Politechnika Świętokrzyska w Kielcach	Laboratorium fizyki	Skład grupy: Stępień Elżbieta Stróżyk Justyna Szemraj Patrycja
Grupa laboratoryjna:	Ćw. Nr 2 Wyznaczanie wartości przyspieszenia ziemskiego
Data wykonania ćwiczenia:	Data oddania sprawozdania:	Ocena:	Prowadzący ćwiczenia: dr inż. Paweł Łaski

1. Materiały potrzebne do przeprowadzenia pomiarów :

• Wahadło matematyczne

• Stoper

• Linijka

• Statyw

1. Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia laboratoryjnego jest wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za

pomocą wahadła matematycznego.

1. Przebieg ćwiczenia:

1. Mierzymy kilkukrotnie długość wahadła matematycznego:

Długość wahadła w mm [l]

Wahadło nr 1

	1	2	3	4	5	lśr
Długość(l)	455	456	455	457	453	455,2 mm

Wahadło nr 2

	1	2	3	4	5	lśr
Długość(l)	405	406	408	405	406	406 mm

Wahadło nr 3

	1	2	3	4	5	lśr
Długość(l)	344	345	342	346	344	344,2 mm

1. Wyznaczamy czas t dla n=25 wahnięć wahadła. Pomiar czasu powtórzyć pięciokrotnie:

Wahadło nr 1

	1	2	3	4	5	tśr
Czas(t)	34,28	34,52	34,45	34,60	34,89	34,55 s

Wahadło nr 2

	1	2	3	4	5	tśr
Czas(t)	31,95	32,56	31,39	32,30	32,05	32,05 s

Wahadło nr 3

	1	2	3	4	5	tśr
Czas(t)	31,54	30,11	30,55	30,63	30,01	30,57 s

1. Obliczamy średnią długość wahadła oraz jej niepewność pomiarową:

Wahadło nr 1

l_śr1 = $\frac{l_{1}}{5} = \frac{2276}{5} = 455,2\ mm$

Wahadło nr 2

l_śr2 = $\frac{l_{2}}{5} = \frac{2030}{5} = 406\ mm$

Wahadło nr 3

l_śr3 = $\frac{l_{3}}{5} = \frac{1721}{5} = 344,2\ mm$

$$l = \pm \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(l_{sr} - l_{i})}^{2}}{n - 1}}$$

Wahadło nr 1

$l = \pm \sqrt{\frac{({455,2 - 455)}^{2} + ({455,2 - 456)}^{2} + ({455,2 - 455)}^{2} + ({455,2 - 457)}^{2} + ({455,2 - 453)}^{2}}{5 - 1}} =$ 2,2

Wahadło nr 2

$l = \pm \sqrt{\frac{({406 - 405)}^{2} + ({406 - 406)}^{2} + ({406 - 408)}^{2} + ({406 - 405)}^{2} + ({406 - 406)}^{2}}{5 - 1}} =$ 1,5

Wahadło nr 3

$l = \pm \sqrt{\frac{({344,2 - 344)}^{2} + ({344,2 - 345)}^{2} + ({344,2 - 342)}^{2} + ({344,2 - 346)}^{2} + ({344,2 - 344)}^{2}}{5 - 1}} =$ 2,2

1. Wyznaczamy średni czas t_sr dla n=25 wahnięć i jego niepewność pomiarową.

Wahadło nr1

$$t_{sr} = \frac{172,74}{5} = 34,548\ \approx 34,55s$$

$$t = \pm \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(t_{sr} - t_{i})}^{2}}{n - 1}}$$

$t = \pm \sqrt{\frac{({34,55 - 34,28)}^{2} + ({34,55 - 34,52)}^{2} + ({34,55 - 34,45)}^{2} + ({34,55 - 34,60)}^{2} + ({34,55 - 34,89)}^{2}}{5 - 1}} =$ 0,050475

Wahadło nr2

$$t_{sr} = \frac{160,25}{5} = 32,05s$$

$t = \pm \sqrt{\frac{({32,05 - 31,95)}^{2} + ({32,05 - 32,56)}^{2} + ({32,05 - 31,39)}^{2} + ({32,05 - 32,30)}^{2} + ({32,05 - 32,05)}^{2}}{5 - 1}} =$ 0,19205

Wahadło nr3

$$t_{sr} = \frac{152,84}{5} = 30,568 \approx 30,57s$$

$t = \pm \sqrt{\frac{({30,57 - 31,54)}^{2} + ({30,57 - 30,11)}^{2} + ({30,57 - 30,55)}^{2} + ({30,57 - 30,63)}^{2} + ({30,57 - 30,01)}^{2}}{5 - 1}} =$ 0,367525

1. Obliczamy średni okres drgań T_sr = $\frac{t}{n}\ $oraz jego niepewność:

Wahadło nr 1

T_sr = $\frac{t}{n}$ = $\frac{34,55}{25}$ = 1,382 ≈ 1,38

Wahadło nr 2

T_sr = $\frac{\text{t\ }}{n}\ $= $\frac{32,05}{25}$ = 1,282 ≈ 1,28

Wahadło nr 3

T_sr = $\frac{t}{n}\ $= $\frac{30,57}{25}$ = 1,2228 ≈ 1,22

Wahadło nr 1

$T = \pm \sqrt{\frac{({1,38 - 1,37)}^{2} + ({1,38 - 1,38)}^{2} + ({1,38 - 1,37)}^{2} + ({1,38 - 1,38)}^{2} + ({1,38 - 1,39)}^{2}}{5 - 1}} =$ 0,0087

Wahadło nr 2

$T = \pm \sqrt{\frac{({1,28 - 1,27)}^{2} + ({1,28 - 1,3)}^{2} + ({1,28 - 1,25)}^{2} + ({1,28 - 1,29)}^{2} + ({1,28 - 1,28)}^{2}}{5 - 1}} =$ 0,019

Wahadło nr 3

$T = \pm \sqrt{\frac{({1,22 - 1,26)}^{2} + ({1,22 - 1,2)}^{2} + ({1,22 - 1,22)}^{2} + ({1,22 - 1,22)}^{2} + ({1,22 - 1,2)}^{2}}{5 - 1}} =$ 0,024

1. Obliczamy dokładność pomiaru okresu drgań jako średni błąd kwadratowy:

$$\frac{T}{T} = \left( \frac{l}{l} + \frac{t}{t} \right)100\%$$

Dla pierwszego wahadła: $\frac{T}{T} = \left( \frac{l}{l} + \frac{t}{t} \right)100\% = \ \left( \frac{2,2}{455,2} + \frac{0,05}{34,55} \right)100\% = 0,0063\ $%

Dla drugiego wahadła: $\frac{T}{T} = \left( \frac{l}{l} + \frac{t}{t} \right)100\% = \ \left( \frac{1,5}{406} + \frac{0,19}{32,05} \right)100\% = 0,0096\%$

Dla trzeciego wahadła: $\frac{T}{T} = \left( \frac{l}{l} + \frac{t}{t} \right)100\% = \ \left( \frac{2,2}{344,2} + \frac{0,37}{30,57} \right)100\% = 0,018\%$

1. Obliczamy względny błąd przyspieszenia ziemskiego $\frac{g}{g}\text{\ \ }$wyrażony w % według wzoru:

$$\frac{g}{g} = \left( \frac{T}{T_{sr}} + \frac{l}{l} \right)100\%$$

Wahadło nr 1

$\frac{g}{g} = \left( \frac{T}{T_{sr}} + \frac{l}{l} \right)100\%$ =$\left( \frac{0,0087}{1,38} + \frac{2,2}{0,455} \right)100\%$ = 4,84%

Wahadło nr 2

$\frac{g}{g} = \left( \frac{T}{T_{sr}} + \frac{l}{l} \right)100\%$ = $\left( \frac{0,019}{1,28} + \frac{1,5}{0,406} \right)100\%\ $= 3,70%

Wahadło nr 3

$\frac{g}{g} = \left( \frac{T}{T_{sr}} + \frac{l}{l} \right)100\%$ = $\left( \frac{0,024}{1,22} + \frac{2,2}{0,344} \right)100\%$ = 6,41%

1. Obliczamy wartość przyspieszenia ziemskiego g korzystając ze wzoru $g = 4\pi^{2}\frac{l}{T^{2}}$ (dla każdej długości wahadła l) oraz jego niepewność:

$$g = 4\pi^{2}\frac{l}{T^{2}}$$

Wahadło nr 1 $g = 4\pi^{2}\frac{l}{T^{2}}$ = $4\pi^{2}*\ \frac{0,455m}{{(1,38s)}^{2}} = 9,4226$ $\frac{m}{s^{2}}$ ≈ 9,42 $\frac{m}{s^{2}}$

Wahadło nr 2 $g = 4\pi^{2}\frac{l}{T^{2}}$ = $4\pi^{2}*\ \frac{0,406m}{{(1,28s)}^{2}} = 9,7729\ \frac{m}{s^{2}}$ ≈ 9,77 $\frac{m}{s^{2}}$

Wahadło nr 3 $g = 4\pi^{2}\frac{l}{T^{2}}$ = $4\pi^{2}*\ \frac{0,3442m}{{(1,22s)}^{2}} = 9,1203\ \frac{m}{s^{2}}\ $≈ 9,12 $\frac{m}{s^{2}}$

$g = \pm \sqrt{\frac{({9,44 - 9,42)}^{2} + ({9,44 - 9,77)}^{2} + ({9,44 - 9,12)}^{2}}{3 - 1}}$ = 0, 10585

1. Wyznaczamy wartość średnią przyspieszenia g:

$$g = \ \frac{9,4226\ \frac{m}{s^{2}} + \ 9,7729\ \frac{m}{s^{2}} + 9,1203\ \frac{m}{s^{2}}\ }{3} = 9,4386\ \frac{m}{s^{2}}\ \approx 9,44\ \frac{m}{s^{2}}$$

TABELA POMIAROWA

Wahadło nr 1

Lp.	l [m]	lśr [mm]	t [s]	tśr [s]	Δl [mm]	Δt [s]	Tśr [s]	g $\frac{m}{s^{2}}$
1.	0,455	455,2	34,28	34,55	2,2	0,050475	1,38	9,42
2.	0,456		34,52
3.	0,455		34,45
4.	0,457		34,60
5.	0,453		34,89

Wahadło nr 2

Lp.	l [m]	lśr [mm]	t [s]	tśr [s]	Δl [mm]	Δt [s]	Tśr [s]	g $\frac{m}{s^{2}}$
1.	0,405	406	31,95	32,05	1,5	0,19205	1,28	9,77
2.	0,406		32,56
3.	0,408		31,39
4.	0,405		32,30
5.	0,406		32,05

Wahadło nr 3

Lp.	l [m]	lśr [mm]	t [s]	tśr [s]	Δl [mm]	Δt [s]	Tśr [s]	g $\frac{m}{s^{2}}$
1.	0,344	344,2	31,54	30,57	2,2	0,367525	1,22	9,12
2.	0,345		30,11
3.	0,342		30,55
4.	0,346		30,63
5.	0,344		30,01

1. Wnioski:

Okres wahań wahadła matematycznego nie zależy od amplitudy i masy wahadła, natomiast zależy od długości wahadła oraz przyspieszenia ziemskiego. Przyspieszenie zależy od długości i okresu. Otrzymana przez nas średnia wartości przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego $g = 9,44\frac{m}{s^{2}}$ nieco odbiega od wartości tablicowej przyśpieszenia ziemskiego wynoszącej: $g = 9,80665\ \frac{m}{s^{2}}$. Wynikać to może z niedokładności pomiaru długości wahadła, niedokładności w pomiarze czasu, zbyt dużego wychylenia wahadła (drgania harmoniczne są dla małych kątów).