odchyleniem standardowym:

P{$\overset{\overline{}}{X} - u_{a}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} < m < \overset{\overline{}}{X} - u_{a}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\} = 1 - a$

u_a Wartość odczytana z tablic rozkładu normalnego dla danego poziomu istotności u

σ Odchylenie standardowe w populacji generalnej

wzór na prawdopodobieństwo wg Bernoulliego

wartość oczekiwana i wariancja w rozkładzie Ber.

Wartość oczekiwana i wariancja w rozkładzie Poissona

Wartość oczekiwana zmienna skokowa

Schemat doboru próby:

• Zdefiniowanie populacji

• Określenie operatu losowania

• Dobór techniki wyboru próby

• Określenie wielkości próby

• Przeprowadzenie doboru próby

Estymacja

-estymacja punktowa –wyznaczane są konkretne wartości, będące oszacowaniem nieznanych parametrów zbiorowości generalnej

-estymacja przedziałowa- wyznaczanie przedziału liczbowego, który z określonym prawdopodobieństwem będzie zawierał nieznaną wartość przedziału parametru populacji generalnej.

Dokładność estymacji zależy od współczynnika ufności oraz od liczebności próby.

Problem minimalnej liczebności próby

Minimalna liczebność próby- taka liczebność próby, która zapewni wymaganą dokładność (precyzję) oszacowania przy danym poziomie wiarygodności (prawdopodobieństwa).

Jeżeli n <= n₀, to próbę wstępną traktujemy jaką próbę właściwą. Jeżeli n> n₀ to musimy próbę powiększyć o n - n₀

WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

Hipotezy statystyczne:

-parametryczne testy istotności

-nieparametryczne testy istotności- orzekają o trybie rozkładu.

-testy zgodności sprawdzają hipotezę, że populacja ma określony typ rozkładu

-testy sprawdzające czy 2 próby pochodzą z jednej populacji